第10章L 関数と BSD 予想

この章の目標

• 還元の型ごとの局所因子を定め、$L(E, s)$ のオイラー積が $\operatorname{Re} s > 3/2$ で絶対収束することを証明できる
• モジュラー性定理の主張を述べ、導手 11 の曲線とモジュラー形式の係数の一致を確かめられる
• 関数等式と根数、BSD 予想の精密な公式を各項の正規化まで含めて説明し、導手 11 と 37 の曲線で両辺を比べられる
• コーツ–ワイルズ、グロス–ザギエ、コリヴァギンの定理を仮定とともに述べられる
• 合同数とタネルの定理の関係、フェルマーの最終定理の証明の流れを説明できる

前提：第4章、第6章、第8章、第9章、19 第3章。BSD 予想は15 第6章の類数公式と比べるとよい。

リーマンゼータ関数 $\zeta(s) = \prod_p(1 - p^{-s})^{-1}$ が素数の分布を、デデキントゼータ関数が類数や単数を記録するように、楕円曲線 $E/\mathbb{Q}$ の各素数での情報 $a_p$ を 1 つの解析関数にまとめたものが L 関数 $L(E, s)$ である。1960 年代前半、バーチとスウィンナートン＝ダイアーは計算機 EDSAC による数値実験から、$L(E, s)$ の $s = 1$ での振る舞いが有理点の群 $E(\mathbb{Q})$ の大きさを決めているという予想に到達した。これが BSD 予想であり、クレイ数学研究所のミレニアム懸賞問題（2000 年）の一つにも選ばれている。

本章ではまず局所因子と L 関数を定義し、オイラー積の収束を証明する。$L(E, s)$ を $s = 1$ まで延ばすにはモジュラー性定理が必要で、これはフェルマーの最終定理の証明の核心でもある。そのうえで BSD 予想の精密な公式を述べ、既知の結果と合同数問題への応用を見る。

10.1 局所因子と導手

$E/\mathbb{Q}$ の大域極小モデル（第6章 定理 6.5）を 1 つとり、素数 $p$ での還元を $\tilde{E}$ とする。$\tilde{E}$ が非特異なら良い還元、結節点をもてば乗法的還元（結節点での 2 本の接線が $\mathbb{F}_p$ 上定義されるなら分裂、そうでなければ非分裂）、尖点をもてば加法的還元であった。すべての素数 $p$ について

とおく。ここで $\lvert \tilde{E}(\mathbb{F}_p) \rvert$ は特異点も含めた点の個数である。良い還元なら $a_p$ はフロベニウスのトレースで、ハッセの定理より $\lvert a_p \rvert \leq 2\sqrt{p}$ である（第4章 定理 4.7）。

命題 10.1 悪い還元の素数 $p$ について、$a_p$ は分裂乗法的還元なら $1$、非分裂乗法的還元なら $-1$、加法的還元なら $0$ である。

証明. $p$ が奇素数の場合に示す（$p = 2$ も含めた $\lvert \tilde{E}_{\mathrm{ns}}(\mathbb{F}_p) \rvert$ の計算は第6章の系 6.14 にある）。平方完成と平行移動により $\tilde{E}\colon y^2 = x^3 + ax^2$（特異点が原点）としてよい。非特異なアフィン点 $(x_0, y_0)$ は $x_0 \neq 0$ を満たし、$t = y_0/x_0$ とおくと $x_0 = t^2 - a$, $y_0 = tx_0$ である。逆に $t^2 \neq a$ となる $t \in \mathbb{F}_p$ ごとに非特異点 $(t^2 - a, t(t^2 - a))$ がちょうど 1 つ得られる。よって $\lvert \tilde{E}_{\mathrm{ns}}(\mathbb{F}_p) \rvert = 1 + p - \lvert \lbrace t \in \mathbb{F}_p \mid t^2 = a \rbrace \rvert$（$1$ は $O$）。原点での接線は $y = \pm\sqrt{a}x$ だから、$a = 0$（尖点）、$a$ が $0$ でない平方数（分裂）、非平方数（非分裂）に応じて $\lvert \tilde{E}_{\mathrm{ns}}(\mathbb{F}_p) \rvert = p, p - 1, p + 1$。特異点を加えると $\lvert \tilde{E}(\mathbb{F}_p) \rvert = p + 1, p, p + 2$、すなわち $a_p = 0, 1, -1$。$\square$

