第10章対称式・終結式・判別式

この章の目標

• 対称式の基本定理とニュートンの恒等式を証明し、根の対称式を係数で表せるようになる
• 判別式を定義し、2 次式・3 次式の判別式の公式を導く
• 終結式の根による表示と共通根の判定を証明し、消去法に使える
• 判別式と 3 次分解式で、3 次式・4 次式のガロア群を係数の計算から決定できる

前提：第9章、02-linear-algebra 第4章（ヴァンデルモンドの行列式、余因子展開、可換環上の行列式）。10.9 節は21-elliptic-curves 第1章への橋渡しである。

2 次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ が重根をもつかどうかは、根を求めなくても $b^2 - 4ac = a^2(\alpha_1 - \alpha_2)^2$ でわかる。右辺は根の入れかえで変わらない。「根について対称な式は係数で書ける」ことを保証するのが対称式の基本定理で、第9章では定理 9.28 の後でその証明を省略した。本章ではこれを証明し、重根を判定する判別式と、共通根を判定し変数を消去する終結式を導く。判別式と 3 次分解式を使うと、3 次式・4 次式のガロア群は係数の計算だけで決まる。

本章では $A$ は可換環、$K$ は体を表す。

10.1 対称式の基本定理

$\sigma \in \mathfrak{S}_n$ に対し、$t_i \mapsto t_{\sigma(i)}$ で定まる $A[t_1, \dots, t_n]$ の $A$ 上の環準同型（第5章 定理 5.27）を $f \mapsto \sigma f$ と書く。これは $\mathfrak{S}_n$ の作用である。

定義 10.1（対称式, symmetric polynomial）すべての $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ について $\sigma f = f$ となる $f$ を対称式という。$1 \leq k \leq n$ に対し $s_k = \sum_{i_1 < \cdots < i_k} t_{i_1} \cdots t_{i_k}$ を基本対称式 (elementary symmetric polynomial) といい、$s_0 = 1$、$k > n$ なら $s_k = 0$ とする。$p_k = t_1^k + \cdots + t_n^k$（$p_0 = n$）を冪和 (power sum) という。

展開すれば

なので、$f = a_nx^n + \cdots + a_0 \in K[x]$（$a_n \neq 0$）が分解体で $a_n\prod_i (x - \alpha_i)$ と分解すれば $s_k(\alpha_1, \dots, \alpha_n) = (-1)^ka_{n-k}/a_n$ である（解と係数の関係）。

単項式 $t^a = t_1^{a_1} \cdots t_n^{a_n}$ に辞書式順序 (lexicographic order) を入れる：$a - b$ の $0$ でない最初の成分が正のとき $t^a > t^b$。これは全順序で、$t^a > t^b$ なら $t^at^c > t^bt^c$。$f \neq 0$ に現れる最大の単項式を先頭単項式、その係数を先頭係数という。順序が積と両立するので、先頭係数の積が $0$ でなければ、積の先頭単項式・先頭係数はそれぞれの積である。

補題 10.2

1. $s_1^{k_1} \cdots s_n^{k_n}$ の先頭単項式は $t_1^{k_1 + \cdots + k_n}t_2^{k_2 + \cdots + k_n} \cdots t_n^{k_n}$ で、先頭係数は $1$ である。
2. 対称式 $f \neq 0$ の先頭単項式を $t^a$ とすると $a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n$。

証明. (1) $s_k$ の先頭単項式は $t_1 \cdots t_k$（係数 $1$）。(2) $a_i < a_{i+1}$ なら、互換 $(i\ \ i+1)$ で $f$ は不変なので、$t_i, t_{i+1}$ の指数を入れかえた単項式も $f$ に現れるが、それは $t^a$ より大きい。$\square$

定理 10.3（対称式の基本定理, fundamental theorem of symmetric polynomials）対称式 $f \in A[t_1, \dots, t_n]$ に対し、$f = g(s_1, \dots, s_n)$ となる $g \in A[y_1, \dots, y_n]$ がただ一つ存在する。さらに $f$ の $t_1$ についての次数が $d$ 以下なら、$g$ の各単項式 $y_1^{k_1} \cdots y_n^{k_n}$ は $k_1 + \cdots + k_n \leq d$ をみたす。

