第12章ガロア群の計算と逆ガロア問題

この章の目標

• 多項式のガロア群を根の置換群として扱い、$\mathfrak{S}_4$・$\mathfrak{S}_5$ の推移的部分群を分類できる
• デデキントの定理により、$\bmod p$ での因数分解の形からガロア群の元の型を読み取れる
• 判定法と還元を組み合わせて、根を書き下せない多項式のガロア群を決定できる
• チェボタレフの密度定理の主張を理解し、数値実験で確かめられる
• 有限アーベル群と対称群が $\mathbb{Q}$ 上のガロア群として実現できることを証明し、逆ガロア問題の現状を説明できる

前提：第9章（ガロア理論の基本定理、円分体）、第10章（判別式）、第4章（対称群）、第3章（シローの定理）。12.4 節と 12.6 節では 15 第2章 のフロベニウス元と 15 第6章 のチェボタレフの密度定理を参照する。

第9章では、$x^3 - 2$ や円分多項式のガロア群を、根を書き下して決定した。では根を書き下せない多項式、たとえば $x^5 - x - 1$ のガロア群はどう求めればよいだろうか。本章の主役は、整数係数の多項式を素数 $p$ を法として還元し、$\mathbb{F}_p$ 上の因数分解の形からガロア群の元の型を読み取るデデキントの定理である。有限体上の因数分解は有限回の計算でできるので、これはガロア群を「下から」押さえる強力な道具になる。どの型がどれだけの頻度で現れるかには、チェボタレフの密度定理が答える。

後半では逆に、有限群 $G$ が与えられたとき、ガロア群が $G$ と同型になる $\mathbb{Q}$ のガロア拡大は存在するかを考える（逆ガロア問題）。有限アーベル群と対称群については肯定的に解けるが、一般の有限群については未解決である。

本章では、多項式 $f \in K[x]$ のガロア群 $\operatorname{Gal}(f)$ を考えるとき $f$ は分離的とする（第9章 定義 9.5）。

12.1 置換群としてのガロア群

$f \in K[x]$ を $n$ 次の分離的な多項式、$\alpha_1, \dots, \alpha_n$ をその根とする。$\sigma \in \operatorname{Gal}(f)$ に $\sigma(\alpha_i) = \alpha_{\pi(i)}$ で定まる $\pi \in \mathfrak{S}_n$ を対応させると単射準同型 $\operatorname{Gal}(f) \to \mathfrak{S}_n$ が得られる（第9章 注意 9.8）。以下 $\operatorname{Gal}(f)$ をこの像と同一視する。根の番号を $\alpha'_i = \alpha_{\rho(i)}$（$\rho \in \mathfrak{S}_n$）とつけかえると $\sigma(\alpha'_i) = \alpha'_{\rho^{-1}\pi\rho(i)}$ なので、像は $\rho^{-1}\operatorname{Gal}(f)\rho$ に変わる。つまり $\operatorname{Gal}(f) \leq \mathfrak{S}_n$ は共役を除いて定まり、各元の型（巡回置換分解の長さの組。第4章 4.5 節）は番号のつけ方によらない。

定義 12.1（推移的部分群）部分群 $G \leq \mathfrak{S}_n$ の $\lbrace 1, \dots, n \rbrace$ への作用が推移的であるとき（第3章 定義 3.4）、$G$ を推移的部分群 (transitive subgroup) という。

命題 12.2 $f \in K[x]$ を $n$ 次の分離的な多項式、$G = \operatorname{Gal}(f) \leq \mathfrak{S}_n$ とする。

1. $f$ が既約 $\iff$ $G$ は推移的。このとき $n$ は $\lvert G \rvert$ を割る。
2. $\operatorname{char} K \neq 2$ のとき、$G \subset \mathfrak{A}_n$ $\iff$ $f$ の判別式 $D(f)$ が $K$ の元の平方である。

証明. (1) 前半は第9章 注意 9.8、後半は軌道–固定部分群定理（第3章 定理 3.6）による。(2) は第10章 定理 10.25(2) である（$\delta = \prod_{i < j}(\alpha_i - \alpha_j)$ は $\sigma(\delta) = \operatorname{sgn}(\sigma)\delta$ をみたし、最高次係数を $a_n$ とすると $D(f) = (a_n^{n-1}\delta)^2$）。$\square$