定義 10.2（L 関数）$E/\mathbb{Q}$ の導手を $N$ とする（第6章 定義 6.27。$N = \prod_p p^{f_p}$ で、$f_p$ は良い還元なら $0$、乗法的還元なら $1$、加法的還元なら $2$ 以上）。局所因子を $L_p(T) = 1 - a_pT + pT^2$（$p \nmid N$）、$L_p(T) = 1 - a_pT$（$p \mid N$）とし、

$$L(E, s) = \prod_p\frac{1}{L_p(p^{-s})} = \prod_{p \mid N}\frac{1}{1 - a_pp^{-s}}\prod_{p \nmid N}\frac{1}{1 - a_pp^{-s} + p^{1 - 2s}}$$

を $E$ の L 関数（ハッセ–ヴェイユの L 関数）という。

良い還元の $p$ では $L_p(T)$ は $\tilde{E}$ の合同ゼータ関数の分子であり（第4章 定理 4.13）、$L_p(1/p) = \lvert \tilde{E}(\mathbb{F}_p) \rvert/p$ である。同種な曲線はすべての $p$ で同じ $a_p$ と同じ導手をもち、同じ L 関数をもつ（主張）。導手が平方因子をもたない（悪い還元がすべて乗法的な）曲線を半安定 (semistable) という。

例 10.3（局所因子） (1) 11a1 $\colon y^2 + y = x^3 - x^2 - 10x - 20$（$\Delta = -11^5$, $N = 11$）を $11$ で還元すると、特異点は $(5, 5)$ で、$X = x - 5$, $Y = y - 5$ とおくと $Y^2 \equiv X^3 + 3X^2 \pmod{11}$。$3 \equiv 5^2$ だから分裂乗法的還元で $a_{11} = 1$（小平記号 $\mathrm{I}_5$, 玉河数 $c_{11} = 5$）、局所因子は $(1 - 11^{-s})^{-1}$。$p = 2$ では $\lvert \tilde{E}(\mathbb{F}_2) \rvert = 5$, $a_2 = -2$ で、$(1 + 2 \cdot 2^{-s} + 2^{1 - 2s})^{-1}$。

(2) 37a1 $\colon y^2 + y = x^3 - x$（$\Delta = 37$）は $37$ で非分裂乗法的還元をもち（問題 10.2）、$a_{37} = -1$、局所因子は $(1 + 37^{-s})^{-1}$。

(3) 32a2 $\colon y^2 = x^3 - x$（$\Delta = 2^6$）は $\bmod 2$ で $y^2 = x^3 + x$ となり、$(1, 0)$ に尖点をもつ加法的還元である（$f_2 = 5$。PARI/GP の elllocalred）。$a_2 = 0$ で局所因子は $1$。

10.2 オイラー積の絶対収束

定理 10.4 $L(E, s)$ のオイラー積は $\operatorname{Re}s > 3/2$ で絶対収束し、$0$ にならない。それを展開したディリクレ級数 $L(E, s) = \sum_{n \geq 1}a_nn^{-s}$ の係数は乗法的（$\gcd(m, n) = 1$ なら $a_{mn} = a_ma_n$）で、

$$a_{p^{k+1}} = a_pa_{p^k} - pa_{p^{k-1}}\ (p \nmid N), \qquad a_{p^k} = a_p^k\ (p \mid N), \qquad \lvert a_n \rvert \leq d(n)\sqrt{n}$$

