第8章モーデル–ヴェイユの定理

この章の目標

• 有理数と楕円曲線上の点の高さを定義し、高さの 3 つの基本性質（高さが有界な点の有限性、$h(P + P_0) \leq 2h(P) + \kappa_0$、$h(2P) \geq 4h(P) - \kappa$）を証明できる
• 降下定理を証明し、モーデル–ヴェイユの定理を弱モーデル–ヴェイユの定理 $[E(\mathbb{Q}) : 2E(\mathbb{Q})] < \infty$ に帰着できる
• 位数 2 の有理点をもつ曲線について、2-同種写像と準同型 $\alpha$ を用いて弱モーデル–ヴェイユの定理と階数の公式 $2^r = \lvert \alpha(E(\mathbb{Q})) \rvert \cdot \lvert \bar{\alpha}(\bar{E}(\mathbb{Q})) \rvert / 4$ を証明できる
• $y^2 = x^3 - x$, $y^2 = x^3 - 2x$, $y^2 = x^3 - 25x$, $y^2 = x^3 - 17x$ などの階数を手計算で決定し、合同数問題に応用できる
• セルマー群とテイト–シャファレビッチ群が降下法の限界をどのように測るかを説明できる
• ネロン–テイトの標準的高さを構成して「$\hat{h}(P) = 0 \iff P$ はねじれ点」を証明し、正規化の流儀を区別して数値を比べられる

前提：第2章、第3章、第7章。有限生成アーベル群の基本定理（04 第4章 定理 4.8）を使う。8.7 節では 15 第5章 の $p$ 進数（ヘンゼルの補題 定理 5.12、平方元の判定 系 5.15）を、注意 8.21 では 15 第3章 の類数の有限性（定理 3.10）とディリクレの単数定理（定理 3.19）を使う。

第7章では、$E(\mathbb{Q})$ のねじれ部分群が有限で、具体的に決定できることを見た。しかし $E(\mathbb{Q})$ そのものは無限群になりうる。たとえば $E\colon y^2 = x^3 - 2x$ 上の点 $P = (-1, 1)$ の倍数を弦と接線で作ると

と分母がどんどん大きくなる。$2P$ は整数点でないので、第7章のナゲル–ルッツの定理（定理 7.5）により $2P$ はねじれ点でなく、$P$ は無限位数の点である。

それでも、有限個の点から出発して弦と接線の操作を繰り返せば、すべての有理点が得られる。これがモーデル（1922 年）の定理で、ヴェイユは 1928 年の学位論文（1929 年刊）で数体上の場合（さらに曲線のヤコビ多様体の場合）に拡張した。証明の考え方はフェルマーの無限降下法である。点の算術的な複雑さを高さで測ると、$P$ を「半分にする」（$P = Q + 2P'$ と書いて $P'$ に移る）たびに、高さは大まかに言って半分以下に減るので、有限回で高さの小さい有限個の点に行き着く。そのためには剰余群 $E(\mathbb{Q})/2E(\mathbb{Q})$ が有限であること（弱モーデル–ヴェイユの定理）が必要で、これが証明の算術的な核心である。

本章では Silverman–Tate (Rational Points on Elliptic Curves) 第 III 章の流れに沿って、高さの性質（8.2–8.3 節）、降下定理（8.4 節）、位数 2 の有理点をもつ曲線での弱モーデル–ヴェイユの定理（8.5 節）を証明する。この証明は階数を計算する方法も与える（8.6 節）。その方法の限界を測るのがセルマー群とテイト–シャファレビッチ群 $\text{Ш}$ である（8.7 節）。最後に、高さを精密にしたネロン–テイトの標準的高さとレギュレーターを導入する（8.8–8.9 節）。これらは第10章の BSD 予想に現れる。

