第1章ワイエルシュトラス方程式（楕円曲線）

この章の目標

合同数問題・ $y^2 = x^3 + k$ の整数解・暗号という 3 つの動機から、3 次曲線の有理点を調べる意味を説明できる

一般のワイエルシュトラス方程式の不変量 $b_2, b_4, b_6, b_8, c_4, c_6, \Delta, j$ を計算し、それらの関係式と変数変換による変換則を証明できる

$\Delta \neq 0$ が非特異性と同値であることを証明し、特異点が結節点か尖点かを $c_4$ で判定できる

代数閉体上の同型類が $j$ 不変量で分類されることを証明し、 $j = 0, 1728$ の曲線の特別な自己同型と二次ツイストを説明できる

種数 1 の曲線と 1 点から、リーマン–ロッホの定理によってワイエルシュトラス方程式が得られることを証明できる

前提：04-algebra 第8章（体の拡大、代数閉包、有限体）。1.2 節で 14 第2章（射影空間）を、1.11 節で 14 第8章（因子とリーマン–ロッホの定理）を使う。

楕円曲線とは、おおまかにいえば $y^2 = x^3 + Ax + B$ の形の 3 次方程式で定まる曲線である（名前は楕円の弧長を表す楕円積分から来ている：19 第2章）。その点の集合には「直線と曲線の 3 つの交点」を使って群の構造が入り（第2章）、それが整数論・代数幾何・複素解析・暗号にまたがる理論の出発点になる。

本章では、楕円曲線を具体的な方程式として扱うための基礎を整える。主役は判別式 $\Delta$ と $j$ 不変量で、 $\Delta \neq 0$ は曲線が滑らかであるための条件、 $j$ は代数閉体上で曲線を同型を除いて決める量である。標数 2, 3 の有限体の上でも使えるように、 $xy$ や $x^2$ の項を含む一般の形から始める。最後に、「種数 1 の曲線と 1 点」という内在的な対象が必ずこの形の方程式で表されることを、リーマン–ロッホの定理から示す。本章を通じて $K$ は体、 $\overline{K}$ はその代数閉包とし、記法は README の「この科目の記法」に従う。

1.1 動機：3 つの問題

合同数問題. 3 辺の長さがすべて有理数の直角三角形の面積になる正の整数を合同数 (congruent number) という。 $6$ は $(3, 4, 5)$ 、 $5$ は $(3/2, 20/3, 41/6)$ 、 $7$ は $(24/5, 35/12, 337/60)$ の面積なので合同数である。一方 $1$ は合同数でない（フェルマーが無限降下法で示した）。この問題は次の対応によって 3 次曲線の問題になる。

例 1.1（合同数と 3 次曲線） $n \geq 1$ とし、 $E_n\colon y^2 = x^3 - n^2x$ とおく。有理数 $a, b, c$ が $a^2 + b^2 = c^2$ , $ab/2 = n$ をみたせば

x = \frac{n(a + c)}{b}, \qquad y = \frac{2n^2(a + c)}{b^2}

は $E_n$ の有理点で $y \neq 0$ であり、逆に $E_n$ の有理点 $(x, y)$ （ $y \neq 0$ ）から

a = \frac{x^2 - n^2}{y}, \qquad b = \frac{2nx}{y}, \qquad c = \frac{x^2 + n^2}{y}

により $a^2 + b^2 = c^2$ , $ab/2 = n$ をみたす有理数が得られる（ $\lvert a \rvert, \lvert b \rvert, \lvert c \rvert$ が 3 辺）。この 2 つの対応は互いに逆である（問題 1.3）。たとえば $(3, 4, 5)$ からは $E_6$ の点 $(12, 36)$ が得られる（ $12^3 - 36 \cdot 12 = 1296 = 36^2$ ）。こうして「 $n$ は合同数か」は「 $E_n$ は $y \neq 0$ の有理点をもつか」という問題になる。第2章では $E_6$ の群構造を使って面積 6 の別の三角形を作り（例 2.17）、第10章で BSD 予想との関係を扱う（10.6 節）。

$y^2 = x^3 + k$ の整数解. 整数 $k \neq 0$ について $y^2 = x^3 + k$ の整数解を求める問題も古くから調べられてきた。 $k = 17$ では

(x, y) = (-2, \pm 3),\ (-1, \pm 4),\ (2, \pm 5),\ (4, \pm 9),\ (8, \pm 23),\ (43, \pm 282),\ (52, \pm 375),\ (5234, \pm 378661)

の 16 個の整数解があり、これで全部であることが知られている（ $x \leq 10^6$ にほかの解がないことは計算機ですぐ確かめられるが、全部であることの証明には高度な道具が要る）。一般に楕円曲線の整数点が有限個であることはジーゲルの定理として知られている。第2章（例 2.15）で、これら 16 個の点がすべて $(-2, 3)$ と $(-1, 4)$ から群法則で作られることを見る。

暗号. 有限体上の楕円曲線の点全体 $E(\mathbb{F}_p)$ は有限アーベル群になる（第2章定理 2.10）。 $P$ と $nP$ から $n$ を求める楕円曲線離散対数問題は、適切に選んだ曲線では非常に難しいと考えられており、これを利用するのが楕円曲線暗号である（第5章）。

1.2 ワイエルシュトラス方程式と無限遠点

定義 1.2（ワイエルシュトラス方程式, Weierstrass equation） $a_1, a_2, a_3, a_4, a_6 \in K$ に対する方程式
$y^2 + a_1xy + a_3y = x^3 + a_2x^2 + a_4x + a_6 \tag{1.1}$
をワイエルシュトラス方程式という。左辺から右辺を引いた多項式を $W(x, y)$ と書く。

$x$ に重み 2、 $y$ に重み 3 を与えると各項の重みは 6 で、 $a_i$ は重み $i$ をもつ（変換 $x = u^2x'$ , $y = u^3y'$ で $a_i$ は $u^{-i}$ 倍になる）。添字はこれを表している。

群法則の単位元は「無限遠点」である。これを扱うため射影平面を使う（14 第2章の定義 2.1）。 $\mathbb{P}^2 = (\overline{K}^3 \setminus \lbrace 0 \rbrace)/\overline{K}^\times$ の点を $[X : Y : Z]$ と書き、 $K$ の元からなる代表をもつ点を $K$ 有理点という。 $Z \neq 0$ の点は $(x, y) = (X/Z, Y/Z)$ で平面の点と同一視され、 $Z = 0$ の点の全体が無限遠直線である。(1.1) を斉次化すると

Y^2Z + a_1XYZ + a_3YZ^2 = X^3 + a_2X^2Z + a_4XZ^2 + a_6Z^3 \tag{1.2}

で、その零点集合 $E \subset \mathbb{P}^2$ の $Z \neq 0$ の部分は (1.1) の解である。 $Z = 0$ とおくと $X^3 = 0$ なので、無限遠直線上の点は $O = [0 : 1 : 0]$ ただ一つで、これを $E$ の無限遠点という。 $K$ の拡大体 $L$ について、 $L$ 有理点の全体は $E(L) = \lbrace (x, y) \in L^2 \mid W(x, y) = 0 \rbrace \cup \lbrace O \rbrace$ である。縦の直線 $x = c$ は射影平面では $X = cZ$ で、どれも $O$ を通る。

1.3 不変量

定義 1.3（不変量）ワイエルシュトラス方程式 (1.1) に対し
$\begin{aligned} b_2 &= a_1^2 + 4a_2, \qquad b_4 = 2a_4 + a_1a_3, \qquad b_6 = a_3^2 + 4a_6, \\ b_8 &= a_1^2a_6 + 4a_2a_6 - a_1a_3a_4 + a_2a_3^2 - a_4^2, \\ c_4 &= b_2^2 - 24b_4, \qquad c_6 = -b_2^3 + 36b_2b_4 - 216b_6, \\ \Delta &= -b_2^2b_8 - 8b_4^3 - 27b_6^2 + 9b_2b_4b_6 \end{aligned}$
とおき、 $\Delta$ を判別式 (discriminant) という。 $\Delta \neq 0$ のとき $j = c_4^3/\Delta$ を $j$ 不変量 ( $j$ -invariant) という。

これは Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves（以下 AEC と略す）の III.1 節と同じ定義で、PARI/GP の ellinit が返す値（E.b2, E.c4, E.disc, E.j など）とも一致する。いずれも $a_i$ の整数係数多項式なので、どの標数でも意味をもつ。