証明. 存在：$f \neq 0$ の先頭単項式を $t^a$、先頭係数を $c$ とし、$k_i = a_i - a_{i+1} \geq 0$（$a_{n+1} = 0$。補題 10.2(2)）とおく。補題 10.2(1) より $f_1 = f - cs_1^{k_1} \cdots s_n^{k_n}$ は $0$ か、先頭単項式が $t^a$ より小さい対称式である。$s_1^{k_1} \cdots s_n^{k_n}$ は全次数 $a_1 + \cdots + a_n$ の斉次式で、$t_1$ についての次数は $k_1 + \cdots + k_n = a_1 \leq d$ なので、$f_1$ の全次数は $\deg f$ 以下、$t_1$ についての次数は $d$ 以下である。全次数 $\deg f$ 以下の単項式は有限個なので、これを繰り返すと有限回で $0$ に達する。

一意性：先頭単項式の指数 $a$ から $k_i = a_i - a_{i+1}$ で $k$ が復元できるので、相異なる $k$ に対する $s^k = s_1^{k_1} \cdots s_n^{k_n}$ の先頭単項式は相異なる。$g = \sum c_ky^k \neq 0$ の項のうち $s^k$ の先頭単項式が最大のものは $g(s)$ の他の項に現れないので、$g(s) \neq 0$。$\square$

一意性は、$s_1, \dots, s_n$ が $A$ 上代数的に独立であること（第9章 定理 9.28 の後で用いた事実）にほかならない。

例 10.4 $n = 3$, $f = \sum_{i \neq j} t_i^2t_j$ の先頭単項式は $t_1^2t_2$ で、$f - s_1s_2 = -3t_1t_2t_3$ より $f = s_1s_2 - 3s_3$。

系 10.5 $f = a_nx^n + \cdots + a_0 \in K[x]$ の根を重複度込みで $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ とし、$h \in K[t_1, \dots, t_n]$ を対称式とすると、$h(\alpha_1, \dots, \alpha_n)$ は $a_{n-1}/a_n, \dots, a_0/a_n$ の $K$ 係数多項式であり、$K$ に属する。

証明. $h = g(s_1, \dots, s_n)$（定理 10.3）に $s_k(\alpha) = (-1)^ka_{n-k}/a_n$ を代入する。$\square$

10.2 ニュートンの恒等式

定理 10.6（ニュートンの恒等式, Newton's identities）$A[t_1, \dots, t_n]$ において、すべての $k \geq 1$ について

$$p_k - s_1p_{k-1} + s_2p_{k-2} - \cdots + (-1)^{k-1}s_{k-1}p_1 + (-1)^kks_k = 0$$

証明. (1) の左辺を $F(x)$ とする。$k \geq n$ なら、$\sum_{i} t_i^{k-n}F(t_i) = 0$ を (1) の右辺で展開すると $\sum_{j=0}^{n}(-1)^js_jp_{k-j} = 0$ で、これが主張である（$k = n$ のとき $j = n$ の項は $(-1)^ns_np_0 = (-1)^nns_n$）。$k < n$ なら、左辺 $P$ は全次数 $k$ の斉次式で、各単項式に現れる変数は $k$ 個以下である。$k$ 個の変数を選んで残りに $0$ を代入すると、$s_j, p_j$ は $k$ 変数のものに移るので、$k = n$ の場合より $P$ の像は $0$。$P$ の各単項式はその変数を含む代入で消えずに残るので、$P = 0$。$\square$

はじめのいくつかは $p_1 = s_1$, $p_2 = s_1^2 - 2s_2$, $p_3 = s_1^3 - 3s_1s_2 + 3s_3$。$k!$ が $A$ で可逆なら、逆に $s_k$ は $p_1, \dots, p_k$ の多項式で書ける（$s_2 = (p_1^2 - p_2)/2$ など）が、正標数では成り立たない（$\mathbb{F}_2$ で $(t_1, t_2) = (0, 0), (1, 1)$ は冪和が等しく $s_2$ が異なる）。

例 10.7 $x^3 - x - 1$ の根では $s_1 = 0$, $s_2 = -1$, $s_3 = 1$ なので、$p_0, p_1, p_2, p_3 = 3, 0, 2, 3$ で、$k > 3$ では $p_k = p_{k-2} + p_{k-3}$。$p_k$ は $3, 0, 2, 3, 2, 5, 5, 7, 10, 12, 17, \dots$（ペラン数列）である。