記法. 0 でない有理数の平方全体を $\mathbb{Q}^{\times 2} = \lbrace t^2 \mid t \in \mathbb{Q}^\times \rbrace$ と書く。剰余群 $\mathbb{Q}^\times/\mathbb{Q}^{\times 2}$ の元は、平方因子をもたない整数（負でもよい）でただ一通りに代表される。以下、この群の元をその代表の整数で書き、$\mathbb{Q}^\times/\mathbb{Q}^{\times 2}$ の中で等しいことを「平方類として等しい」という。たとえば平方類として $-25 = -1$, $68 = 17$ である。$-1$ と素数 $p_1, \dots, p_t$ の類で生成される部分群を $\langle -1, p_1, \dots, p_t \rangle$ と書く。素因数分解の一意性により、これは $2^{t+1}$ 個の元 $\pm p_1^{\varepsilon_1} \cdots p_t^{\varepsilon_t}$（$\varepsilon_i \in \lbrace 0, 1 \rbrace$）からなる。素数 $p$ について、$p$ 進付値を $v_p$ と書く（15 第5章）。

8.1 定理の主張と階数

定理 8.1（モーデル–ヴェイユの定理, Mordell–Weil theorem）$E$ を $\mathbb{Q}$ 上の楕円曲線とすると、$E(\mathbb{Q})$ は有限生成アーベル群である。

有限生成アーベル群の基本定理（04 定理 4.8）により、整数 $r \geq 0$ と有限群 $E(\mathbb{Q})_{\mathrm{tors}}$ によって

と書け、$r$ は $E$ から一意に定まる。

定義 8.2（階数, rank）上の $r$ を $E$ の $\mathbb{Q}$ 上の階数といい、$r = \operatorname{rank} E(\mathbb{Q})$ と書く。$P_1, \dots, P_r \in E(\mathbb{Q})$ で、すべての $P \in E(\mathbb{Q})$ が

$$P = n_1P_1 + \cdots + n_rP_r + T \qquad (n_i \in \mathbb{Z},\ T \in E(\mathbb{Q})_{\mathrm{tors}})$$

とただ一通りに書けるものを、$E(\mathbb{Q})$ の自由部分の基底 (basis) という。

$r$ は、どの非自明な整数係数の一次結合もねじれ点にならないような点の最大個数でもある。

例 8.3（LMFDB の表と PARI/GP で確認。ラベルは Cremona のもの）

1. $y^2 = x^3 - x$（32a2）：$E(\mathbb{Q}) = \lbrace O, (0, 0), (1, 0), (-1, 0) \rbrace \cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$ で $r = 0$。
2. $y^2 = x^3 - 2x$（256b1）：$E(\mathbb{Q})$ は $(-1, 1)$ と位数 2 の点 $(0, 0)$ で生成され、$E(\mathbb{Q}) \cong \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$、$r = 1$。
3. $y^2 + y = x^3 - x$（37a1）：$E(\mathbb{Q}) = \mathbb{Z} \cdot (0, 0) \cong \mathbb{Z}$ で $r = 1$。
4. $y^2 = x^3 - 17x$（9248g1）：$(-1, 4)$, $(-4, 2)$ が自由部分の基底で、$E(\mathbb{Q}) \cong \mathbb{Z}^2 \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$、$r = 2$。

1, 2, 4 の階数は 8.6 節で手計算で求める。ある点の組が基底であること（たとえば $(-1, 1)$ が、ねじれ点の差を除いて別の有理点の $m$ 倍（$m \geq 2$）にならないこと）を示すには高さの具体的な評価が要るので、ここでは LMFDB の表に従う。

証明の準備として、扱いやすい方程式を選ぶ。

命題 8.4（扱いやすいモデル）$\mathbb{Q}$ 上の楕円曲線は、$\mathbb{Q}$ 上の許容される変数変換により

$$y^2 = f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c \qquad (a, b, c \in \mathbb{Z}) \tag{8.1}$$

の形の方程式に移る。ここで $f$ は重根をもたず、変数変換は群の同型 $E(\mathbb{Q}) \cong E'(\mathbb{Q})$ を与える。

証明. 一般のワイエルシュトラス方程式 $y^2 + a_1xy + a_3y = x^3 + a_2x^2 + a_4x + a_6$ で $x = u^{-2}x'$, $y = u^{-3}y'$ とおくと係数 $a_i$ は $u^ia_i$ に替わる（第1章 命題 1.6）ので、$a_i \in \mathbb{Z}$ としてよい。このとき $(2y + a_1x + a_3)^2 = 4x^3 + b_2x^2 + 2b_4x + b_6$（$b_2 = a_1^2 + 4a_2$, $b_4 = 2a_4 + a_1a_3$, $b_6 = a_3^2 + 4a_6$）なので、$X = 4x$, $Y = 8y + 4a_1x + 4a_3$ とおいて両辺に 16 をかけると