12.2 $\mathfrak{S}_4$ と $\mathfrak{S}_5$ の推移的部分群

命題 12.2 より、既約な 4 次式・5 次式のガロア群は $\mathfrak{S}_4$・$\mathfrak{S}_5$ の推移的部分群である。それらを共役を除いてすべて求める。

補題 12.3 $n \geq 3$ ならば、$\mathfrak{S}_n$ の指数 2 の部分群は $\mathfrak{A}_n$ だけである。

証明. $H$ を指数 2 の部分群とすると、$H \trianglelefteq \mathfrak{S}_n$ で $\mathfrak{S}_n/H$ は位数 2 の群なので、すべての $g$ について $g^2 \in H$。長さ 3 の巡回置換 $c$ は $c^3 = e$ より $c = (c^2)^2 \in H$。$\mathfrak{A}_n$ は長さ 3 の巡回置換で生成される（第4章 命題 4.20(3)）ので $\mathfrak{A}_n \subset H$ で、位数を比べて $H = \mathfrak{A}_n$。$\square$

$\mathfrak{S}_4$ の部分群として、$V = \lbrace e, (1\ 2)(3\ 4), (1\ 3)(2\ 4), (1\ 4)(2\ 3) \rbrace$（クラインの四元群。第3章 例 3.24(2)）、$C_4 = \langle (1\ 2\ 3\ 4) \rangle$、$D_4 = \langle (1\ 2\ 3\ 4), (2\ 4) \rangle$（位数 8 の二面体群。例 9.13 の $x^4 - 2$ のガロア群）を考える。

定理 12.4（$\mathfrak{S}_4$ の推移的部分群）$\mathfrak{S}_4$ の推移的部分群は、共役を除いて $\mathfrak{S}_4, \mathfrak{A}_4, D_4, C_4, V$ の 5 つであり、これらは互いに共役でない。

証明. $V$ では $1$ が 3 つの非単位元で $2, 3, 4$ に移るので推移的である。$(1\ 2\ 3\ 4)^2 = (1\ 3)(2\ 4)$, $(1\ 2\ 3\ 4)(2\ 4) = (1\ 2)(3\ 4)$ より $V \subset D_4$ なので、$D_4, \mathfrak{A}_4, \mathfrak{S}_4$ も推移的で、$C_4$ も推移的である。位数は $4, 4, 8, 12, 24$ で、位数 4 の 2 つは巡回群と非巡回群なので共役でない。

逆に $G$ を推移的部分群とすると、軌道–固定部分群定理より $4 \mid \lvert G \rvert$ なので $\lvert G \rvert \in \lbrace 4, 8, 12, 24 \rbrace$。$\lvert G \rvert = 24, 12$ なら $G = \mathfrak{S}_4, \mathfrak{A}_4$（補題 12.3）。$\lvert G \rvert = 8$ なら $G$ はシロー 2 部分群なので $D_4$ と共役である（第3章 定理 3.22）。$\lvert G \rvert = 4$ なら、軌道–固定部分群定理より各点の固定部分群は自明で、単位元以外の元は固定点をもたないので、型は $(4)$ か $(2, 2)$ である。長さ 4 の巡回置換 $\sigma$ を含めば $G = \langle \sigma \rangle$ で、長さ 4 の巡回置換は互いに共役（第4章 命題 4.20(1)）だから $G$ は $C_4$ と共役。含まなければ $G$ の 3 つの非単位元は型 $(2, 2)$ の 3 つの元に一致し、$G = V$。$\square$

$\mathfrak{S}_5$ では、$\lbrace 1, \dots, 5 \rbrace$ を $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ と同一視し（$5$ を $0$ とみる）、$a \in (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^\times$, $b \in \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ に対し $\tau_{a,b}(i) = ai + b$ とおく。$\sigma = (1\ 2\ 3\ 4\ 5) = \tau_{1,1}$、$\tau_{-1,0} = (1\ 4)(2\ 3)$、$\tau_{2,0} = (1\ 2\ 4\ 3)$ である。

• $C_5 = \lbrace \tau_{1,b} \rbrace = \langle \sigma \rangle$（位数 5）
• $D_5 = \lbrace \tau_{\pm 1,b} \rbrace = \langle \sigma, (1\ 4)(2\ 3) \rangle$（位数 10。正 5 角形の対称性の群）
• $F_{20} = \lbrace \tau_{a,b} \rbrace = \langle \sigma, (1\ 2\ 4\ 3) \rangle$（位数 20。第4章 例 4.7(4) のアフィン群）