命題 1.4 $\mathbb{Z}[a_1, a_2, a_3, a_4, a_6]$ で次が成り立つ。したがってどの標数の体でも成り立つ。
$4b_8 = b_2b_6 - b_4^2, \qquad 1728\Delta = c_4^3 - c_6^2$

証明. 前半は展開により

b_2b_6 - b_4^2 = (a_1^2 + 4a_2)(a_3^2 + 4a_6) - (2a_4 + a_1a_3)^2 = 4a_1^2a_6 + 16a_2a_6 + 4a_2a_3^2 - 4a_4^2 - 4a_1a_3a_4 = 4b_8

である。後半は $b$ たちで表して計算する。

\begin{aligned} c_4^3 &= b_2^6 - 72b_2^4b_4 + 1728b_2^2b_4^2 - 13824b_4^3, \\ c_6^2 &= b_2^6 - 72b_2^4b_4 + 432b_2^3b_6 + 1296b_2^2b_4^2 - 15552b_2b_4b_6 + 46656b_6^2 \end{aligned}

と $1728\Delta = -1728b_2^2b_8 - 13824b_4^3 - 46656b_6^2 + 15552b_2b_4b_6$ から

c_4^3 - c_6^2 - 1728\Delta = 432b_2^2b_4^2 - 432b_2^3b_6 + 1728b_2^2b_8 = 432b_2^2(4b_8 - b_2b_6 + b_4^2) = 0

となる（最後に前半を使った）。 $\square$

例 1.5（導手 37 の曲線） $E\colon y^2 + y = x^3 - x$ （Cremona のラベル 37a1、係数 $[a_1, a_2, a_3, a_4, a_6] = [0, 0, 1, -1, 0]$ ）では $b_2 = 0$ , $b_4 = -2$ , $b_6 = 1$ , $b_8 = -1$ , $c_4 = 48$ , $c_6 = -216$ で、

\Delta = -8 \cdot (-2)^3 - 27 \cdot 1^2 = 37, \qquad j = \frac{48^3}{37} = \frac{110592}{37}

である。検算： $4b_8 = -4 = b_2b_6 - b_4^2$ , $c_4^3 - c_6^2 = 110592 - 46656 = 63936 = 1728 \cdot 37$ 。（導手は第6章の定義 6.27 で定義する。） $y^2 = x^3 + 17$ では $b_6 = 68$ 以外の $b_i$ は $0$ で、 $\Delta = -27 \cdot 68^2 = -124848 = -2^4 \cdot 3^3 \cdot 17^2$ , $c_4 = 0$ , $j = 0$ である。

1.4 変数変換

同じ曲線を表すワイエルシュトラス方程式は一つではない。方程式の形 (1.1) を保つ変数変換

x = u^2x' + r, \qquad y = u^3y' + su^2x' + t \qquad (u \in K^\times,\ r, s, t \in K) \tag{1.3}

を $(u, r, s, t)$ で表す。無限遠点を無限遠点に移す曲線の同型は、すべてこの形で与えられる（1.11 節の定理 1.23(2) と注意 1.24(2)）。

命題 1.6（変換公式） (1.1) に (1.3) を代入して $u^6$ で割ると、係数が
$\begin{aligned} ua_1' &= a_1 + 2s, \qquad u^2a_2' = a_2 - sa_1 + 3r - s^2, \qquad u^3a_3' = a_3 + ra_1 + 2t, \\ u^4a_4' &= a_4 - sa_3 + 2ra_2 - (t + rs)a_1 + 3r^2 - 2st, \\ u^6a_6' &= a_6 + ra_4 + r^2a_2 + r^3 - ta_3 - t^2 - rta_1 \end{aligned}$
の $x', y'$ についてのワイエルシュトラス方程式が得られる。さらに
$\begin{aligned} u^2b_2' &= b_2 + 12r, \qquad u^4b_4' = b_4 + rb_2 + 6r^2, \qquad u^6b_6' = b_6 + 2rb_4 + r^2b_2 + 4r^3, \\ u^8b_8' &= b_8 + 3rb_6 + 3r^2b_4 + r^3b_2 + 3r^4, \\ u^4c_4' &= c_4, \qquad u^6c_6' = c_6, \qquad u^{12}\Delta' = \Delta, \qquad j' = j \ (\Delta \neq 0 \text{ のとき}) \end{aligned}$

証明. すべて多項式環 $R = \mathbb{Z}[u^{\pm 1}, r, s, t, a_1, \dots, a_6]$ の恒等式とみなして $R$ で示せばよい（各体へは代入で移る）。 $R$ は標数 $0$ の整域なので、両辺に共通の $4$ や $1728$ は約してよい。

$a_i'$ . 代入して展開すると、(1.1) の左辺は

u^6y'^2 + (2s + a_1)u^5x'y' + (2t + ra_1 + a_3)u^3y' + (s^2 + a_1s)u^4x'^2 + (2st + a_1t + a_1rs + a_3s)u^2x' + (t^2 + a_1rt + a_3t)

に、右辺は $u^6x'^3 + (3r + a_2)u^4x'^2 + (3r^2 + 2a_2r + a_4)u^2x' + (r^3 + a_2r^2 + a_4r + a_6)$ になる。左辺の $x'^2, x'$ , 定数の項を右辺に移して $u^6$ で割れば主張の形になる。つまり $W(x, y) = u^6W'(x', y')$ （ $W'$ は $a_i'$ についての $W$ ）。

$b_2', b_4', b_6'$ . $\eta = 2y + a_1x + a_3$ , $g(x) = 4x^3 + b_2x^2 + 2b_4x + b_6$ とおくと、展開により

4W(x, y) = \eta^2 - g(x) \tag{1.4}

が成り立つ。 $a_1', a_3'$ の公式から $\eta = u^3\eta'$ （ $\eta' = 2y' + a_1'x' + a_3'$ ）なので、 $g'$ を $b_i'$ についての $g$ として $u^6(\eta'^2 - g'(x')) = 4u^6W' = 4W = u^6\eta'^2 - g(u^2x' + r)$ 、すなわち $u^6g'(x') = g(u^2x' + r)$ 。係数を比べればよい。

$b_8', c_4', c_6', \Delta', j'$ . 命題 1.4 の $4b_8 = b_2b_6 - b_4^2$ を両方の方程式に使うと $4u^8b_8' = (b_2 + 12r)(b_6 + 2rb_4 + r^2b_2 + 4r^3) - (b_4 + rb_2 + 6r^2)^2$ で、右辺を展開して $b_2b_6 - b_4^2 = 4b_8$ を使えば $4(b_8 + 3rb_6 + 3r^2b_4 + r^3b_2 + 3r^4)$ になる。 $u^4c_4' = (b_2 + 12r)^2 - 24(b_4 + rb_2 + 6r^2) = c_4$ で、 $c_6'$ も代入すると $r$ を含む項がすべて消える。命題 1.4 より $1728u^{12}\Delta' = (u^4c_4')^3 - (u^6c_6')^2 = c_4^3 - c_6^2 = 1728\Delta$ 。最後に $j' = (u^{-12}c_4^3)/(u^{-12}\Delta) = j$ 。 $\square$

定義 1.7（同型）2 つのワイエルシュトラス方程式が $u, r, s, t \in K$ の変数変換 (1.3) で移り合うとき、それらは $K$ 上同型であるという。

$(u_1, r_1, s_1, t_1)$ の後に $(u_2, r_2, s_2, t_2)$ を行うと $(u_1u_2,\ r_1 + u_1^2r_2,\ s_1 + u_1s_2,\ t_1 + u_1^2s_1r_2 + u_1^3t_2)$ になり、 $(u, r, s, t)$ の逆は $(u^{-1}, -u^{-2}r, -u^{-1}s, u^{-3}(rs - t))$ である（代入して確かめられる）。よって「同型」は同値関係である。命題 1.6 より、同型な方程式の判別式は $K^{\times 12}$ の元倍だけ異なり（特に $\Delta \neq 0$ は保たれる）、 $j$ は等しい。

1.5 標準形

命題 1.8（標準形）

$\operatorname{char} K \neq 2$ ならば、(1.1) は $K$ 上で $y^2 = x^3 + \frac{b_2}{4}x^2 + \frac{b_4}{2}x + \frac{b_6}{4}$ に同型で、 $c_4, c_6, \Delta$ は変わらない。

$\operatorname{char} K \neq 2, 3$ ならば、(1.1) は $K$ 上で短い形 $y^2 = x^3 + Ax + B$ （ $A = -c_4/48$ , $B = -c_6/864$ ）に同型で、 $c_4, c_6, \Delta$ は変わらない。さらに $u = 1/6$ で変換すると整数係数の形 $y^2 = x^3 - 27c_4x - 54c_6$ になる。