を満たす（$d(n)$ は $n$ の約数の個数）。この級数も $\operatorname{Re}s > 3/2$ で絶対収束する。

証明. $L_p(T) = (1 - \alpha_pT)(1 - \beta_pT)$ と分解する。$p \nmid N$ なら $\alpha_p, \beta_p$ は $T^2 - a_pT + p$ の根で、ハッセの定理 $a_p^2 \leq 4p$ より互いに複素共役であり $\lvert \alpha_p \rvert = \lvert \beta_p \rvert = \sqrt{p}$。$p \mid N$ なら $\alpha_p = a_p$, $\beta_p = 0$ で $\lvert \alpha_p \rvert \leq 1$。いずれの場合も

で、$L_p(T)\sum_k c_{p,k}T^k = 1$ の係数を比べると漸化式が得られる。$a_n = \prod_{p^k \parallel n}c_{p,k}$ とおけば乗法的で、$\lvert a_n \rvert \leq \prod_{p^k \parallel n}(k + 1)p^{k/2} = d(n)\sqrt{n}$。

実数 $\sigma > 3/2$ を固定し、$x_p = p^{1/2 - \sigma}$ とおくと $x_p < p^{-1} \leq \frac{1}{2}$ で、$\sum_k \lvert c_{p,k} \rvert p^{-k\sigma} \leq \sum_k(k + 1)x_p^k = (1 - x_p)^{-2}$。$n \leq X$ ならその素因数はすべて $X$ 以下だから、$0 \leq x \leq \frac{1}{2}$ で $-\log(1 - x) \leq 2x$ であることを使って

を得る。$\sum_p x_p \leq \sum_n n^{1/2 - \sigma} < \infty$ だから、$\sum a_nn^{-s}$ は $\operatorname{Re}s \geq \sigma$ で絶対収束する。$\prod_{p \leq X}L_p(p^{-s})^{-1}$ は素因数がすべて $X$ 以下の $n$ についての $a_nn^{-s}$ の和だから、級数との差は $\sum_{n > X}\lvert a_n \rvert n^{-\sigma} \to 0$ で抑えられ、積と級数は一致する。各因子は $0$ でなく、$\sum_p \lvert L_p(p^{-s})^{-1} - 1 \rvert \leq \sum_p((1 - x_p)^{-2} - 1) \leq \sum_p 8x_p < \infty$ だから、無限積は $0$ でない値に収束する。$\square$

$s = 1$ はこの範囲の外にある。$L(E, s)$ を $s = 1$ まで延ばすには、次節のモジュラー性が必要になる。

10.3 モジュラー性定理と関数等式

19 第3章の 3.10 節のように、$\Gamma_0(N) = \lbrace \gamma \in \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}) \mid c \equiv 0 \pmod N \rbrace$ に関する重さ 2 の尖点形式の空間を $S_2(\Gamma_0(N))$ と書く。その元 $f$ は $\mathbb{H}$ 上の正則関数で、$\gamma \in \Gamma_0(N)$ について $f(\gamma\tau) = (c\tau + d)^2f(\tau)$ を満たし、すべての尖点で消える。ヘッケ作用素の同時固有形式で $a_1 = 1$ と正規化され、より低いレベルから来ないものを新形式 (newform) という。新形式の係数も定理 10.4 と同じ乗法性と漸化式を満たす。$L(f, s) = \sum_n a_n(f)n^{-s}$ とおく。

定理 10.5（モジュラー性定理, modularity theorem. 主張）$E/\mathbb{Q}$ の導手を $N$ とすると、整数係数の新形式 $f = \sum_{n \geq 1}a_n(f)q^n \in S_2(\Gamma_0(N))$ で、すべての $n$ について $a_n(f) = a_n(E)$、すなわち $L(E, s) = L(f, s)$ となるものが存在する。

半安定な場合をワイルズ（1995）とテイラー–ワイルズ（1995）が証明し、ブルイユ–コンラッド–ダイアモンド–テイラー（2001）が一般の場合を完成させた。かつては谷山–志村予想と呼ばれた。定理 10.5 は、モジュラー曲線からの非定数の射 $X_0(N) \to E$（モジュラー・パラメータ付け）の存在と同値であることが知られている。