定理 12.5（$\mathfrak{S}_5$ の推移的部分群）$\mathfrak{S}_5$ の推移的部分群は、共役を除いて $\mathfrak{S}_5, \mathfrak{A}_5, F_{20}, D_5, C_5$ の 5 つであり、これらは互いに共役でない。

証明. 5 つとも $\sigma$ を含むので推移的で、位数 $120, 60, 20, 10, 5$ が相異なるので互いに共役でない。$G$ を推移的部分群とすると $5 \mid \lvert G \rvert$、$\lvert G \rvert \mid 120$ なので、$G$ のシロー 5 部分群 $P$ は位数 5 で、$\mathfrak{S}_5$ のシロー 5 部分群でもある。$\mathfrak{S}_5$ の位数 5 の元は長さ 5 の巡回置換 $24$ 個なので、位数 5 の部分群は $24/4 = 6$ 個で、互いに共役であり、その正規化群の位数は $120/6 = 20$ である（第3章 定理 3.22）。$G$ を共役で取りかえて $P = \langle \sigma \rangle$ としてよい。$\tau_{a,b}\sigma\tau_{a,b}^{-1} = \tau_{1,a} = \sigma^a$ なので $F_{20} \subset N(P)$ で、位数を比べて $N(P) = F_{20}$。

(i) $P \trianglelefteq G$ のとき：$G \subset N(P) = F_{20}$。$\tau_{a,b} \mapsto a$ は全射準同型 $F_{20} \to (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^\times$ で、核は $P$ である。$(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^\times$ は $2$ で生成される位数 4 の巡回群で、部分群は $\lbrace 1 \rbrace$, $\lbrace \pm 1 \rbrace$, 全体の 3 つなので、対応定理（第2章 定理 2.47）より $P$ を含む $F_{20}$ の部分群は $C_5, D_5, F_{20}$ である。

(ii) $P$ が $G$ で正規でないとき：$n_5(G) \neq 1$（第3章 系 3.23）、$n_5(G) \equiv 1 \pmod 5$、$n_5(G) \mid \lvert G \rvert/5$（$24$ の約数）より $n_5(G) = 6$。$n_5(G)$ は $\lvert G \rvert$ を割るので $30 \mid \lvert G \rvert$、$\lvert G \rvert \in \lbrace 30, 60, 120 \rbrace$。位数 30 の群では $n_5 = 1$（第3章 例 3.28(2)）なので $\lvert G \rvert \neq 30$。補題 12.3 より $G = \mathfrak{A}_5$ または $\mathfrak{S}_5$。$\square$

以下、型 $(2, 2, 1)$ を $2^2 \cdot 1$、$(1, 1, 1, 1)$ を $1^4$ のように略記する。$\tau_{a,b}$（$a \neq 1$）は固定点 $b/(1 - a)$ をただ 1 つもち、残り 4 点を $i \mapsto ai$ と同じ型で動かすので、型は $a = -1$ なら $2^2 \cdot 1$、$a = \pm 2$ なら $4 \cdot 1$ である。こうして各群の型ごとの元の個数は次のようになる。

たとえば、長さ 3 の巡回置換を含む $\mathfrak{S}_5$ の推移的部分群は $\mathfrak{A}_5$ か $\mathfrak{S}_5$ であり、互換を含むものは $\mathfrak{S}_5$ だけである。

12.3 対称群であるための判定法

定理 12.6 $n \geq 2$ とする。推移的部分群 $G \leq \mathfrak{S}_n$ が長さ $n - 1$ の巡回置換と互換を含むならば、$G = \mathfrak{S}_n$ である。

証明. 番号をつけかえて、長さ $n - 1$ の巡回置換は $\sigma = (1\ 2\ \cdots\ n{-}1)$ としてよい。$G$ の互換 $(i\ j)$ に対し、推移性から $g(i) = n$ となる $g \in G$ があり、$g(i\ j)g^{-1} = (n\ k)$（$k = g(j) \neq n$）が $G$ に属する（第3章 補題 3.12）。$\sigma$ は $\lbrace 1, \dots, n - 1 \rbrace$ に推移的に作用するので、$\sigma^m(n\ k)\sigma^{-m} = (n\ \sigma^m(k))$ により、すべての $(l\ n)$（$1 \leq l \leq n - 1$）が $G$ に属する。$a, b \neq n$ について $(a\ b) = (a\ n)(b\ n)(a\ n)$ なので $G$ はすべての互換を含み、互換は $\mathfrak{S}_n$ を生成する（第4章 命題 4.20(2)）。$\square$