となる。これは許容される変数変換で、射影平面の線形変換として $O$ を $O$ に、直線を直線に移すから、弦と接線で定義された群法則（第2章 定義 2.4・定理 2.10）を保つ。$y^2 = f(x)$ の判別式 $\Delta$ は $f$ の判別式の 16 倍なので、第1章 定理 1.12 により、曲線が非特異であることは $f$ が重根をもたないことと同値である。$\square$

以下 8.2–8.4 節では、$E$ を (8.1) で与えられた曲線とする。短い形 $y^2 = x^3 + Ax + B$ は $a = 0$ の場合にあたるが、$x^2$ の項を残しておけば、8.5 節の $y^2 = x^3 + ax^2 + bx$ にそのまま適用できる。証明は次の 4 つの性質と、純粋に群論的な降下定理（定理 8.13）からなる。$h$ は 8.2 節で定義する点の高さである。

• (H1) 任意の実数 $M$ について、$h(P) \leq M$ となる $P \in E(\mathbb{Q})$ は有限個（命題 8.9）。
• (H2) $P_0 \in E(\mathbb{Q})$ ごとに定数 $\kappa_0$ があって $h(P + P_0) \leq 2h(P) + \kappa_0$（命題 8.10）。
• (H3) 定数 $\kappa$ があって $h(2P) \geq 4h(P) - \kappa$（命題 8.12）。
• (W) $[E(\mathbb{Q}) : 2E(\mathbb{Q})] < \infty$（定理 8.15。位数 2 の有理点をもつ場合に定理 8.20 で証明する）。

(H1)–(H3) は (8.1) についての初等的な評価で、(W) が算術的な核心である。

8.2 高さ

$22/7$ と $157/50 = 3.14$ はどちらも $\pi$ に近いが、書き表すのに必要な桁数が違う。有理数の「算術的な複雑さ」を測るのが高さである。

定義 8.5（有理数の高さ, height）$t \in \mathbb{Q}$ を既約分数 $t = m/n$（$m, n \in \mathbb{Z}$, $n \geq 1$, $\gcd(m, n) = 1$）と書くとき

$$H(t) = \max(\lvert m \rvert, \lvert n \rvert), \qquad h(t) = \log H(t)$$

と定め、$H(t)$ を $t$ の高さ、$h(t)$ を対数高さ (logarithmic height) という。

$H(0) = 1$（$0 = 0/1$）であり、常に $H(t) \geq 1$, $h(t) \geq 0$。たとえば $H(22/7) = 22$, $H(157/50) = 157$。

補題 8.6 $B \geq 1$ とすると、$H(t) \leq B$ をみたす $t \in \mathbb{Q}$ は $(2B + 1)B$ 個以下である。

証明. $t = m/n$ を既約分数で書くと $\lvert m \rvert \leq B$, $1 \leq n \leq B$ で、そのような整数の組 $(m, n)$ は $(2B + 1)B$ 個以下である。$\square$

補題 8.7（有理点の座標の分母）$E$ を (8.1)、$P = (x, y) \in E(\mathbb{Q})$ とする。

1. 整数 $m, n, e$（$e \geq 1$, $\gcd(m, e) = \gcd(n, e) = 1$）で $x = m/e^2$, $y = n/e^3$ となるものがただ一組ある。このとき $H(x) = \max(\lvert m \rvert, e^2)$。
2. $K = \sqrt{1 + \lvert a \rvert + \lvert b \rvert + \lvert c \rvert}$ とおくと $\lvert n \rvert \leq K H(x)^{3/2}$。

証明. (1) $x = m/M$, $y = n/N$（既約分数、$M, N \geq 1$）とおく。$y^2 = f(x)$ に $M^3N^2$ をかけると