短い形 $y^2 = x^3 + Ax + B$ では

$b_2 = 0,\quad b_4 = 2A,\quad b_6 = 4B,\quad b_8 = -A^2,\quad c_4 = -48A,\quad c_6 = -864B,$ $\Delta = -16(4A^3 + 27B^2), \qquad j = 1728\frac{4A^3}{4A^3 + 27B^2} = \frac{-1728(4A)^3}{\Delta}$
である。 $\operatorname{char} K \neq 2, 3$ のとき、短い形を短い形に移す変数変換は $x = u^2x'$ , $y = u^3y'$ に限り、 $A' = u^{-4}A$ , $B' = u^{-6}B$ となる。

証明. (1) 変換 $(1, 0, -a_1/2, -a_3/2)$ を命題 1.6 に代入すると $a_1' = a_3' = 0$ , $a_2' = a_2 + a_1^2/4 = b_2/4$ , $a_4' = a_4 + a_1a_3/2 = b_4/2$ , $a_6' = a_6 + a_3^2/4 = b_6/4$ 。 $u = 1$ なので $c_4, c_6, \Delta$ は不変。(2) 続けて $(1, -b_2/12, 0, 0)$ で変換すると $x^2$ の係数が消え、 $x$ の係数は $-(b_2^2 - 24b_4)/48 = -c_4/48$ 、定数項は $(b_2^3 - 36b_2b_4 + 216b_6)/864 = -c_6/864$ になる。さらに $(1/6, 0, 0, 0)$ で $A' = 6^4A = -27c_4$ , $B' = 6^6B = -54c_6$ 。(3) 前半は定義への代入である。後半： $a_1 = a_2 = a_3 = 0$ なので命題 1.6 より $a_1' = 2s/u$ , $a_3' = 2t/u^3$ で、これらが $0$ になるのは（標数 $\neq 2$ より） $s = t = 0$ のときに限る。すると $a_2' = (3r - s^2)/u^2 = 3r/u^2$ で、これが $0$ になるのは（標数 $\neq 3$ より） $r = 0$ のときに限る。このとき $a_4' = u^{-4}a_4$ , $a_6' = u^{-6}a_6$ 。 $\square$

例 1.9 例 1.5 の 37a1 に $(1/2, 0, 0, -1/2)$ 、すなわち $x = x'/4$ , $y = y'/8 - 1/2$ を施すと $y'^2 = x'^3 - 16x' + 16$ になる（ $y^2 + y = (y + 1/2)^2 - 1/4$ に注意）。 $\Delta' = -16(4 \cdot (-16)^3 + 27 \cdot 16^2) = 151552 = 2^{12} \cdot 37 = u^{-12}\Delta$ で、 $j' = 110592/37$ と一致する（PARI/GP の ellidentify でも 37a1 と判定される）。

$1728 = 2^6 \cdot 3^3$ なので、標数 2, 3 では $j = 0$ と $j = 1728$ が一致する。

1.6 非特異性と判別式

平面曲線 $f(x, y) = 0$ の点 $P$ で $\partial f/\partial x(P) = \partial f/\partial y(P) = 0$ となるものを特異点 (singular point)、そうでない点を非特異点という（14 第1章の系 1.32）。点は $\overline{K}$ に座標をもつものまで考え、無限遠点では別のアフィン座標を使う。

定義 1.10（結節点・尖点）平面曲線 $f = 0$ の特異点 $P$ を平行移動で原点に移すと $f = q(x, y) + (\text{3 次以上の項})$ （ $q$ は 2 次形式）と書ける。 $q$ が $\overline{K}$ 上で比例しない 2 つの 1 次式の積のとき $P$ を結節点 (node)、 $0$ でない 1 次式の平方のとき尖点 (cusp) という。 $q$ の 1 次因子の定める直線を $P$ での接線という。

補題 1.11 (1.2) の定める曲線 $E$ は直線を含まない。特に (1.2) の左辺から右辺を引いた斉次 3 次式は $\overline{K}$ 上既約である。

証明. 無限遠直線と $E$ の共通部分は $\lbrace O \rbrace$ 。縦の直線 $x = c$ 上では $W(c, y)$ は $y$ のモニックな 2 次式、縦でない直線 $y = \lambda x + \nu$ 上では $W(x, \lambda x + \nu)$ は $x^3$ の係数が $-1$ の 3 次式なので、共通点はどちらも有限個である。斉次 3 次式が分解すれば 1 次の因子をもち、その直線が $E$ に含まれてしまう。 $\square$

定理 1.12（非特異性の判定）(1.1) の定める曲線 $E$ について、標数によらず次が成り立つ。

無限遠点 $O$ はつねに非特異点である。

$E$ が特異点をもつ $\iff$ $\Delta = 0$ 。

$\Delta = 0$ のとき特異点はただ一つで、 $c_4 \neq 0$ なら結節点、 $c_4 = 0$ なら尖点である。

証明. (1) $Y \neq 0$ の部分で $u = X/Y$ , $w = Z/Y$ を座標にとると、(1.2) は

G(u, w) := w + a_1uw + a_3w^2 - u^3 - a_2u^2w - a_4uw^2 - a_6w^3 = 0

で、 $O$ は $(u, w) = (0, 0)$ 。 $\partial G/\partial w(0, 0) = 1 \neq 0$ なので非特異である。

(2) の $\Rightarrow$ と (3) の型。特異点 $P = (x_0, y_0)$ があるとする。変換 $(1, x_0, 0, y_0)$ は $\Delta$ と $c_4$ を変えない（命題 1.6）ので、 $P = (0, 0)$ としてよい。すると $a_6 = -W(0, 0) = 0$ , $a_4 = -\partial W/\partial x(0, 0) = 0$ , $a_3 = \partial W/\partial y(0, 0) = 0$ で、 $b_4 = b_6 = b_8 = 0$ より $\Delta = 0$ , $c_4 = b_2^2 = (a_1^2 + 4a_2)^2$ 。方程式は $y^2 + a_1xy - a_2x^2 = x^3$ で、2 次の部分は $\overline{K}$ 上 $(y - \alpha x)(y - \beta x)$ （ $\alpha + \beta = -a_1$ , $\alpha\beta = -a_2$ ）と分解する。 $(\alpha - \beta)^2 = a_1^2 + 4a_2$ だから、結節点 $\iff$ $\alpha \neq \beta$ $\iff$ $c_4 \neq 0$ 。

(2) の $\Leftarrow$ 。 $\Delta = 0$ とする。標数 $\neq 2$ の場合. 命題 1.8(1) により $E\colon y^2 = f(x) = x^3 + a_2x^2 + a_4x + a_6$ としてよい（ $\Delta$ も特異点の有無も変わらない）。 $b_2 = 4a_2$ , $b_4 = 2a_4$ , $b_6 = 4a_6$ , $b_8 = 4a_2a_6 - a_4^2$ を代入すると

\Delta = 16(a_2^2a_4^2 - 4a_4^3 - 4a_2^3a_6 - 27a_6^2 + 18a_2a_4a_6) = 16(e_1 - e_2)^2(e_1 - e_3)^2(e_2 - e_3)^2 \tag{1.5}

である。ここで $e_1, e_2, e_3$ は $f$ の $\overline{K}$ での根で、二つ目の等号は 3 次式の判別式の公式である（04-algebra 第10章の定理 10.11(3)。根と係数の関係で展開しても確かめられる）。 $y^2 = f(x)$ の特異点は $2y = f'(x) = 0$ , $y^2 = f(x)$ をみたす点、すなわち $f$ の重根 $e$ に対する $(e, 0)$ である。 $\Delta = 0$ なら (1.5) より $f$ は重根をもち、特異点がある。

標数 2 の場合. $b_2 = a_1^2$ , $b_4 = a_1a_3$ , $b_6 = a_3^2$ で、 $\Delta = a_1^4b_8 + a_3^4 + a_1^3a_3^3$ 。 $a_1 = 0$ なら $\Delta = a_3^4 = 0$ より $a_3 = 0$ で、 $\partial W/\partial y = 2y = 0$ , $\partial W/\partial x = x^2 + a_4$ である。 $x_0^2 = a_4$ , $W(x_0, y_0) = 0$ となる $x_0, y_0 \in \overline{K}$ をとれば $(x_0, y_0)$ は特異点。 $a_1 \neq 0$ なら、 $r = a_3/a_1$ , $t = (a_4 + r^2)/a_1$ として $(1, r, 0, t)$ で変換すると、命題 1.6（標数 2 では $2 = 0$ , $-1 = 1$ , $3 = 1$ ）より $a_3' = a_3 + ra_1 = 0$ , $a_4' = a_4 + ta_1 + r^2 = 0$ となり、 $\Delta' = a_1^6a_6'$ 。 $\Delta' = \Delta = 0$ より $a_6' = 0$ で、原点が特異点である。