注意 12.7 $n = p$ が素数なら、推移的部分群の位数は $p$ で割り切れるので、コーシーの定理（第3章 定理 3.19）により長さ $p$ の巡回置換を含む。よって補題 9.25 から、推移的で互換を含む $G \leq \mathfrak{S}_p$ は $\mathfrak{S}_p$ である（定理 9.26 の証明の論法）。

12.4 デデキントの定理

$f \in \mathbb{Z}[x]$ の係数を $\bmod p$ で還元した多項式を $\overline{f} \in \mathbb{F}_p[x]$ と書く。

定理 12.8（デデキントの定理, Dedekind's theorem）$f \in \mathbb{Z}[x]$ を $n$ 次のモニックな既約多項式、$G = \operatorname{Gal}(f) \leq \mathfrak{S}_n$ とし、素数 $p$ は $D(f)$ を割らないとする。$\mathbb{F}_p[x]$ での既約分解を $\overline{f} = g_1g_2\cdots g_r$（$g_i$ はモニックな既約多項式）、$d_i = \deg g_i$ とすると、$g_1, \dots, g_r$ は相異なり、$G$ は型が $(d_1, \dots, d_r)$ の元を含む。

証明の概略. (1) 判別式は係数の整数係数多項式なので（第10章 命題 10.9(2)。$f$ はモニックなので $\overline{f}$ も $n$ 次）、$D(f)$ を $\bmod p$ で還元したものは $D(\overline{f})$ に等しく、$0$ でない。よって $\overline{f}$ は重根をもたず（命題 10.9(1)）、$g_i$ は相異なる。

(2) $L \subset \mathbb{C}$ を $f$ の分解体、$\mathcal{O}_L$ をその整数環、$\mathfrak{P}$ を $p$ の上にある $\mathcal{O}_L$ の素イデアルとする（15 第2章）。根 $\alpha_i$ は $\mathcal{O}_L$ に属し、剰余体 $\kappa = \mathcal{O}_L/\mathfrak{P}$ は標数 $p$ の有限体で、$\kappa[x]$ で $\overline{f} = \prod_i (x - \overline{\alpha}_i)$（$\overline{\alpha}_i$ は $\alpha_i \bmod \mathfrak{P}$）である。(1) より $\overline{\alpha}_1, \dots, \overline{\alpha}_n$ は相異なる。

(3) このとき $p$ は $L$ で不分岐であり、すべての $y \in \mathcal{O}_L$ について $\sigma(y) \equiv y^p \pmod{\mathfrak{P}}$ をみたす $\sigma \in G$（フロベニウス元 $\operatorname{Frob}_{\mathfrak{P}}$）がただ 1 つ存在する（15 第2章 定理 2.23、定義 2.24）。

(4) $\sigma(\alpha_i)$ の還元は $(\overline{\alpha}_i)^p$ なので、全単射 $\alpha_i \mapsto \overline{\alpha}_i$ のもとで、$\sigma$ の根への作用は $\kappa$ の $p$ 乗写像 $y \mapsto y^p$ の作用と一致する。$g_i$ の根は $\beta, \beta^p, \dots, \beta^{p^{d_i - 1}}$ の $d_i$ 個で $\beta^{p^{d_i}} = \beta$（第9章 例 9.15(2)）なので、$p$ 乗写像は $g_i$ の根を長さ $d_i$ の巡回置換で動かす。よって $\sigma$ の型は $(d_1, \dots, d_r)$ である。

(2)〜(4) は 15 第2章 命題 2.27（そこでは判別式を $\operatorname{disc}$ と書く）の証明そのもので、整数環と分解群の理論はそちらに譲った。$\square$

$p$ の上の素イデアルを取りかえるとフロベニウス元は $G$ の中で共役に変わる（15 第2章 命題 2.25(2)）ので、型は $p$ だけで決まる。デデキントの定理は $G$ に含まれる元を教えるだけで、$G$ を上から押さえるには判別式（命題 12.2(2)）などの別の情報が要る。