$M$ を法として見ると $M \mid N^2m^3$ で、$\gcd(m, M) = 1$ より $M \mid N^2$。すると右辺第 2 項と左辺は $M^2$ で割り切れるので $M^2 \mid N^2m^3$, $M^2 \mid N^2$。もう一度同じ議論をして $M^3 \mid N^2$。逆に、右辺は $N^2$ の倍数なので $N^2 \mid M^3n^2$ で、$\gcd(n, N) = 1$ より $N^2 \mid M^3$。よって $N^2 = M^3$ で、$e = N/M$ は $e^2 = M$ をみたす正の有理数だから整数であり、$M = e^2$, $N = e^3$。一意性は既約分数表示の一意性から従う。$\gcd(m, e^2) = 1$ なので $m/e^2$ は既約分数で、$H(x) = \max(\lvert m \rvert, e^2)$。

(2) $y^2 = f(x)$ に $e^6$ をかけると $n^2 = m^3 + am^2e^2 + bme^4 + ce^6$。$\lvert m \rvert \leq H(x)$, $e^2 \leq H(x)$ より $n^2 \leq (1 + \lvert a \rvert + \lvert b \rvert + \lvert c \rvert)H(x)^3$。$\square$

たとえば冒頭の $3P = (-1/169, 239/2197)$ では $e = 13$ である。

定義 8.8（点の高さ）$E$ を $\mathbb{Q}$ 上のワイエルシュトラス方程式で定義された楕円曲線とする。$P \in E(\mathbb{Q})$ について

$$H(P) = H(x(P)), \quad h(P) = \log H(P) \quad (P \neq O), \qquad H(O) = 1, \quad h(O) = 0$$

と定め、$h$ を（$x$ 座標による）素朴な高さ (naive height) という。

$-P$ は $P$ と同じ $x$ 座標をもつので $h(-P) = h(P)$。高さは方程式の取り方に依存するが、許容される変数変換による違いは有界である（補題 8.34）。

命題 8.9（性質 (H1)）任意の実数 $M$ について、$\lbrace P \in E(\mathbb{Q}) \mid h(P) \leq M \rbrace$ は有限集合である。

証明. $h(P) \leq M$ なら $H(x(P)) \leq \exp(M)$ なので、補題 8.6 より $x(P)$ のとりうる値は有限個である。$x$ を固定すると $y$ は 2 次方程式の根なので 2 個以下である。$O$ を加えても有限個である。$\square$

この証明は (8.1) の形を使っていないので、命題 8.9 は任意のワイエルシュトラス方程式について成り立つ。

8.3 高さの 2 つの不等式

この節でも $E$ は (8.1) とする。点に一定の点を加えても高さ $H$ は高々 2 乗程度にしかならず、2 倍すると $H$ はほぼ 4 乗になる。どちらも加法公式の分子と分母の次数を数えることから出てくる。

命題 8.10（性質 (H2)）$P_0 \in E(\mathbb{Q})$ とする。$a, b, c$ と $P_0$ だけで決まる定数 $\kappa_0$ があって、すべての $P \in E(\mathbb{Q})$ について

$$h(P + P_0) \leq 2h(P) + \kappa_0$$

証明. $P_0 = O$ なら $\kappa_0 = 0$ でよいので、$P_0 = (x_0, y_0) \neq O$ とする。3 点 $P = O, P_0, -P_0$ については、$\kappa_0$ をそれらで不等式が成り立つように大きくとればよいので、それ以外の $P = (x, y)$ を考える。このとき $x \neq x_0$ である（$x$ 座標が等しい 2 点は互いに $\pm$ の関係にある）。$P + P_0 = (\xi, \eta)$ とすると、加法公式（第2章 定理 2.6）により $\xi = \lambda^2 - a - x - x_0$, $\lambda = (y - y_0)/(x - x_0)$ である。$y^2 = f(x)$, $y_0^2 = f(x_0)$ を代入して展開すると、分子の $x^3$, $x_0^3$, $ax^2$, $ax_0^2$ の項が打ち消し合い