(3) の一意性。相異なる特異点 $P_1, P_2$ があれば、(1) より両方ともアフィン部分にある。 $h(s) = W(P_1 + s(P_2 - P_1))$ は 3 次以下の多項式で $h(0) = h'(0) = h(1) = h'(1) = 0$ だから、 $s^2(s - 1)^2$ で割り切れて $h = 0$ 。すると $P_1, P_2$ を通る直線が $E$ に含まれ、補題 1.11 に反する。 $\square$

$\Delta = 0$ のとき、特異点を原点に移した $y^2 + a_1xy - a_2x^2 = x^3$ を $x^2$ で割り $t = y/x$ とおくと $x = t^2 + a_1t - a_2$ , $y = tx$ 。つまり特異 3 次曲線は有理的にパラメータ表示でき、関数体は $\overline{K}(t)$ である（1.11 節で使う）。特異点を除いた部分 $E_{\mathrm{ns}}$ の群構造は第2章の 2.7 節で調べる。

定義 1.13（楕円曲線） $K$ 上の楕円曲線 (elliptic curve) とは、 $a_i \in K$ , $\Delta \neq 0$ であるワイエルシュトラス方程式 (1.1) で定まる射影平面曲線 $E$ に、基点 $O = [0 : 1 : 0]$ を指定したものである。 $E/K$ と書く。

これが「種数 1 の非特異射影曲線と、その上の $K$ 有理点 $O$ の組」という内在的な定義と同じであることは、 $K$ が代数閉体の場合に 1.11 節で示す（一般の $K$ については注意 1.24）。

例 1.14（実数点の形） $A, B \in \mathbb{R}$ の $y^2 = x^3 + Ax + B$ では (1.5) より $\Delta = 16(e_1 - e_2)^2(e_1 - e_3)^2(e_2 - e_3)^2$ なので、3 根が相異なる実数なら $\Delta > 0$ 、実根が 1 つ（ $e_1$ ）で残りが共役な虚根 $e, \bar{e}$ なら $(e_1 - e)^2(e_1 - \bar{e})^2 = \lvert e_1 - e \rvert^4 > 0$ と $(e - \bar{e})^2 = -4(\operatorname{Im} e)^2 < 0$ より $\Delta < 0$ である。実数点は $x^3 + Ax + B \geq 0$ となる $x$ の上に $y = \pm\sqrt{x^3 + Ax + B}$ をかいたものだから、 $\Delta > 0$ なら（ $e_1 < e_2 < e_3$ として） $[e_1, e_2]$ の上の閉じた卵形と $[e_3, \infty)$ の上の無限に延びる部分の 2 成分、 $\Delta < 0$ なら 1 成分になる。下の図の左 2 つは $y^2 = x^3 - x$ （ $\Delta = 64$ ）と $y^2 = x^3 - x + 1$ （ $\Delta = -368$ ）、右 2 つは $\Delta = 0$ の $y^2 = x^3 + x^2$ （ $c_4 = 16$ ：原点が結節点で接線は $y = \pm x$ ）と $y^2 = x^3$ （ $c_4 = 0$ ：原点が尖点）である。

実数点のグラフ。y² = x³ − x は判別式 64 が正で成分が 2 つ、y² = x³ − x + 1 は判別式 −368 が負で成分が 1 つ、y² = x³ + x² は原点に結節点、y² = x³ は原点に尖点をもつ

1.7 $j$ 不変量による分類

定理 1.15（ $j$ 不変量による分類） $E, E'$ を $K$ 上の楕円曲線とする。

（標数は任意） $E$ と $E'$ が $K$ 上同型ならば $j(E) = j(E')$ 。

$\operatorname{char} K \neq 2, 3$ とする。 $j(E) = j(E')$ ならば $E$ と $E'$ は $\overline{K}$ 上同型である。

証明. (1) は命題 1.6 である。(2) 命題 1.8 により $E\colon y^2 = x^3 + Ax + B$ , $E'\colon y^2 = x^3 + A'x + B'$ としてよい。 $j$ の式の分母を払えば、 $j = j'$ は $A^3B'^2 = A'^3B^2$ と同値。命題 1.8(3) より $A' = u^{-4}A$ , $B' = u^{-6}B$ となる $u \in \overline{K}^\times$ を見つければよい。

$A = 0$ のとき： $j = j' = 0$ より $A' = 0$ 、 $\Delta \neq 0$ より $BB' \neq 0$ 。 $u^6 = B/B'$ となる $u$ をとる。
$B = 0$ のとき： $j - 1728 = -1728 \cdot 27B^2/(4A^3 + 27B^2)$ だから $j = 1728$ $\iff$ $B = 0$ 。よって $B' = 0$ , $AA' \neq 0$ で、 $u^4 = A/A'$ となる $u$ をとる。
$AB \neq 0$ のとき： $j \neq 0, 1728$ より $A'B' \neq 0$ 。 $u^4 = A/A'$ ととると $u^{12} = (A/A')^3 = (B/B')^2$ なので $u^6 = \pm B/B'$ 。負号なら $u$ を $iu$ （ $i^2 = -1$ ）に替えれば、 $u^4$ は変わらず $u^6$ の符号が変わる。 $\square$

命題 1.16（任意の $j$ を実現する曲線） $j_0 \in K$ とする（標数は任意）。 $j_0 \neq 0, 1728$ なら
$E\colon y^2 + xy = x^3 - \frac{36}{j_0 - 1728}x - \frac{1}{j_0 - 1728}$
は $\Delta = j_0^2/(j_0 - 1728)^3$ , $j(E) = j_0$ である。 $j_0 = 0$ なら $y^2 + y = x^3$ （ $\Delta = -27$ ）、 $j_0 = 1728$ なら $y^2 = x^3 + x$ （ $\Delta = -64$ ）が $j = j_0$ の楕円曲線である。ただし $j_0 = 0 = 1728$ となる標数 3 では $y^2 = x^3 + x$ を、標数 2 では $y^2 + y = x^3$ を使う。

証明. $m = 1/(j_0 - 1728)$ とおくと $a_1 = 1$ , $a_4 = -36m$ , $a_6 = -m$ （ほかは $0$ ）で、 $b_2 = 1$ , $b_4 = -72m$ , $b_6 = -4m$ , $b_8 = -m - 1296m^2$ 。よって $c_4 = 1 + 1728m$ ,

\Delta = (m + 1296m^2) + 8 \cdot 72^3m^3 - 27 \cdot 16m^2 + 9 \cdot 288m^2 = m + 3456m^2 + 2985984m^3 = m(1 + 1728m)^2

である。 $1 + 1728m = j_0m$ だから $\Delta = j_0^2m^3 \neq 0$ で、 $j = c_4^3/\Delta = (1 + 1728m)/m = j_0$ 。 $y^2 + y = x^3$ は $c_4 = 0$ , $\Delta = -27$ 、 $y^2 = x^3 + x$ は $c_4 = -48$ , $\Delta = -64$ , $j = 1728$ で、 $-27$ は標数 3 でだけ、 $-64$ は標数 2 でだけ $0$ になる。 $\square$

注意 1.17 (1) 代数閉でない体の上では、 $j$ が等しくても同型とは限らない。たとえば $y^2 = x^3 - x$ と $y^2 = x^3 - 4x$ はどちらも $j = 1728$ だが $\mathbb{Q}$ 上同型でない（問題 1.4）。この違いを記述するのが次節のツイストである。(2) 定理 1.15(2) は標数 2, 3 でも成り立つ（1.9 節で示す。AEC の付録 A も参照）。(3) 定理 1.15 と命題 1.16 により、 $\overline{K}$ 上の楕円曲線の同型類は $j$ によって $\overline{K}$ の元と一対一に対応する。

1.8 自己同型とツイスト

楕円曲線 $E$ を自分自身に移す $\overline{K}$ 上の変数変換 (1.3) の全体は合成について群をなす。これを $\operatorname{Aut}(E)$ と書く（注意 1.24(2) により、これは $O$ を固定する曲線の自己同型の群である）。変換 $x = u^2x'$ , $y = u^3y'$ は、点の写像としては $(x, y) \mapsto (u^2x, u^3y)$ である。