系 12.9 $f$ を定理 12.8 のとおりとし、$n \geq 2$ とする。

1. ある素数 $p \nmid D(f)$ について $\overline{f}$ が既約ならば、$G$ は長さ $n$ の巡回置換を含む。
2. $G$ が長さ $n$ の巡回置換を含まなければ、$f$ はすべての素数 $p$ を法として可約である。

証明. (1) は定理 12.8 そのもの。(2) $p \nmid D(f)$ なら (1) の対偶による。$p \mid D(f)$ なら $\overline{f}$ は重根をもつが、$\mathbb{F}_p$ は完全体（第8章 定理 8.39）なので $\mathbb{F}_p$ 上の既約多項式は重根をもたず、$\overline{f}$ は既約でない。$\square$

12.5 計算例

例 12.10（$x^5 - x - 1$ ）$f = x^5 - x - 1$ の判別式は $2869 = 19 \cdot 151$ である。

• $\bmod 3$：$\overline{f} = x^5 + 2x + 2$ は $\mathbb{F}_3$ に根をもたず（$x = 0, 1, 2$ で値はすべて $2$）、$\mathbb{F}_3$ 上の 2 次の既約多項式 $x^2 + 1$, $x^2 + x + 2$, $x^2 + 2x + 2$ のどれでも割り切れないので既約である。よって $f$ は $\mathbb{Q}$ 上既約で（第6章 定理 6.27）、$G$ は長さ 5 の巡回置換を含む。
• $\bmod 2$：$\overline{f} = x^5 + x + 1 = (x^2 + x + 1)(x^3 + x^2 + 1)$ で、どちらの因子も根をもたないので既約。$G$ は型 $(3, 2)$ の元 $\tau$ を含み、$\tau^3$ は互換である。

注意 12.7 より $\operatorname{Gal}(f) = \mathfrak{S}_5$。$f' = 5x^4 - 1$ で、極大値 $f(-5^{-1/4}) \approx -0.465$ が負なので $f$ の実根は 1 つだけであり、複素共役は型 $2^2 \cdot 1$ の元である。したがって第9章 定理 9.26 は使えないが、デデキントの定理ならこのように決定できる。型 $4 \cdot 1$ は $p = 23$、$2 \cdot 1^3$ は $p = 163$ で初めて現れ、1 次式の積に分解する最小の素数は $p = 1973$ である。

例 12.11（すべての素数を法として可約な既約多項式）$x^4 + 1 = \Phi_8$ は既約で（定理 9.17）、ガロア群は $(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^\times$ と同型で、すべての元の位数が 2 以下である。$\sigma_a\colon \zeta_8^k \mapsto \zeta_8^{ak}$ は $a \neq 1$ なら 4 根すべてを動かすので型 $2^2$ で、$G = V$ である。長さ 4 の巡回置換を含まないので、系 12.9(2) より $x^4 + 1$ はすべての素数を法として可約である。より詳しく、奇素数 $p$ のフロベニウス元は $\sigma_p$ なので（15 第2章 定理 2.29）、$p \equiv 1 \pmod 8$ なら 1 次式 4 つ、それ以外なら 2 次式 2 つに分解する。第6章 定理 6.27 の後の注意で述べた事実の、ガロア理論による証明である（初等的な証明は第8章 問題 8.7）。

例 12.12（$x^5 - 5x + 12$ ）$f = x^5 - 5x + 12$ は $\bmod 7$ で既約なので $\mathbb{Q}$ 上既約である。$D(f) = 2^{12}5^6 = 8000^2$ は平方数なので $G \subset \mathfrak{A}_5$（命題 12.2(2)）。表より $\mathfrak{A}_5$ に含まれる推移的部分群は $C_5, D_5, \mathfrak{A}_5$ である（$F_{20}$ は奇置換である長さ 4 の巡回置換を含む）。$f' = 5x^4 - 5$ で極小値 $f(1) = 8 > 0$ なので実根は 1 つだけで、複素共役は型 $2^2 \cdot 1$ の元だから $G \neq C_5$。

$D_5$ と $\mathfrak{A}_5$ を区別するには、$G$ を上から押さえる必要がある。実根を $\alpha$ とすると、$\mathbb{Q}(\alpha)$ 上で