10.3 判別式

定義 10.8（判別式, discriminant）$f = a_nx^n + \cdots + a_0 \in K[x]$（$n \geq 1$, $a_n \neq 0$）の分解体における根を重複度込みで $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ とするとき、$D(f) = a_n^{2n-2}\prod_{i < j}(\alpha_i - \alpha_j)^2$ を判別式という（$n = 1$ なら $D(f) = 1$）。

命題 10.9

1. $D(f) = 0$ $\iff$ $f$ は重根をもつ $\iff$ $\gcd(f, f') \neq 1$。
2. 全次数 $2n - 2$ の斉次な $\Delta_n \in \mathbb{Z}[A_0, \dots, A_n]$ で、任意の体 $K$ 上の任意の $n$ 次式 $f = \sum a_ix^i$ について $D(f) = \Delta_n(a_0, \dots, a_n)$ となるものがある。特に $D(f) \in K$。
3. $c \in K^\times$, $h \in K$ について $D(cf) = c^{2n-2}D(f)$, $D(f(x + h)) = D(f)$。

証明. (1) 定義と第8章 命題 8.36(1) による。(2) $\prod_{i < j}(t_i - t_j)^2$ は $t_1$ について $2n - 2$ 次の対称式なので、定理 10.3 より、各単項式が $\sum k_i \leq 2n - 2$ をみたす $g \in \mathbb{Z}[y]$ によって $g(s_1, \dots, s_n)$ と書ける。$\Delta_n = A_n^{2n-2}g(-A_{n-1}/A_n, \dots, (-1)^nA_0/A_n)$ とおくと、$y_1^{k_1} \cdots y_n^{k_n}$ は $\pm A_n^{2n-2-\sum k_i}A_{n-1}^{k_1} \cdots A_0^{k_n}$ に移るので、$\Delta_n$ は全次数 $2n - 2$ の斉次な整数係数多項式で、解と係数の関係より $D(f) = \Delta_n(a_0, \dots, a_n)$。(3) $f(x + h)$ の根は $\alpha_i - h$ である。$\square$

(2) により、$\Delta_n$ についての恒等式は、係数を不定元とする体 $\mathbb{Q}(A_0, \dots, A_n)$ 上で示せばすべての体で成り立つ。

命題 10.10 モニックな $f$ の根の冪和を $p_k$ とすると $D(f) = \det(p_{i+j-2})_{1 \leq i, j \leq n}$。

証明. $V = (\alpha_i^{j-1})_{i, j}$ とすると $\det V = \prod_{i < j}(\alpha_j - \alpha_i)$（ヴァンデルモンドの行列式。02-linear-algebra 第4章 定理 4.33）で、${}^tVV = (p_{i+j-2})$ なので $\det({}^tVV) = (\det V)^2 = D(f)$。$\square$

定理 10.11（2 次式・3 次式の判別式）

1. $D(ax^2 + bx + c) = b^2 - 4ac$。
2. $D(x^3 + px + q) = -4p^3 - 27q^2$。
3. $D(ax^3 + bx^2 + cx + d) = b^2c^2 - 4ac^3 - 4b^3d - 27a^2d^2 + 18abcd$。

証明. (1) $a^2\bigl((\alpha_1 + \alpha_2)^2 - 4\alpha_1\alpha_2\bigr) = a^2(b^2/a^2 - 4c/a)$。(2) $s_1 = 0$, $s_2 = p$, $s_3 = -q$ なので、根の冪和を $P_k$ と書くと、定理 10.6 より $P_0, \dots, P_4 = 3, 0, -2p, -3q, 2p^2$。命題 10.10 で第 1 行について展開すると

（環の演算だけなので標数によらない）。(3) 命題 10.9(2) の後の注意により $\mathbb{Q}(a, b, c, d)$ 上で示せばよい。$D(f) = a^4D(x^3 + Bx^2 + Cx + E)$（$B = b/a$ など）で、$x$ を $x - B/3$ に置き換えると $x^3 + Px + Q$（$P = C - B^2/3$, $Q = E - BC/3 + 2B^3/27$）になるので、(2) より $D(f) = a^4(-4P^3 - 27Q^2)$。これを展開すればよい。$\square$

10.4 終結式

定義 10.12（シルベスター行列・終結式）$n, m \geq 0$, $n + m \geq 1$、$f = a_nx^n + \cdots + a_0$, $g = b_mx^m + \cdots + b_0 \in A[x]$ とする（$a_n, b_m$ は $0$ でもよい。$n, m$ を形式的な次数という）。$x^{m-1}f, \dots, f, x^{n-1}g, \dots, g$ の $x^{m+n-1}, \dots, x, 1$ についての係数を行として並べた $m + n$ 次正方行列をシルベスター行列 (Sylvester matrix) $\operatorname{Syl}(f, g)$ といい、$\operatorname{Res}(f, g) = \det\operatorname{Syl}(f, g)$ を終結式 (resultant) という。次数を明示するときは $\operatorname{Res}_{n,m}$ と書く。