命題 1.18（自己同型群） $\operatorname{char} K \neq 2, 3$ とし、 $E/K$ を楕円曲線、 $\mu_n$ を $\overline{K}$ の 1 の $n$ 乗根の群とする。 $\operatorname{Aut}(E)$ は $j \neq 0, 1728$ なら $\mu_2$ 、 $j = 1728$ なら $\mu_4$ 、 $j = 0$ なら $\mu_6$ に同型で、位数はそれぞれ $2, 4, 6$ である。 $\zeta \in \mu_n$ には $(x, y) \mapsto (\zeta^2x, \zeta^3y)$ が対応する。

証明. $E\colon y^2 = x^3 + Ax + B$ としてよい。命題 1.8(3) の後半より、 $E$ を $E$ に移す変換は $(u, 0, 0, 0)$ で $u^{-4}A = A$ , $u^{-6}B = B$ をみたすものであり、合成は $u$ の積に対応する。 $j \neq 0, 1728$ なら $AB \neq 0$ で $u^4 = u^6 = 1$ 、よって $u^2 = 1$ 。 $j = 1728$ なら $B = 0 \neq A$ で条件は $u^4 = 1$ 、 $j = 0$ なら $A = 0 \neq B$ で条件は $u^6 = 1$ 。標数が $2, 3$ でないので $\lvert \mu_n \rvert = n$ （ $n = 2, 4, 6$ ）である。 $\square$

$u = -1$ は $(x, y) \mapsto (x, -y)$ である。 $y^2 = x^3 + Ax$ （ $j = 1728$ ）では $(x, y) \mapsto (-x, iy)$ が位数 4 の、 $y^2 = x^3 + B$ （ $j = 0$ ）では $\zeta_3$ を 1 の原始 3 乗根として $(x, y) \mapsto (\zeta_3x, -y)$ が位数 6 の自己同型である。これらは虚数乗法の例として第3章（例 3.35）と第9章（例 9.12）で再登場する。なお標数 2, 3 で $j = 0$ のとき、 $\operatorname{Aut}(E)$ の位数はそれぞれ 24, 12 である（AEC III.10.1。標数 3 の例は問題 1.8）。

定義 1.19（二次ツイスト, quadratic twist） $\operatorname{char} K \neq 2, 3$ , $E\colon y^2 = x^3 + Ax + B$ , $d \in K^\times$ とする。曲線 $dy^2 = x^3 + Ax + B$ を $E$ の $d$ による二次ツイストといい $E^{(d)}$ と書く。両辺に $d^3$ を掛けて $(dx, d^2y)$ を新しい $(x, y)$ とすれば、 $E^{(d)}$ はワイエルシュトラス方程式 $y^2 = x^3 + d^2Ax + d^3B$ で表される。

命題 1.20 (1) $j(E^{(d)}) = j(E)$ であり、 $E^{(d)}$ は $K(\sqrt{d})$ 上で $E$ に同型である。(2) $j(E) \neq 0, 1728$ ならば、 $E^{(d)}$ が $K$ 上で $E$ に同型 $\iff$ $d \in K^{\times 2}$ 。

証明. (1) $j$ が等しいことは命題 1.8(3) の $j$ の式からわかる。 $u = \sqrt{d}$ とすると $u^{-4}d^2A = A$ , $u^{-6}d^3B = B$ なので、変換 $x = u^2x'$ , $y = u^3y'$ で $y^2 = x^3 + d^2Ax + d^3B$ は $E$ に移る。(2) $AB \neq 0$ である。 $K$ 上同型なら、命題 1.8(3) より $u^{-4}d^2A = A$ , $u^{-6}d^3B = B$ となる $u \in K^\times$ があり、 $u^4 = d^2$ , $u^6 = d^3$ の比から $u^2 = d$ 。逆は (1) で $\sqrt{d} \in K$ の場合である。 $\square$

例 1.21 合同数の曲線 $E_n\colon y^2 = x^3 - n^2x$ は $E_1\colon y^2 = x^3 - x$ の $n$ による二次ツイストである。 $E_1$ は $j = 1728$ なので命題 1.20(2) は使えないが、命題 1.8(3) から直接、 $E_n$ と $E_m$ が $\mathbb{Q}$ 上同型 $\iff$ $n/m \in \pm\mathbb{Q}^{\times 2}$ がわかる（問題 1.4）。三角形の辺を $k$ 倍すれば面積は $k^2$ 倍になるので、「 $n$ が合同数か」は $n$ の平方因子によらないが、これは $E_n \cong E_{nk^2}$ と整合している。

一般に、 $\overline{K}$ 上で $E$ と同型になる $K$ 上の楕円曲線を $E$ のツイストという。 $\operatorname{char} K \neq 2, 3$ では、 $j \neq 0, 1728$ ならツイストは二次ツイストで尽き（問題 1.5）、 $j = 1728$ では $y^2 = x^3 + Dx$ （ $D \in K^\times/K^{\times 4}$ ）、 $j = 0$ では $y^2 = x^3 + D$ （ $D \in K^\times/K^{\times 6}$ ）がツイストの全体である（AEC 第 X 章。主張）。

1.9 標数 2 と 3

標数 2 では $a_1 = a_3 = 0$ の方程式はつねに $\Delta = 0$ であり（定理 1.12 の証明で $\Delta = a_3^4$ ）、標数 3 では短い形の $c_4 = -48A$ が $0$ なので $j \neq 0$ の曲線を表せない。代わりに次の標準形を使う（AEC の付録 A）。表の $\Delta, j$ は定義 1.3 を $3$ または $2$ を法として計算したものである。

標数	$j \neq 0$ の標準形	$\Delta$ と $j$	$j = 0$ の標準形	$\Delta$
3	$y^2 = x^3 + a_2x^2 + a_6$	$\Delta = -a_2^3a_6$ , $j = -a_2^3/a_6$	$y^2 = x^3 + a_4x + a_6$	$\Delta = -a_4^3$
2	$y^2 + xy = x^3 + a_2x^2 + a_6$	$\Delta = a_6$ , $j = 1/a_6$	$y^2 + a_3y = x^3 + a_4x + a_6$	$\Delta = a_3^4$

どの楕円曲線も $K$ 上の変数変換でいずれかの形にできる。実際、標数 3 では命題 1.8(1) で $y^2 = x^3 + a_2x^2 + a_4x + a_6$ とすると $c_4 = a_2^2$ なので、 $j \neq 0$ なら $a_2 \neq 0$ で、 $(1, a_4/a_2, 0, 0)$ で変換すると $a_4' = a_4 + 2ra_2 + 3r^2 = 3a_4 + 3r^2 = 0$ になる。 $j = 0$ なら $a_2 = 0$ である。標数 2 では $c_4 = a_1^4$ なので、 $j \neq 0$ なら $a_1 \neq 0$ で、定理 1.12 の証明の変換 $(1, r, 0, t)$ で $a_3 = a_4 = 0$ にしてから $(a_1, 0, 0, 0)$ で $a_1 = 1$ にすればよい。 $j = 0$ なら $a_1 = 0$ で、 $(1, a_2, 0, 0)$ で $a_2 = 0$ になる。

これを使うと、定理 1.15(2) は標数 2, 3 でも成り立つ（注意 1.17(2)）。 $j \neq 0$ のとき、標数 3 では $u^2 = a_2$ として $(u, 0, 0, 0)$ で変換すると $y^2 = x^3 + x^2 - 1/j$ になり（問題 1.8）、標数 2 では $s^2 + s = a_2$ となる $s \in \overline{K}$ をとり $(1, 0, s, 0)$ 、すなわち $y = y' + sx$ で変換すると $y^2 + xy = x^3 + 1/j$ になる。 $j = 0$ のとき、標数 3 では $u^4 = -a_4$ , $r^3 + a_4r + a_6 = 0$ となる $u, r \in \overline{K}$ をとって $(u, r, 0, 0)$ で変換すると $y^2 = x^3 - x$ になり、標数 2 では $u^3 = a_3$ , $s^4 + a_3s + a_4 = 0$ , $t^2 + a_3t + a_6 + s^2a_4 + s^6 = 0$ となる $u, s, t \in \overline{K}$ をとって $(u, s^2, s, t)$ で変換すると $y^2 + y = x^3$ になる（いずれも命題 1.6 に代入して確かめられる）。どの場合も $\overline{K}$ 上で $j$ だけで決まる方程式に移るので、 $j$ が等しい 2 つの楕円曲線は $\overline{K}$ 上同型である。