と分解する（PARI/GP の nffactor で求めた。展開して $\alpha^5 = 5\alpha - 12$ で次数を下げれば確かめられる）。$G = \mathfrak{A}_5$ なら、$\alpha$ の固定部分群 $\operatorname{Gal}(L/\mathbb{Q}(\alpha))$ は $\mathfrak{A}_4$ と同型で残り 4 根に推移的に作用するから、$f/(x - \alpha)$ は $\mathbb{Q}(\alpha)$ 上既約なはずである（第9章 注意 9.8 を $\mathbb{Q}(\alpha)$ 上で使う）。これは上の分解に反するので $G = D_5$ である。$D_5$ は可解群なので、方程式 $x^5 - 5x + 12 = 0$ は冪根で解ける（定理 9.24）。

以上の例と次節の例のガロア群は、PARI/GP の polgalois でも確かめた。

12.6 チェボタレフの密度定理

各型がどれだけの割合の素数で現れるかを記述するのが次の定理である。

定理 12.13（チェボタレフの密度定理, Chebotarev density theorem）$f \in \mathbb{Z}[x]$ をモニックな既約多項式、$G = \operatorname{Gal}(f)$、$C$ を $G$ の共役類とする。$p \nmid D(f)$ で、$p$ の上の素イデアルのフロベニウス元が $C$ に属するような素数 $p$ の集合は、ディリクレ密度 $\lvert C \rvert/\lvert G \rvert$ をもつ。

これは 15 第6章 定理 6.25 を $f$ の分解体に適用したもので（ディリクレ密度の定義も同章）、証明は本書では扱わない。自然密度についても成り立つことが知られている。

系 12.14 $f$ と $G$ を定理 12.13 のとおりとし、$\lambda$ を $n = \deg f$ の分割とする。$p \nmid D(f)$ で $\overline{f}$ の分解の型が $\lambda$ となる素数 $p$ の集合の密度は、$G$ の型 $\lambda$ の元の個数を $\lvert G \rvert$ で割ったものに等しい。特に、$G$ に現れる型はどれも無数の素数で現れ、$G$ に現れない型は（$p \nmid D(f)$ では）現れない。

証明. 型 $\lambda$ の元全体は $G$ の共役で保たれるので $G$ の共役類のいくつかの和集合であり、定理 12.8 の証明よりフロベニウス元の型は $\overline{f}$ の分解の型に等しい。各共役類について定理 12.13 を適用して足せばよい。$\square$

特に系 12.9(2) の逆も成り立つ。$G$ が長さ $n$ の巡回置換を含めば $\overline{f}$ が既約になる $p$ が無数にあるので、既約なのにすべての素数を法として可約になることは、$G$ が長さ $n$ の巡回置換を含まないことと同値である。4 次式では $G = V$ または $\mathfrak{A}_4$ の場合である。

例 12.15（数値実験）$f = x^5 - x - 1$（$G = \mathfrak{S}_5$）について、$p \nmid 2869$ となる素数を分解の型で分類すると次のようになる（PARI/GP の factormod で計算し、sympy でも確かめた）。

ほかの群についても $p < 10^4$（判別式を割る素数を除く）で比べると、予想（左）と実測（右）はよく合う。現れない型の列は省いた。

$x^4 + 1$ では、$p < 10^4$ の奇素数 1228 個のうち 4 つの 1 次式に分解するもの（$p \equiv 1 \pmod 8$）が 295 個（予想 $1/4$）、2 次式 2 つに分解するものが 933 個（予想 $3/4$）である。

12.7 逆ガロア問題

逆ガロア問題 (inverse Galois problem)：任意の有限群 $G$ に対し、$\operatorname{Gal}(L/\mathbb{Q}) \cong G$ となるガロア拡大 $L/\mathbb{Q}$ は存在するか。

基礎体を $\mathbb{Q}$ に固定することが本質的である。基礎体を自由に選んでよいなら、答えはつねに肯定的である：ケイリーの定理（第3章 定理 3.8）で $G \leq \mathfrak{S}_n$ とみなし、$\mathfrak{S}_n$ を有理関数体 $L = \mathbb{Q}(t_1, \dots, t_n)$ に変数の置換で作用させれば、アルティンの定理（定理 9.4）より $\operatorname{Gal}(L/L^G) = G$ である。

有限アーベル群

円分体のガロア群 $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times$ の商として実現する。そのために $p \equiv 1 \pmod n$ となる素数を初等的に作る。