となる。補題 8.7 のように $x_0 = m_0/e_0^2$, $y_0 = n_0/e_0^3$ と書き、分子と分母に $e_0^4$ をかけると、$P_0$ と $a, b, c$ だけで決まる整数 $A, B, C, D, A', B', C'$ によって

と書ける（たとえば $A = -2n_0e_0$, $A'x^2 + B'x + C' = (e_0^2x - m_0)^2$）。ここに $x = m/e^2$, $y = n/e^3$（補題 8.7）を代入し、分子と分母に $e^4$ をかけると

右辺の分子と分母は整数で、分母は $e^4(e_0^2x - m_0)^2 \neq 0$ である。約分しても分子と分母の絶対値は大きくならないので、$H(\xi)$ は分子と分母の絶対値の大きいほう以下である。$\lvert m \rvert \leq H(P)$, $e^2 \leq H(P)$, $\lvert n \rvert \leq KH(P)^{3/2}$（補題 8.7）より $\lvert Ane \rvert \leq \lvert A \rvert KH(P)^2$, $\lvert Bm^2 \rvert \leq \lvert B \rvert H(P)^2$ などが成り立ち、

を得る。対数をとればよい。$\square$

2 倍の点の評価には、上からだけでなく下からの評価が要る。分子と分母が大きな公約数をもって約分され、高さが小さくなることがありうるからである。それが起こらないことを保証するのが次の補題である。

補題 8.11（有理関数による高さの変化）$g_1(X), g_2(X) \in \mathbb{Z}[X]$ は複素数の共通根をもたず、$d = \deg g_1 \geq 1$, $g_2 \neq 0$, $\deg g_2 \leq d$ をみたすとする。既約分数 $t = m/n$（$n \geq 1$）に対して $G_i(m, n) = n^dg_i(m/n)$（$i = 1, 2$）とおく。これは $m, n$ の整数係数の $d$ 次斉次多項式である。

1. $g_1, g_2$ だけで決まる整数 $R \geq 1$ があって、すべての既約分数 $m/n$ について $\gcd(G_1(m, n), G_2(m, n))$ は $R$ を割り切る。
2. $g_1, g_2$ だけで決まる定数 $\kappa_1 \geq 0$ があって、$g_2(t) \neq 0$ をみたすすべての $t \in \mathbb{Q}$ について

$$\bigl\lvert h\bigl(g_1(t)/g_2(t)\bigr) - d\,h(t) \bigr\rvert \leq \kappa_1$$

証明. (1) $\mathbb{Q}[X]$ は単項イデアル整域なので（04 第5章 系 5.31）、イデアル $(g_1, g_2)$ はある多項式 $g$ で生成される。$g$ は $g_1, g_2$ を割るので、$\deg g \geq 1$ なら $g$ の複素根が $g_1, g_2$ の共通根になってしまう。よって $g$ は定数で、$u_1g_1 + u_2g_2 = 1$ となる $u_1, u_2 \in \mathbb{Q}[X]$ がある。整数 $s \geq 1$ を $su_1, su_2 \in \mathbb{Z}[X]$ となるようにとり、$D = \max(\deg u_1, \deg u_2)$ とする。$X = m/n$ を代入して $sn^{D+d}$ をかけると

で、括弧の中は整数である。よって $\gamma = \gcd(G_1(m, n), G_2(m, n))$（$G_1, G_2$ が同時に 0 になると $m/n$ が共通根になるので、$\gamma \geq 1$ は定まる）は $sn^{D+d}$ を割る。$g_1(X) = a_0X^d + a_1X^{d-1} + \cdots + a_d$（$a_0 \neq 0$）と書くと $G_1(m, n) = a_0m^d + a_1m^{d-1}n + \cdots + a_dn^d$ である。$k = 0, 1, \dots, D + d$ について $\gamma \mid sa_0^kn^{D+d-k}$ を帰納法で示す。$k = 0$ は上で示した。$k < D + d$ で成り立つとすると、