例 10.6（導手 11）$S_2(\Gamma_0(11))$ は 1 次元で（PARI/GP の mfdim）、

がその基底である（19 第3章 例 3.33）。11a1 の点の個数から求めた $a_p$ と、$f$ の $q^p$ の係数を比べる（$p = 11$ では特異点も数えた）。

PARI/GP で無限積を $q^{110}$ まで展開し、$n \leq 110$ のすべての $a_n$ が ellan と一致することを確かめた。19 第3章 例 3.33 の曲線 $y^2 + y = x^3 - x^2$ は 11a3 で、11a1 と同種なので同じ L 関数をもつ。

定理 10.7（関数等式。主張）$\Lambda(E, s) = N^{s/2}(2\pi)^{-s}\Gamma(s)L(E, s)$ は $\mathbb{C}$ 全体の正則関数に延び、ある $w \in \lbrace \pm 1 \rbrace$ について $\Lambda(E, s) = w\Lambda(E, 2 - s)$ を満たす。

$w$ を $E$ の根数 (root number) という。これはモジュラー性からヘッケの理論で従う。$\Lambda(E, s) = N^{s/2}\int_0^\infty f(iy)y^{s-1}\ dy$（メリン変換）であり、$f$ がフリッケ対合 $\tau \mapsto -1/(N\tau)$ の固有関数であることから関数等式が得られる。半安定なら $w = -\prod_{p \mid N}(-a_p)$ である（主張。導手 2000 以下の半安定曲線 4154 個で PARI/GP の ellrootno と一致することを確かめた）。11a1 では $w = -(-1) = 1$、37a1 では $w = -(+1) = -1$。PARI/GP の lfuncheckfeq でも関数等式を数値的に確かめられる。

命題 10.8 $r_{\mathrm{an}} = \operatorname{ord}_{s=1}L(E, s)$（解析的階数）とすると $w = (-1)^{r_{\mathrm{an}}}$。特に $w = -1$ なら $L(E, 1) = 0$。

証明. $N^{s/2}(2\pi)^{-s}\Gamma(s)$ は $s = 1$ で正則かつ $0$ でないから、$r = r_{\mathrm{an}}$ として $\Lambda(E, 1 + u) = cu^r + O(u^{r+1})$（$c \neq 0$）と書ける。関数等式より $\Lambda(E, 1 + u) = w\Lambda(E, 1 - u) = wc(-u)^r + O(u^{r+1})$ で、$u^r$ の係数を比べて $c = (-1)^rwc$。$\square$

10.4 BSD 予想

$p \nmid N$ なら $L_p(1/p)^{-1} = p/N_p$（$N_p = \lvert \tilde{E}(\mathbb{F}_p) \rvert$）だから、形式的には $L(E, 1)$ は $\prod_p p/N_p$ のようなものである。有理点が多ければ $N_p$ は平均して大きくなり、$\prod_{p \leq x}N_p/p$ は増大すると期待される。バーチとスウィンナートン＝ダイアーは、この積が $(\log x)^r$（$r$ は階数）に比例して増えることを観察した。$s = 1$ はオイラー積の絶対収束域の外なので、これは発見的な議論である。PARI/GP で計算すると次のようになる（389a1 $\colon y^2 + y = x^3 + x^2 - 2x$、5077a1 $\colon y^2 + y = x^3 - 7x + 6$ の階数 2, 3 は ellrank の上界と下界の一致で確かめた）。

（表の値は良い還元の素数 $p \leq x$ にわたる $\prod N_p/p$。）

予想 10.9（バーチ–スウィンナートン＝ダイアー予想, BSD 予想）$E/\mathbb{Q}$ と $r = \operatorname{rank}E(\mathbb{Q})$ について、