補題 12.16 $n \in \mathbb{N}$, $a \in \mathbb{Z}$ とし、素数 $p$ は $p \nmid n$ かつ $p \mid \Phi_n(a)$ をみたすとする。このとき法 $p$ での $a$ の位数はちょうど $n$ であり、特に $p \equiv 1 \pmod n$。

証明. $\Phi_n \mid x^n - 1$ なので $a^n \equiv 1 \pmod p$ で、$p \nmid a$。$a$ の位数 $d$ は $n$ を割る（第1章 命題 1.40）。$d < n$ とすると、$a^d - 1 = \prod_{e \mid d}\Phi_e(a)$ より、ある $e \mid d$（$e \neq n$）で $p \mid \Phi_e(a)$。$x^n - 1 = \prod_{e' \mid n}\Phi_{e'}(x)$ は相異なる因子 $\Phi_n$ と $\Phi_e$ を含み、$\mathbb{F}_p$ でどちらも $\overline{a}$ を根にもつので、$\overline{a}$ は $x^n - 1$ の重根になる。しかし $p \nmid n$ より $x^n - 1$ と $nx^{n-1}$ は共通根をもたず、$x^n - 1$ は $\mathbb{F}_p$ 上重根をもたない（第8章 命題 8.36）。矛盾。よって $d = n$ で、フェルマーの小定理（第1章 系 1.35）と命題 1.40 から $n \mid p - 1$。$\square$

定理 12.17 任意の $n \in \mathbb{N}$ について、$p \equiv 1 \pmod n$ となる素数 $p$ は無数に存在する。

証明. $n = 1$ なら明らかなので $n \geq 2$ とする。このとき $\Phi_n(0) = 1$ である（$x^n - 1 = \prod_{d \mid n}\Phi_d(x)$ に $x = 0$ を代入し、$\Phi_1(0) = -1$ と $n$ についての帰納法を使う）。$p \equiv 1 \pmod n$ となる素数が $p_1, \dots, p_k$ だけだとする（$k = 0$ も許す）。$\Phi_n$ はモニックで次数 $\varphi(n) \geq 1$ なので、$t \in \mathbb{N}$ を大きくとれば $a = tnp_1\cdots p_k$ について $\Phi_n(a) > 1$。$\Phi_n(a) \equiv \Phi_n(0) = 1 \pmod a$ なので、$\Phi_n(a)$ の素因数 $p$ は $a$ を割らず、したがって $p \nmid n$ かつ $p \neq p_i$。補題 12.16 より $p \equiv 1 \pmod n$ となり、矛盾する。$\square$

これはディリクレの算術級数定理（15 第6章 定理 6.18）の特別な場合だが、$L$ 関数を使わずに示せた。

定理 12.18（アーベル群の実現）任意の有限アーベル群 $A$ に対し、$\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q}) \cong A$ となるガロア拡大 $K/\mathbb{Q}$ が存在する。$K$ はある円分体 $\mathbb{Q}(\zeta_m)$ の部分体としてとれる。

証明. $A = \lbrace 0 \rbrace$ なら $K = \mathbb{Q}$ とすればよい。有限生成アーベル群の基本定理（第4章 定理 4.8）により $A \cong \mathbb{Z}/n_1\mathbb{Z} \times \cdots \times \mathbb{Z}/n_r\mathbb{Z}$（$n_i \geq 2$）と書ける。定理 12.17 により、相異なる素数 $p_1, \dots, p_r$ で $p_i \equiv 1 \pmod{n_i}$ となるものがとれる。$m = p_1\cdots p_r$ とおくと、中国剰余定理（第1章 定理 1.28）により

で（定理 9.18）、各 $(\mathbb{Z}/p_i\mathbb{Z})^\times$ は位数 $p_i - 1$ の巡回群である（第1章 定理 1.44）。$n_i \mid p_i - 1$ なので全射準同型 $(\mathbb{Z}/p_i\mathbb{Z})^\times \to \mathbb{Z}/n_i\mathbb{Z}$ があり、それらを並べて全射準同型 $\psi\colon \operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_m)/\mathbb{Q}) \to A$ を得る。$H = \operatorname{Ker}\psi$ は可換群の部分群なので正規であり、$K = \mathbb{Q}(\zeta_m)^H$ は $\mathbb{Q}$ 上ガロア拡大で $\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q}) \cong \operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_m)/\mathbb{Q})/H \cong A$（定理 9.9(4)）。$\square$