たとえば $n = 2$, $m = 3$ では

$m = 0$ なら $\operatorname{Res}(f, b_0) = b_0^n$、$n = 0$ なら $\operatorname{Res}(a_0, g) = a_0^m$。可換環上でも行列式の基本性質と余因子展開は成り立つ（02-linear-algebra 第4章 注意 4.22）。

補題 10.13 $f, g$ の形式的な次数を $n, m$ とする。

1. $\operatorname{Res}_{m,n}(g, f) = (-1)^{nm}\operatorname{Res}_{n,m}(f, g)$。
2. $\deg h \leq m - n$ ならば $\operatorname{Res}_{n,m}(f, g + hf) = \operatorname{Res}_{n,m}(f, g)$。
3. $m \geq 1$, $b_m = 0$ ならば $\operatorname{Res}_{n,m}(f, g) = a_n\operatorname{Res}_{n,m-1}(f, g)$。

証明. (1) $g$ の $n$ 行を前に移すには行の入れかえが $nm$ 回要る。(2) $\deg(x^{n-j}h) \leq m - 1$ なので $x^{n-j}hf$ は $f$ の行の一次結合であり、その分を $g$ の行に加えても行列式は変わらない。(3) 第 1 列 $(a_n, 0, \dots, 0)$ で展開すると、残る小行列は $\operatorname{Syl}_{n,m-1}(f, g)$。$\square$

定理 10.14（根による表示）$f = a_n\prod_{i=1}^n (x - \alpha_i) \in K[x]$（$a_n \neq 0$）、$g \in K[x]$ の形式的な次数を $m$ とすると

$$\operatorname{Res}(f, g) = a_n^m\prod_{i=1}^{n} g(\alpha_i)$$

である。さらに $g = b_m\prod_{j=1}^m (x - \beta_j)$（$b_m \neq 0$）なら

$$\operatorname{Res}(f, g) = a_n^mb_m^n\prod_{i, j}(\alpha_i - \beta_j) = (-1)^{nm}b_m^n\prod_{j=1}^{m} f(\beta_j)$$

証明. 後半は前半と $g(\alpha_i) = b_m\prod_j(\alpha_i - \beta_j)$, $f(\beta_j) = a_n\prod_i(\beta_j - \alpha_i)$ から従う。前半を $N = n + m$ についての帰納法で示す（$fg$ の分解体で計算する）。$n = 0$ なら両辺は $a_0^m$、$m = 0$ なら $b_0^n$。$n, m \geq 1$ とする。

(i) $b_m = 0$ なら、補題 10.13(3) と帰納法の仮定より $\operatorname{Res}_{n,m}(f, g) = a_n \cdot a_n^{m-1}\prod_i g(\alpha_i)$。

(ii) $b_m \neq 0$, $m \geq n$ なら、$g = hf + r$（$\deg h = m - n$, $\deg r < n$）と割ると、補題 10.13(2) より $\operatorname{Res}_{n,m}(f, g) = \operatorname{Res}_{n,m}(f, r)$。$r$ の $x^m$ の係数は $0$ なので、(i) よりこれは $a_n^m\prod_i r(\alpha_i)$ で、$r(\alpha_i) = g(\alpha_i)$。

(iii) $b_m \neq 0$, $m < n$ なら、補題 10.13(1) より $\operatorname{Res}_{n,m}(f, g) = (-1)^{nm}\operatorname{Res}_{m,n}(g, f)$ で、右辺の終結式は $f, g$ の役割を入れかえた (ii) の場合なので $b_m^n\prod_j f(\beta_j)$ に等しい。よって $\operatorname{Res}_{n,m}(f, g) = (-1)^{nm}b_m^n\prod_j f(\beta_j) = a_n^mb_m^n\prod_{i,j}(\alpha_i - \beta_j) = a_n^m\prod_i g(\alpha_i)$。$\square$

系 10.15（共通根の判定）$f, g \in K[x]$ の形式的な次数を $n, m$ とし、$a_n \neq 0$ または $b_m \neq 0$ とする。次は同値である： (1) $\operatorname{Res}(f, g) = 0$、(2) $f, g$ は $K$ のある拡大体に共通根をもつ、(3) $\gcd(f, g) \neq 1$。