1.10 不変微分（紹介）

命題 1.22（不変微分, invariant differential）楕円曲線 $E$ 上の微分形式
$\omega = \frac{dx}{2y + a_1x + a_3} = \frac{dy}{3x^2 + 2a_2x + a_4 - a_1y}$
は $E$ 全体で正則で零点をもたない（主張）。変数変換 (1.3) について $\omega = u^{-1}\omega'$ である。

二つの表示が等しいことは (1.1) の微分 $(2y + a_1x + a_3)\ dy = (3x^2 + 2a_2x + a_4 - a_1y)\ dx$ から、後半は $dx = u^2\ dx'$ と $2y + a_1x + a_3 = u^3(2y' + a_1'x' + a_3')$ （命題 1.6 の証明）からわかる。前半は AEC 第 III 章を参照（短い形では 14 第6章の問題 6.5）。 $\omega$ は平行移動で不変なので（第3章の注意 3.22。証明は AEC III.5.1）不変微分と呼ばれる。 $\mathbb{C}$ 上の短い形の曲線の点を格子の $\wp$ 関数で $(x, y) = (\wp(z), \wp'(z)/2)$ と表せば $\omega = dx/(2y) = dz$ である（19 第2章の 2.7 節）。

1.11 種数 1 の曲線とワイエルシュトラス方程式

この節では $k$ を代数閉体とし、曲線は 14 第8章の意味で考える。非特異射影曲線 $C$ の点 $P$ の局所環は離散付値環で、その付値を $\operatorname{ord}_P\colon k(C)^\times \to \mathbb{Z}$ と書く。 $L(D)$ , $\ell(D)$ は 14 第8章の定義 8.7 のとおりとする。

定理 1.23（ワイエルシュトラス方程式の存在と一意性） $C$ を $k$ 上の種数 1 の非特異射影曲線、 $O \in C$ とする。

$O$ にだけそれぞれ 2 位、3 位の極をもつ $x, y \in k(C)$ があり、 $\varphi = [x : y : 1]\colon C \to \mathbb{P}^2$ は $C$ から、 $\Delta \neq 0$ のワイエルシュトラス方程式で定まる曲線 $E$ への同型で、 $\varphi(O) = [0 : 1 : 0]$ となる。

$x', y' \in k(C)$ も $O$ にだけそれぞれ 2 位、3 位の極をもち、あるワイエルシュトラス方程式をみたすならば、ある $u \in k^\times$ , $r, s, t \in k$ により $x = u^2x' + r$ , $y = u^3y' + su^2x' + t$ となる。したがって得られる方程式は変数変換 (1.3) を除いて一意的である。

逆に、楕円曲線 $E$ （定義 1.13）は種数 1 の非特異射影曲線で、座標関数 $x, y$ は $O$ にだけそれぞれ 2 位、3 位の極をもつ。

証明. (1) リーマン–ロッホの定理（14 第8章の定理 8.10）の系 8.11(2) より、 $g = 1$ では $n \geq 1$ について $\ell(nO) = n$ 。 $L(O)$ は定数だけなので、 $L(2O)$ には $O$ でちょうど 2 位の極をもつ $x$ が、 $L(3O)$ にはちょうど 3 位の極をもつ $y$ がある。7 つの関数 $1, x, y, x^2, xy, y^2, x^3$ は 6 次元の $L(6O)$ に入るので、自明でない一次関係

A_1 + A_2x + A_3y + A_4x^2 + A_5xy + A_6y^2 + A_7x^3 = 0

がある。各項の $O$ での極の位数は $0, 2, 3, 4, 5, 6, 6$ である。係数が $0$ でない項で極の位数が最大のものがただ一つなら、その極は打ち消されない。よって位数 6 が 2 回現れ、 $A_6A_7 \neq 0$ 。この関係式の $x, y$ に $-A_6A_7x$ , $A_6A_7^2y$ を代入して $A_6^3A_7^4$ で割れば、 $y^2, x^3$ の係数が $1, -1$ になる。つまり $x, y$ をそれぞれ $-x/(A_6A_7)$ , $y/(A_6A_7^2)$ に取り替えれば（極の位数は変わらない）、 $x, y$ は (1.1) の形の方程式をみたす。

$\varphi = [x : y : 1]$ は $C$ からこの 3 次曲線 $E$ への射に延びる（14 第8章の命題 8.1）。 $O$ の近くでは $\varphi = [x/y : 1 : 1/y]$ で $x/y, 1/y$ は $O$ で $0$ だから、 $\varphi(O) = [0 : 1 : 0]$ 。 $x\colon C \to \mathbb{P}^1$ は $\infty$ の逆像が $2O$ なので次数 2、すなわち $[k(C) : k(x)] = 2$ （14 第8章の定理 8.5）。同様に $[k(C) : k(y)] = 3$ で、 $[k(C) : k(x, y)]$ は 2 と 3 を割るから $k(C) = k(x, y)$ 。像 $\varphi(C)$ は既約な閉集合（14 第2章の定理 2.18）で 1 点でないから、既約な曲線 $E$ （補題 1.11）に一致し、 $\varphi\colon C \to E$ は双有理である。 $E$ が特異点をもてば、定理 1.12 の後で見たように $k(E) = k(t)$ で、 $C$ は $\mathbb{P}^1$ と双有理同値、したがって $C \cong \mathbb{P}^1$ （14 第8章の定理 8.2）となり種数 1 に反する。よって $E$ は非特異で、非特異射影曲線の間の双有理な射 $\varphi$ は同型である（同じく定理 8.2）。

(2) $\lbrace 1, x \rbrace$ と $\lbrace 1, x' \rbrace$ はともに 2 次元の $L(2O)$ の基底なので $x = u_1x' + r$ （ $u_1 \neq 0$ ）。 $1, x', y'$ は極の位数が相異なるので一次独立で、 $L(3O)$ の基底だから $y = u_2y' + s_2x' + t$ （ $u_2 \neq 0$ ）。これを $x, y$ の方程式に代入すると、 $1, x', y', x'^2, x'y', y'^2, x'^3$ の一次関係で $y'^2, x'^3$ の係数が $u_2^2, -u_1^3$ のものを得る。 $1, x', y', x'^2, x'y', x'^3$ は極の位数が相異なるので一次独立で、一次関係は $y'^2$ の係数で決まる。よってこの関係は $x', y'$ の方程式（ $y'^2, x'^3$ の係数が $1, -1$ ）の $u_2^2$ 倍で、 $u_2^2 = u_1^3$ 。 $u = u_2/u_1$ とおけば $u^2 = u_1$ , $u^3 = u_2^3/u_1^3 = u_2$ となり、 $s = s_2/u^2$ として主張の形になる。

(3) 非特異な平面 3 次曲線の種数は $(3 - 1)(3 - 2)/2 = 1$ （14 第8章の定理 8.20）。定理 1.12 の証明の座標 $(u, w)$ で、 $O$ の近くでは $w(1 + a_1u + a_3w - a_2u^2 - a_4uw - a_6w^2) = u^3$ が成り立ち、括弧の中は $O$ で $0$ にならない。よって $w$ は $u^3$ の単元倍で、 $O$ での極大イデアルは $u$ で生成されるから $\operatorname{ord}_O u = 1$ , $\operatorname{ord}_O w = 3$ 。 $x = u/w$ , $y = 1/w$ より $\operatorname{ord}_O x = -2$ , $\operatorname{ord}_O y = -3$ で、アフィン部分では $x, y$ は正則である。 $\square$

注意 1.24 (1) $C$ と $O$ が $K$ 上定義されていれば、 $x, y$ を $K(C)$ からとれて $a_i \in K$ となる（AEC III.3.1。 $K$ 上定義された因子 $D$ について $L(D)$ が $K$ 上の関数からなる基底をもつことを使う）。こうして定義 1.13 は「種数 1 の非特異射影曲線と $K$ 有理点 $O$ の組」という定義と同じものになる。(2) 楕円曲線の間の曲線としての同型 $\psi\colon E \to E'$ で $\psi(O) = O'$ となるものは変数変換 (1.3) で与えられる。実際 $\psi^{\ast}x', \psi^{\ast}y'$ は $E$ 上で定理 1.23(2) の仮定をみたす。 $O$ を $O'$ に移さない同型も、第2章の群法則による平行移動（第3章例 3.9(3)）と合成すればこの場合に帰着する。したがって $j$ は代数閉体上の種数 1 の曲線を同型を除いて分類する。