の左辺と右辺の和の各項（$sa_0^kn^{D+d-k}$ の倍数）は $\gamma$ で割り切れるので、$\gamma \mid sa_0^{k+1}m^dn^{D+d-k-1}$。一方 $\gamma \mid sa_0^{k+1}n^{D+d-k}$ でもあるから、$\gcd(m^d, n) = 1$ より $\gamma$ は $sa_0^{k+1}n^{D+d-k-1}\gcd(m^d, n) = sa_0^{k+1}n^{D+d-k-1}$ を割る。$k = D + d$ として $\gamma \mid sa_0^{D+d}$ を得るので、$R = \lvert sa_0^{D+d} \rvert$ とおけばよい。

(2) $t = m/n$（既約分数）とすると $g_1(t)/g_2(t) = G_1(m, n)/G_2(m, n)$ で、分母は 0 でない。$\mu = \max(\lvert m \rvert, n) = H(t)$ とおく。

上からの評価：$g_i$ の係数の絶対値の和の大きいほうを $C_2$ とすると、$\lvert G_i(m, n) \rvert \leq C_2\mu^d$ なので $H(g_1(t)/g_2(t)) \leq \max(\lvert G_1 \rvert, \lvert G_2 \rvert) \leq C_2H(t)^d$。

下からの評価：約分して既約分数にすると、分子と分母はちょうど $\gamma$ で割られるので、(1) より $H(g_1(t)/g_2(t)) = \max(\lvert G_1 \rvert, \lvert G_2 \rvert)/\gamma \geq \max(\lvert G_1 \rvert, \lvert G_2 \rvert)/R$。ここで、実数 $(\sigma, \tau)$ の関数 $F(\sigma, \tau) = \max(\lvert G_1(\sigma, \tau) \rvert, \lvert G_2(\sigma, \tau) \rvert)$ を、コンパクト集合 $S = \lbrace (\sigma, \tau) \in \mathbb{R}^2 \mid \max(\lvert \sigma \rvert, \lvert \tau \rvert) = 1 \rbrace$ 上で考える。$F$ は連続で、$S$ 上で 0 にならない。実際、$\tau \neq 0$ なら $G_i(\sigma, \tau) = \tau^dg_i(\sigma/\tau)$ がともに 0 になることはなく（共通根がない）、$\tau = 0$ なら $\lvert \sigma \rvert = 1$ で $G_1(\sigma, 0) = a_0\sigma^d \neq 0$ である。よって $F$ は $S$ 上で正の最小値 $c$ をとり、斉次性から $F(m, n) = \mu^dF(m/\mu, n/\mu) \geq c\mu^d$。したがって $H(g_1(t)/g_2(t)) \geq (c/R)H(t)^d$。

以上の対数をとり、$\kappa_1 = \max(\log C_2, \log(R/c), 0)$ とすればよい。$\square$

命題 8.12（性質 (H3)） (8.1) の $E$ について、$a, b, c$ だけで決まる定数 $\kappa$ があって、すべての $P \in E(\mathbb{Q})$ について

$$\lvert h(2P) - 4h(P) \rvert \leq \kappa$$

が成り立つ。特に $h(2P) \geq 4h(P) - \kappa$。

証明. $P = (x, y)$, $y \neq 0$ とすると、接線の傾きは $\lambda = f'(x)/(2y)$ で、加法公式から

である（2 つ目の等号は $y^2 = f(x)$、3 つ目は展開計算）。$g_1(X) = X^4 - 2bX^2 - 8cX + b^2 - 4ac$, $g_2(X) = 4f(X)$ とおく。$f(\theta) = 0$ なら $g_1(\theta) = f'(\theta)^2 - 4(2\theta + a)f(\theta) = f'(\theta)^2 \neq 0$（$f$ は重根をもたない）なので、$g_1, g_2$ は共通根をもたない。$d = 4$ として補題 8.11 (2) を使うと、$y \neq 0$ の点について $\lvert h(2P) - 4h(P) \rvert \leq \kappa_1$。残りの $2P = O$ となる点（$O$ と $f$ の有理根 $\theta$ に対する $(\theta, 0)$、高々 4 個）では $h(2P) = 0$ なので、$\kappa = \max(\kappa_1, 4h(P))$（$P$ はそれらの点を動く）とすればよい。$\square$