1. $\operatorname{ord}_{s=1}L(E, s) = r$ である。
2. $\text{Ш}(E/\mathbb{Q})$ は有限で、次が成り立つ。

$$\lim_{s \to 1}\frac{L(E, s)}{(s - 1)^r} = \frac{\Omega_E \cdot \operatorname{Reg}(E) \cdot \lvert \text{Ш}(E/\mathbb{Q}) \rvert \cdot \prod_p c_p}{\lvert E(\mathbb{Q})_{\mathrm{tors}} \rvert^2}$$

右辺の各項は次のとおりである。

• $\Omega_E = \int_{E(\mathbb{R})}\lvert \omega \rvert$。$\omega = dx/(2y + a_1x + a_3)$ は大域極小モデルの不変微分である。$E(\mathbb{R})$ の連結成分の数を $c_\infty$（$\Delta > 0$ なら 2、$\Delta < 0$ なら 1）とすると、各成分での積分は実周期 $\omega_1$（第9章 系 9.27）に等しいから $\Omega_E = c_\infty\omega_1$。
• $\operatorname{Reg}(E) = \det(\langle P_i, P_j \rangle)_{i,j}$。$P_1, \dots, P_r$ は $E(\mathbb{Q})/E(\mathbb{Q})_{\mathrm{tors}}$ の基底、$\langle P, Q \rangle = \frac{1}{2}(\hat{h}(P + Q) - \hat{h}(P) - \hat{h}(Q))$、$\hat{h}(P) = \lim_{n \to \infty}4^{-n}h(2^nP)$, $h(P) = \log H(x(P))$（第8章 定理 8.35, 定義 8.38）。$r = 0$ なら $\operatorname{Reg}(E) = 1$。
• $c_p = [E(\mathbb{Q}_p) : E_0(\mathbb{Q}_p)]$ は玉河数（第6章 定義 6.24）で、良い還元なら $1$。
• $\text{Ш}(E/\mathbb{Q})$ はテイト–シャファレビッチ群（第8章 定理 8.31）。

左辺は類数公式（15 第6章 定理 6.19）の留数にあたり、Ш は類群に、$E(\mathbb{Q})$ とレギュレーターは単数群と単数規準に、ねじれ部分は 1 のべき根に対応する。

例 10.10（BSD 予想の数値的な検証） 次の値は PARI/GP（ellrank, ellanalyticrank, lfun, ellheight, ellglobalred, elltors, ellbsd）で 30 桁の精度で計算した。

どちらの曲線でも、$\lvert \text{Ш} \rvert = 1$ とおくと両辺は 30 桁一致する（11a1 では $L(E, 1)/\Omega_E = 1/5$）。逆にいえば、BSD 予想は $\lvert \text{Ш} \rvert = 1$ を予言する。$r_{\mathrm{an}} \leq 1$ なので、次節の定理により Ш は有限であり、階数も解析的階数に等しいことが証明されている。

10.5 既知の結果

定理 10.11（コーツ–ワイルズ, 1977。主張）$E/\mathbb{Q}$ が虚数乗法をもち、$L(E, 1) \neq 0$ ならば、$E(\mathbb{Q})$ は有限である。

コーツとワイルズは $\operatorname{End}(E)$ が虚二次体の整数環 $\mathcal{O}_K$ である場合に示した。$\mathbb{Q}$ 上の CM 曲線はそのような曲線と $\mathbb{Q}$ 上同種で、$L$ 関数と階数は同種で変わらないから、上の形で成り立つ。

定理 10.12（グロス–ザギエ, 1986／コリヴァギン, 1988。主張）$E/\mathbb{Q}$ を導手 $N$ の楕円曲線とする。

1. （グロス–ザギエ）$K$ を $N$ のすべての素因数が分解する虚二次体（ヒーグナー条件）とし、$y_K \in E(K)$ をモジュラー・パラメータ付け $X_0(N) \to E$ によるヒーグナー点の像（の $K$ 上のトレース）とする。このとき $L'(E/K, 1)$ は $\hat{h}(y_K)$ の $0$ でない明示的な定数倍に等しい。ここで $L(E/K, s) = L(E, s)L(E^{(K)}, s)$, $E^{(K)}$ は $K$ による二次ツイストである（グロスとザギエの原論文は $K$ の判別式が奇数の場合で、この仮定はのちに S.-W. チャンが外した）。
2. （コリヴァギン） 1 の状況で $y_K$ が無限位数ならば、$E(K)$ の階数は 1 で、$\text{Ш}(E/K)$ は有限である。
3. （系）解析的階数 $r_{\mathrm{an}}$ が $0$ または $1$ ならば、$\operatorname{rank}E(\mathbb{Q}) = r_{\mathrm{an}}$ であり、$\text{Ш}(E/\mathbb{Q})$ は有限である。