証明. 補題 10.13(1) より $a_n \neq 0$ としてよい。$n = 0$ なら $\operatorname{Res} = a_0^m \neq 0$ で、(2)(3) も成り立たない。$n \geq 1$ なら定理 10.14 より (1) $\iff$ ある $i$ で $g(\alpha_i) = 0$ $\iff$ (2)。(2)⇒(3) は共通根の最小多項式が両方を割ることから、(3)⇒(2) は公約因子が拡大体に根をもつこと（第8章 定理 8.21）から従う。$\square$

$a_n = b_m = 0$ なら第 1 列が $0$ なので $\operatorname{Res} = 0$ である。

命題 10.16（$\operatorname{Res}(f, g) \in (f, g)$）$f, g \in A[x]$ の形式的な次数を $n, m$ とすると、$\deg u \leq m - 1$, $\deg v \leq n - 1$ の $u, v \in A[x]$ で $uf + vg = \operatorname{Res}(f, g)$ となるものがある。

証明. $\operatorname{Syl}(f, g)$ を $A[x]$ 上の行列とみて、第 $k$ 列（$k < m + n$）の $x^{m+n-k}$ 倍を最後の列に加えると、行列式は変わらず、最後の列は $(x^{m-1}f, \dots, f, x^{n-1}g, \dots, g)$ になる。最後の列で余因子展開すると、余因子は $A$ の元なので主張を得る。$\square$

例 10.17 定理 10.14 より $\operatorname{Res}(x^2 - 2, x^3 - 3) = \prod_{\alpha = \pm\sqrt{2}}(\alpha^3 - 3) = (2\sqrt{2} - 3)(-2\sqrt{2} - 3) = 1$。命題 10.16 の $u, v$ を連立一次方程式で求めると、$\mathbb{Z}[x]$ で $(2x^2 + 3x + 4)(x^2 - 2) - (2x + 3)(x^3 - 3) = 1$。よってどの素数 $p$ でも、法 $p$ で両者は共通根をもたない。

10.5 判別式と終結式

定理 10.18 $f \in K[x]$ を最高次係数 $a_n$ の $n$ 次式（$n \geq 1$）とし、$f'$ の形式的な次数を $n - 1$ とすると

$$\operatorname{Res}(f, f') = (-1)^{n(n-1)/2}a_nD(f)$$

特に $f$ がモニックなら $D(f) = (-1)^{n(n-1)/2}\prod_{i=1}^n f'(\alpha_i)$。

証明. 定理 10.14 の前半（$f'$ の $x^{n-1}$ の係数 $na_n$ が $0$ となる標数でも使える）より $\operatorname{Res}(f, f') = a_n^{n-1}\prod_i f'(\alpha_i)$。積の微分により $f'(\alpha_i) = a_n\prod_{j \neq i}(\alpha_i - \alpha_j)$ で、$i < j$ ごとに $(\alpha_i - \alpha_j)(\alpha_j - \alpha_i) = -(\alpha_i - \alpha_j)^2$ なので、$\prod_i f'(\alpha_i) = (-1)^{n(n-1)/2}a_n^n\prod_{i < j}(\alpha_i - \alpha_j)^2$。$\square$

例：$\operatorname{Res}(ax^2 + bx + c, 2ax + b) = -a(b^2 - 4ac)$。

例 10.19 $D(x^n + a) = (-1)^{n(n-1)/2}n^na^{n-1}$。根の積は $(-1)^na$ なので $\prod_i f'(\alpha_i) = n^n(\prod_i \alpha_i)^{n-1} = n^na^{n-1}$ による。たとえば $D(x^3 - 2) = -108$, $D(x^4 - 2) = -2048$, $D(x^4 + 1) = 256$。

命題 10.20 $g, h \in K[x]$ を 1 次以上とすると $D(gh) = D(g)D(h)\operatorname{Res}(g, h)^2$。

証明. $g, h$ の次数・最高次係数・根を $k, a, \alpha_i$ と $l, b, \beta_j$ とする。$gh$ の根の差を $\alpha$ どうし・$\beta$ どうし・$\alpha$ と $\beta$ に分け、$(ab)^{2(k+l)-2} = a^{2k-2}b^{2l-2}(a^lb^k)^2$ と定理 10.14 を使えばよい。$\square$