1.12 ルジャンドル形

命題 1.25（ルジャンドル形, Legendre form） $\operatorname{char} K \neq 2$ とする。

$K$ 上の楕円曲線は $\overline{K}$ 上で $E_\lambda\colon y^2 = x(x - 1)(x - \lambda)$ （ $\lambda \in \overline{K} \setminus \lbrace 0, 1 \rbrace$ ）に同型である。

$j(E_\lambda) = 2^8\dfrac{(\lambda^2 - \lambda + 1)^3}{\lambda^2(\lambda - 1)^2}$ 。

$j(E_\lambda) = j(E_\mu)$ $\iff$ $\mu \in \lbrace \lambda, 1/\lambda, 1 - \lambda, 1/(1 - \lambda), \lambda/(\lambda - 1), (\lambda - 1)/\lambda \rbrace$ 。

証明. (1) 命題 1.8(1) で $y^2 = (x - e_1)(x - e_2)(x - e_3)$ （ $e_i \in \overline{K}$ は相異なる）としてよい。 $u = (e_2 - e_1)^{1/2}$ として $(u, e_1, 0, 0)$ で変換すると $y'^2 = x'(x' - 1)(x' - \lambda)$ , $\lambda = (e_3 - e_1)/(e_2 - e_1)$ になる。(2) $a_2 = -(1 + \lambda)$ , $a_4 = \lambda$ から $c_4 = 16(\lambda^2 - \lambda + 1)$ , $\Delta = 16\lambda^2(\lambda - 1)^2$ 。(3) 6 つの値は、(1) で根の番号を付け替えて得られる $\lambda$ である（ $e_1$ と $e_2$ を入れ替えれば $1 - \lambda$ 、など）から、 $j$ は等しい。逆に、 $\mu$ の方程式 $2^8(\mu^2 - \mu + 1)^3 = j(E_\lambda)\mu^2(\mu - 1)^2$ は 6 次なので、6 つの値が相異なれば根はそれで尽きる。重なりがあるのは、 $\lambda$ が恒等写像以外の 5 つの変換のどれかで固定されるとき、すなわち $\lambda \in \lbrace -1, 2, 1/2 \rbrace$ （ $j = 1728$ ）または $\lambda^2 - \lambda + 1 = 0$ （ $j = 0$ ）のときだが、 $j(E_\mu) - 1728 = 64(\mu + 1)^2(\mu - 2)^2(2\mu - 1)^2/\bigl(\mu^2(\mu - 1)^2\bigr)$ と (2) から、このときも $j(E_\mu) = j(E_\lambda)$ となる $\mu$ はそれぞれ $\lbrace -1, 2, 1/2 \rbrace$ 、 $\mu^2 - \mu + 1 = 0$ の根に限る。 $\square$

特に標数 $\neq 2, 3$ では $\lambda \mapsto j$ は $j = 0, 1728$ の上を除いて 6 対 1 である。ルジャンドル形では 2 等分点 $(0, 0), (1, 0), (\lambda, 0)$ がすべて有理点になる。

まとめ

合同数問題・ $y^2 = x^3 + k$ の整数解・楕円曲線暗号は、いずれも 3 次曲線の点の問題である。ワイエルシュトラス方程式の射影閉包は無限遠点 $O = [0 : 1 : 0]$ をただ一つもつ。
不変量 $b_i, c_4, c_6, \Delta$ は $a_i$ の整数係数多項式で、 $4b_8 = b_2b_6 - b_4^2$ , $1728\Delta = c_4^3 - c_6^2$ 。変数変換で $u^4c_4' = c_4$ , $u^6c_6' = c_6$ , $u^{12}\Delta' = \Delta$ , $j' = j$ 。
標数 $\neq 2, 3$ では短い形 $y^2 = x^3 + Ax + B$ （ $\Delta = -16(4A^3 + 27B^2)$ ）にでき、標数 2, 3 には別の標準形がある。
標数によらず、非特異 $\iff$ $\Delta \neq 0$ 。 $\Delta = 0$ なら特異点はただ一つで、 $c_4 \neq 0$ なら結節点、 $c_4 = 0$ なら尖点。
代数閉体上の同型類は $j$ で分類され（標数 2, 3 の場合は 1.9 節）、任意の $j_0$ を実現する曲線がある。代数閉でない体の上ではツイストの違いが残る。
標数 $\neq 2, 3$ で $\lvert \operatorname{Aut}(E) \rvert$ は $j \neq 0, 1728$ なら 2、 $j = 1728$ なら 4、 $j = 0$ なら 6。
種数 1 の曲線と 1 点からは、リーマン–ロッホの定理により $L(2O)$ , $L(3O)$ の関数でワイエルシュトラス方程式が得られ、それは変数変換を除いて一意的である。

演習問題

問題 1.1 ★ 導手 11 の曲線 11a1： $y^2 + y = x^3 - x^2 - 10x - 20$ の $b_2, b_4, b_6, b_8, c_4, c_6, \Delta, j$ を計算し、命題 1.4 の 2 つの関係式を確かめよ。

解答

$[a_1, a_2, a_3, a_4, a_6] = [0, -1, 1, -10, -20]$ より $b_2 = -4$ , $b_4 = -20$ , $b_6 = 1 - 80 = -79$ , $b_8 = 4 \cdot (-1)(-20) + (-1) \cdot 1 - 100 = -21$ 。 $c_4 = 16 + 480 = 496$ , $c_6 = 64 + 2880 + 17064 = 20008$ 。

\Delta = -16 \cdot (-21) - 8 \cdot (-20)^3 - 27 \cdot 79^2 + 9 \cdot (-4)(-20)(-79) = 336 + 64000 - 168507 - 56880 = -161051 = -11^5

で、 $j = 496^3/(-161051) = -122023936/161051 = -2^{12} \cdot 31^3/11^5$ 。検算： $4b_8 = -84$ , $b_2b_6 - b_4^2 = 316 - 400 = -84$ 。 $c_4^3 - c_6^2 = 122023936 - 400320064 = -278296128 = 1728 \cdot (-161051)$ 。（PARI/GP の ellinit([0,-1,1,-10,-20]) で同じ値が得られる。）

問題 1.2 ★ 次の曲線の $\Delta$ と $c_4$ を求め、特異点とその型を答えよ。(1) で特異点での接線は $\mathbb{Q}$ 上定義されるか。 (1) $y^2 = x^3 - 3x + 2$ 　(2) $y^2 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$

解答

(1) $A = -3$ , $B = 2$ で $\Delta = -16(4 \cdot (-27) + 27 \cdot 4) = 0$ , $c_4 = -48A = 144 \neq 0$ なので結節点が一つある。 $x^3 - 3x + 2 = (x - 1)^2(x + 2)$ より特異点は $(1, 0)$ 。 $x = X + 1$ とすると $y^2 = X^2(X + 3)$ で、2 次の部分 $y^2 - 3X^2$ から接線は $y = \pm\sqrt{3}(x - 1)$ 。 $\sqrt{3} \notin \mathbb{Q}$ なので $\mathbb{Q}$ 上定義されない（ $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ 上で定義される）。

(2) 右辺は $(x + 1)^3$ 。 $b_2 = 12$ , $b_4 = 6$ , $b_6 = 4$ , $b_8 = 12 - 9 = 3$ で、 $c_4 = 144 - 144 = 0$ , $\Delta = -432 - 1728 - 432 + 2592 = 0$ 。よって尖点で、特異点は $(-1, 0)$ （ $x = X - 1$ で $y^2 = X^3$ ）。

問題 1.3 ★★ 例 1.1 の 2 つの対応が、 $\lbrace (a, b, c) \in \mathbb{Q}^3 \mid a^2 + b^2 = c^2,\ ab = 2n \rbrace$ と $\lbrace (x, y) \in E_n(\mathbb{Q}) \mid y \neq 0 \rbrace$ の間の互いに逆な全単射であることを示せ。

解答

三角形から点. $ab = 2n \neq 0$ より $b \neq 0$ 。 $a + c = 0$ なら $b^2 = c^2 - a^2 = 0$ となるので $a + c \neq 0$ 。 $c^2 - b^2 = a^2$ を使うと

x^2 - n^2 = \frac{n^2\bigl((a + c)^2 - b^2\bigr)}{b^2} = \frac{2n^2a(a + c)}{b^2}