3 は、1, 2 と、$L(E^{(K)}, s)$ の $s = 1$ での位数を指定できる $K$ の存在（ブンプ–フリードバーグ–ホフスタイン、マーティ–マーティによる L 関数の非消滅の結果）とモジュラー性定理を組み合わせて得られる。一方、$r_{\mathrm{an}} \geq 2$ の場合については、一般にはほとんど何もわかっていない。

10.6 合同数とタネルの定理

第1章の例 1.1 で見たように、正の整数 $n$ が合同数であることは $E_n\colon y^2 = x^3 - n^2x$ が $y \neq 0$ の有理点をもつことと同値である。$E_n(\mathbb{Q})$ のねじれ部分群は $y = 0$ の 4 点だけなので（第7章 問題 7.10。Koblitz, Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms 第 I 章も参照）、これは $E_n(\mathbb{Q})$ の階数が正であることと同値である（第8章 命題 8.28）。$E_n$ は $E_1\colon y^2 = x^3 - x$ の二次ツイストで（第1章 例 1.21、問題 10.3）、$[i](x, y) = (-x, iy)$ による虚数乗法をもつ。根数については、平方因子をもたない $n$ で $w(E_n) = -1 \iff n \equiv 5, 6, 7 \pmod 8$ が成り立つ（主張。$n \leq 3000$ で ellrootno と一致）。したがって命題 10.8 と BSD 予想から、平方因子をもたない $n \equiv 5, 6, 7 \pmod 8$ はすべて合同数であると予想される。

定理 10.13（タネル, 1983。主張）$n$ を平方因子をもたない正の整数とし、整数の組 $(x, y, z)$ の個数を

$$\begin{aligned} A_n &= \lvert \lbrace n = 2x^2 + y^2 + 32z^2 \rbrace \rvert, & B_n &= \lvert \lbrace n = 2x^2 + y^2 + 8z^2 \rbrace \rvert & (n\ \text{が奇数}), \\ C_n &= \lvert \lbrace n/2 = 4x^2 + y^2 + 32z^2 \rbrace \rvert, & D_n &= \lvert \lbrace n/2 = 4x^2 + y^2 + 8z^2 \rbrace \rvert & (n\ \text{が偶数}) \end{aligned}$$

とおく。

1. $n$ が合同数ならば、$2A_n = B_n$（$n$ が奇数）、$2C_n = D_n$（$n$ が偶数）である。
2. $E_n$ について BSD 予想の 1（階数の部分）が正しければ、逆も成り立つ。

さらに、$\varpi = 2.6220575542\ldots$（$E_1$ の実周期）について

$$L(E_n, 1) = \frac{\varpi(2A_n - B_n)^2}{16\sqrt{n}}\ (n\ \text{が奇数}), \qquad L(E_n, 1) = \frac{\varpi(2C_n - D_n)^2}{8\sqrt{n}}\ (n\ \text{が偶数})$$

L 値の公式は、重さ 3/2 のモジュラー形式の係数とツイストの L 値を結ぶヴァルトシュプルガーの定理から導かれる（$n \leq 30$ で lfun と 30 桁一致することを確かめた）。$2A_n \neq B_n$ なら $L(E_n, 1) \neq 0$ で、$E_n$ は虚数乗法をもつからコーツ–ワイルズの定理により $E_n(\mathbb{Q})$ は有限、すなわち $n$ は合同数でない。これが 1 である。$2A_n = B_n$ なら $L(E_n, 1) = 0$ で、BSD 予想の 1 から階数は正になる。これが 2 である（偶数の $n$ も同様）。