10.6 消去法

$F, G \in K[x, y]$ を $K[x]$ 上の $y$ の多項式とみて終結式 $\operatorname{Res}_y(F, G) \in K[x]$ をつくることは、$F = G = 0$ から $y$ を消去する操作である。

定理 10.21 $F = \sum_{i \leq n} f_i(x)y^i$, $G = \sum_{j \leq m} g_j(x)y^j$（$f_n, g_m \neq 0$）、$R = \operatorname{Res}_y(F, G)$ とし、$L$ を $K$ の拡大体とする。

1. $(x_0, y_0) \in L^2$ が $F = G = 0$ の解なら $R(x_0) = 0$。
2. $R(x_0) = 0$, $(f_n(x_0), g_m(x_0)) \neq (0, 0)$ なら、$F(x_0, y_0) = G(x_0, y_0) = 0$ となる $y_0$ が $L$ の拡大体に存在する。

証明. (1) 命題 10.16 より $R = uF + vG$ である。(2) 代入と行列式は交換するので $R(x_0) = \operatorname{Res}_{n,m}(F(x_0, y), G(x_0, y))$ で、系 10.15 を使う。$\square$

例 10.22 $x^2 + y^2 = 5$, $xy = 2$ では、$K(x)$ 上で $xy - 2 = x(y - 2/x)$ と分解して定理 10.14 の後半を使うと、$\operatorname{Res}_y(y^2 + x^2 - 5, xy - 2) = x^2\bigl((2/x)^2 + x^2 - 5\bigr) = (x^2 - 1)(x^2 - 4)$。$y^2$ の係数は $1$ なので各 $x_0 = \pm 1, \pm 2$ に解があり、$(1, 2)$, $(-1, -2)$, $(2, 1)$, $(-2, -1)$ を得る。

例 10.23（陰関数表示）$x = t^2$, $y = t^3$ から $t$ を消去すると

$t^2 - x$ はモニックなので定理 10.21(2) と同じ議論で逆も成り立ち、この曲線は（代数閉体上で）原点に尖点 (cusp) をもつ 3 次曲線 $y^2 = x^3$ である。

注意 10.24 全次数 $d, e$ の $F, G$ が $y$ について 1 次以上の共通因子をもたなければ $\operatorname{Res}_y(F, G) \neq 0$ で（系 10.15 を $K(x)$ 上で使い、第6章 補題 6.18・6.19 で $K[x, y]$ に戻す）、その次数は $de$ 以下である（主張）。交点の個数についてはベズーの定理（14-algebraic-geometry 第2章 定理 2.16）を参照。

10.7 判別式とガロア群

$\operatorname{char} K \neq 2$、$f \in K[x]$ を分離的な $n$ 次式、$L$ を分解体、$\alpha_1, \dots, \alpha_n$ を根、$G = \operatorname{Gal}(f) \subset \mathfrak{S}_n$ とし（第9章 注意 9.8）、$\delta = \prod_{i < j}(\alpha_i - \alpha_j)$ とおく。$D(f) = (a_n^{n-1}\delta)^2$ である。

定理 10.25 (1) $\sigma \in G$ について $\sigma(\delta) = \operatorname{sgn}(\sigma)\delta$。(2) $G \subset \mathfrak{A}_n$ $\iff$ $D(f)$ は $K$ の元の平方。(3) $G \cap \mathfrak{A}_n$ の固定体は $K(\sqrt{D(f)})$。

証明. (1) $\sigma(\delta) = \prod_{i < j}(\alpha_{\sigma(i)} - \alpha_{\sigma(j)})$ の因子は $\delta$ の因子を符号を除いて 1 回ずつ尽くし、$-1$ 倍になるのは転倒 $\sigma(i) > \sigma(j)$ のときなので、$\sigma(\delta) = (-1)^{\ell(\sigma)}\delta$（02-linear-algebra 第4章 定義 4.5）。(2) $\delta \neq 0$（分離的）かつ $\delta \neq -\delta$（標数 $\neq 2$）なので、$\sigma(\delta) = \delta$ $\iff$ $\sigma$ は偶置換。よって $\delta \in L^G = K$ $\iff$ $G \subset \mathfrak{A}_n$。$D(f)$ の平方根は $\pm a_n^{n-1}\delta$ である。(3) $G \cap \mathfrak{A}_n = \operatorname{Gal}(L/K(\delta))$（第9章 注意 9.10）。$\square$