なので $x^3 - n^2x = x(x^2 - n^2) = 2n^3a(a + c)^2/b^3$ 。 $n = ab/2$ を一つ代入すると $n^2a^2(a + c)^2/b^2$ で、 $a = 2n/b$ より $= 4n^4(a + c)^2/b^4 = y^2$ 。 $y \neq 0$ も明らか。

点から三角形. $a^2 + b^2 = \bigl((x^2 - n^2)^2 + 4n^2x^2\bigr)/y^2 = (x^2 + n^2)^2/y^2 = c^2$ 、 $ab/2 = n(x^3 - n^2x)/y^2 = n$ 。

互いに逆. 点 $(x, y)$ から作った $(a, b, c)$ では $a + c = 2x^2/y$ , $b = 2nx/y$ （ $y \neq 0$ より $x \neq 0$ ）だから、 $n(a + c)/b = x$ , $2n^2(a + c)/b^2 = 2n^2 \cdot (2x^2/y) \cdot y^2/(4n^2x^2) = y$ 。逆に $(a, b, c)$ から作った $(x, y)$ では、上の計算から $(x^2 - n^2)/y = a$ , $2nx/y = b$ で、 $(x^2 + n^2)/y = a + 2n^2/y = a + b^2/(a + c) = (c^2 + ac)/(a + c) = c$ 。

問題 1.4 ★★ 正の整数 $n, m$ について、 $E_n\colon y^2 = x^3 - n^2x$ と $E_m$ が $\mathbb{Q}$ 上同型 $\iff$ $n/m \in \pm\mathbb{Q}^{\times 2}$ を示せ。また $y^2 = x^3 - x$ と $y^2 = x^3 - 4x$ は $\mathbb{Q}$ 上同型でないが、 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 上でも $\mathbb{Q}(\sqrt{-2})$ 上でも同型であることを示せ。

解答

命題 1.8(3) より、短い形どうしの同型は $x = u^2x'$ , $y = u^3y'$ で $A' = u^{-4}A$ , $B' = u^{-6}B$ となるものに限る。 $A = -n^2$ , $A' = -m^2$ , $B = B' = 0$ だから、同型 $\iff$ $u^4 = n^2/m^2$ となる $u \in \mathbb{Q}^\times$ がある $\iff$ $u^2 = \pm n/m$ となる $u$ がある $\iff$ $n/m \in \pm\mathbb{Q}^{\times 2}$ 。 $n = 1$ , $m = 2$ では $\pm 1/2$ は $\mathbb{Q}$ の平方でないので同型でない。体 $L$ 上では $u^2 = \pm 1/2$ となる $u \in L$ があればよく、 $u = 1/\sqrt{2} \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 、 $u = 1/\sqrt{-2} \in \mathbb{Q}(\sqrt{-2})$ がそれぞれ同型を与える。

問題 1.5 ★★ $\operatorname{char} K \neq 2, 3$ とし、 $K$ 上の楕円曲線 $E\colon y^2 = x^3 + Ax + B$ と $E'\colon y^2 = x^3 + A'x + B'$ が $j(E) = j(E') \neq 0, 1728$ をみたすとする。 $d = AB'/(A'B)$ とおくと $E'$ は $E^{(d)}$ に一致することを示せ。特に $j \neq 0, 1728$ ならツイストは二次ツイストで尽きる。

解答

$j \neq 0, 1728$ より $ABA'B' \neq 0$ で、 $j = j'$ は $A^3B'^2 = A'^3B^2$ と同値である（定理 1.15 の証明）。 $E^{(d)}$ は $y^2 = x^3 + d^2Ax + d^3B$ であり、

d^2A = \frac{A^3B'^2}{A'^2B^2} = \frac{A'^3B^2}{A'^2B^2} = A', \qquad d^3B = \frac{A^3B'^3}{A'^3B^2} = \frac{A^3B'^2}{A'^3B^2}B' = B'

となる。よって $E^{(d)} = E'$ 。 $E$ のツイスト $E'$ は $\overline{K}$ 上で $E$ と同型なので $j(E') = j(E)$ （定理 1.15(1)）であり、この結果が使える。

問題 1.6 ★★ $p \geq 5$ を素数とし、 $E\colon y^2 = x^3 - x$ を $\mathbb{F}_p$ 上で考える。 $i \in \overline{\mathbb{F}}_p$ を $i^2 = -1$ となる元とする。 $\operatorname{Aut}(E)$ は $[i]\colon (x, y) \mapsto (-x, iy)$ で生成される位数 4 の巡回群で、 $[i] \circ [i] = [-1]$ となることを示せ。また、 $i \in \mathbb{F}_p$ となる（ $[i]$ が $\mathbb{F}_p$ 上定義される）ための条件は $p \equiv 1 \pmod 4$ であることを示せ。

解答

$j = 1728$ なので命題 1.18 より $\operatorname{Aut}(E) \cong \mu_4$ で、 $\zeta = -i$ に対応する自己同型は $(x, y) \mapsto (\zeta^2x, \zeta^3y) = (-x, iy)$ 。 $-i$ は $\mu_4$ の生成元なので $[i]$ は $\operatorname{Aut}(E)$ を生成する。直接の確認： $(iy)^2 = -y^2 = -(x^3 - x) = (-x)^3 - (-x)$ なので $E$ を保ち、2 回施すと $(x, y) \mapsto (x, i^2y) = (x, -y)$ 。 $\mathbb{F}_p^\times$ は位数 $p - 1$ の巡回群なので、 $i$ （位数 4 の元）が $\mathbb{F}_p$ にあることは $4 \mid p - 1$ と同値である。

問題 1.7 ★★ (1) $y^2 = x^3 - x$ に命題 1.25 を適用して $\lambda$ の値をすべて求め、 $j = 1728$ を確かめよ。(2) $y^2 = x^3 - 1$ について同様に $\lambda$ を求め、 $j = 0$ を確かめよ。

解答

(1) 根は $0, 1, -1$ で、並べ方により $\lambda = (e_3 - e_1)/(e_2 - e_1)$ は $-1, 2, 1/2$ の 3 通り（6 つの並べ方で各 2 回）。 $\lambda = -1$ で $j = 2^8 \cdot 3^3/(1 \cdot 4) = 1728$ 。

(2) 根は $1, \zeta_3, \zeta_3^2$ （ $\zeta_3$ は 1 の原始 3 乗根）。 $e_1 = 1$ , $e_2 = \zeta_3$ , $e_3 = \zeta_3^2$ なら $\lambda = (\zeta_3^2 - 1)/(\zeta_3 - 1) = \zeta_3 + 1 = -\zeta_3^2$ で、 $\lambda^2 - \lambda + 1 = \zeta_3^4 + \zeta_3^2 + 1 = 0$ だから $j = 0$ 。並べ方を変えた $\lambda$ は $-\zeta_3^2$ と $-\zeta_3$ の 2 通りで、どちらも $\lambda^2 - \lambda + 1 = 0$ の根である。

問題 1.8 ★★ (1) 標数 3 の体上の $y^2 = x^3 + a_2x^2 + a_6$ （ $a_2a_6 \neq 0$ ）は、 $\overline{K}$ 上で $y^2 = x^3 + x^2 - 1/j$ に同型であることを示せ。(2) $\overline{\mathbb{F}}_3$ 上の $E\colon y^2 = x^3 - x$ について、 $\operatorname{Aut}(E)$ の位数は 12 であることを示せ。

解答

(1) 1.9 節の表より $j = -a_2^3/a_6$ 。 $u^2 = a_2$ として $(u, 0, 0, 0)$ で変換すると、命題 1.6 より $a_2' = a_2/u^2 = 1$ , $a_6' = a_6/u^6 = a_6/a_2^3 = -1/j$ 。

(2) $E$ を $E$ に移す変換 $(u, r, s, t)$ を求める。標数 3 では $2 \neq 0$ なので、 $a_1' = 2s/u = 0$ と $a_3' = 2t/u^3 = 0$ から $s = t = 0$ 。すると $u^2a_2' = 3r = 0$ は自動的に成り立ち、 $u^4a_4' = a_4 + 3r^2 = a_4$ より $a_4' = a_4$ $\iff$ $u^4 = 1$ 、 $u^6a_6' = ra_4 + r^3 = r^3 - r$ より $a_6' = 0$ $\iff$ $r \in \mathbb{F}_3$ 。 $x^4 - 1$ は標数 3 で重根をもたないので $u$ は 4 通りで、自己同型は $4 \cdot 3 = 12$ 個ある。標数 $\neq 2, 3$ と違い、平行移動 $x = x' + r$ を含む自己同型があることに注意。