8.4 降下定理

次の定理は群と関数についての純粋に形式的な主張である。

定理 8.13（降下定理, descent theorem）$\Gamma$ をアーベル群とし、関数 $h\colon \Gamma \to \mathbb{R}_{\geq 0}$ が次をみたすとする。

1. 任意の $M \in \mathbb{R}$ について $\lbrace P \in \Gamma \mid h(P) \leq M \rbrace$ は有限集合である。
2. 任意の $P_0 \in \Gamma$ について定数 $\kappa_0$ があって、すべての $P \in \Gamma$ で $h(P + P_0) \leq 2h(P) + \kappa_0$。
3. 定数 $\kappa$ があって、すべての $P \in \Gamma$ で $h(2P) \geq 4h(P) - \kappa$。
4. $[\Gamma : 2\Gamma] < \infty$。

このとき $\Gamma$ は有限生成である。より詳しく、$\Gamma/2\Gamma$ の代表元 $Q_1, \dots, Q_s$ をとり、(2) の $P_0 = -Q_i$ に対する定数の最大値を $\kappa'$ とすると、$Q_1, \dots, Q_s$ と、$h(R) \leq \kappa + \kappa'$ をみたす $R \in \Gamma$ 全体（有限個）とが $\Gamma$ を生成する。

証明. $P \in \Gamma$ を任意にとり、$R_0 = P$ とおく。$R_{j-1}$ が決まったら、$R_{j-1} - Q_{i_j} \in 2\Gamma$ となる $i_j$ をとり、$R_{j-1} = Q_{i_j} + 2R_j$ となる $R_j$ を選ぶ。(3), (2) より

すなわち $h(R_j) \leq \frac{1}{2}h(R_{j-1}) + \frac{1}{4}(\kappa + \kappa')$ である。したがって $h(R_{j-1}) > \kappa + \kappa'$ ならば、$h(R_{j-1}) \geq 0$ に注意して

つまり高さが $\kappa + \kappa'$ を超えている間は $h(R_0) > h(R_1) > \cdots$ と真に減少する。そのあいだの $R_j$ は互いに異なり、すべて有限集合 $\lbrace R \mid h(R) \leq h(P) \rbrace$（(1)）に属するので、この減少は無限には続かない。よってある $m \geq 0$ で $h(R_m) \leq \kappa + \kappa'$ となり、

と書ける。$P$ は任意だったので主張が従う。$\square$

定理 8.14 (8.1) の $E$ について、$E(\mathbb{Q})/2E(\mathbb{Q})$ が有限ならば $E(\mathbb{Q})$ は有限生成である。

証明. $\Gamma = E(\mathbb{Q})$ と素朴な高さ $h$ に定理 8.13 を適用する。(1)(2)(3) は命題 8.9, 8.10, 8.12 である。$\square$

定理 8.15（弱モーデル–ヴェイユの定理, weak Mordell–Weil theorem）$\mathbb{Q}$ 上の任意の楕円曲線 $E$ について、$E(\mathbb{Q})/2E(\mathbb{Q})$ は有限群である。

8.5 節で、$E$ が位数 2 の有理点をもつ場合に完全な証明を与える（定理 8.20）。一般の場合は注意 8.21 で証明の概略を述べるにとどめる。命題 8.4、定理 8.14、定理 8.15 を合わせると定理 8.1 が従う。したがって本章の議論は、位数 2 の有理点をもつ曲線についてはモーデル–ヴェイユの定理の完全な証明になっている。

8.5 2-同種写像と弱モーデル–ヴェイユの定理

$E$ が位数 2 の有理点をもつとする。(8.1) で $f$ は有理根 $x_0$ をもつが、$f$ はモニックな整数係数多項式なので $x_0 \in \mathbb{Z}$ である。$x$ を $x + x_0$ に置き換えて 2 等分点を原点に移すと、方程式は $y^2 = x^3 + ax^2 + bx$（$a, b \in \mathbb{Z}$）の形になる。そこでこの節と次の節では