例 10.14 平方因子をもたない $n \leq 15$ について、python の全探索で個数を数え、PARI/GP の ellrank（上界と下界の一致）と ellrootno で階数と根数を求めた。

1, 2, 3, 10, 11 が合同数でないことは定理 10.13 の 1 から無条件に従う。5, 6, 7, 13, 14, 15 は実際に合同数で、たとえば $(\frac{3}{2}, \frac{20}{3}, \frac{41}{6})$, $(3, 4, 5)$, $(\frac{24}{5}, \frac{35}{12}, \frac{337}{60})$, $(\frac{780}{323}, \frac{323}{30}, \frac{106921}{9690})$, $(\frac{21}{2}, \frac{8}{3}, \frac{65}{6})$, $(\frac{15}{2}, 4, \frac{17}{2})$ が面積 $5, 6, 7, 13, 14, 15$ の直角三角形である。

10.7 フェルマーの最終定理の証明の流れ

フェルマーの最終定理（$n \geq 3$ なら $x^n + y^n = z^n$ は $xyz \neq 0$ の整数解をもたない）の証明の流れを概略で述べる。各段階の深い定理は主張として認める。

1. $n = 4$（フェルマー）と $n = 3$（オイラー）は古典的に示されているので、素数 $p \geq 5$ について $a^p + b^p = c^p$, $abc \neq 0$ の解がないことを示せばよい。解があれば、約分と符号・順序の入れ替えにより、$a, b, c$ は互いに素、$b$ は偶数、$a \equiv -1 \pmod 4$ としてよい。
2. フライ曲線 $E\colon y^2 = x(x - a^p)(x + b^p)$ を考える（フライ, 1986）。判別式は $16(abc)^{2p}$ で（問題 10.7）、1 の正規化のもとで $E$ は半安定、極小判別式は $2^{-8}(abc)^{2p}$、導手は $abc$ の素因数の積である（主張）。たとえば $A + B = C$ が $3 + 32 = 35$ のとき（同じ正規化を満たす）、$y^2 = x(x - 3)(x + 32)$ の導手は PARI/GP で $210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$、極小判別式は $44100 = (3 \cdot 32 \cdot 35)^2/2^8$ となる。
3. ワイルズとテイラー–ワイルズ（1995）により、半安定な $E$ はモジュラーである（定理 10.5）。
4. $E[p]$ へのガロア表現 $\bar{\rho}_{E,p}$ は既約である。実際、可約なら、半安定性から $E$ または $E$ と $p$-同種な曲線（奇数次の同種写像で移るので、これも 2 等分点がすべて有理点）が位数 $p$ の有理点をもち（セール。主張）、そのねじれ部分群は $\mathbb{Z}/2 \oplus \mathbb{Z}/2p$（$p \geq 5$）を含むことになって、メイザーの定理（第7章 定理 7.13）に反する。また奇素数 $\ell \mid abc$ では $v_\ell(\Delta_{\min}) = 2p\ v_\ell(abc)$ は $p$ の倍数であり、$v_2(\Delta_{\min}) = 2p\ v_2(b) - 8$ は $p$ の倍数でない。リベットの定理（1990。$E/\mathbb{Q}$ が半安定かつモジュラーで、奇素数 $p$ について $\bar{\rho}_{E,p}$ が既約ならば、導手から $p \mid v_\ell(\Delta_{\min})$ となる素因数 $\ell$ をすべて取り除いたレベルの重さ 2 の新形式 $f$ があって、$\ell \nmid Np$ について $a_\ell(f) \equiv a_\ell(E)$（$f$ の係数体の $p$ の上の素イデアルを法として）となる）により、レベル 2 のそのような新形式 $f$ が存在することになる。
5. しかし $S_2(\Gamma_0(2)) = 0$ である（問題 10.8。mfdim でも確かめられる）。矛盾。