第9章複素数体上の楕円曲線と虚数乗法

この章の目標

• 複素数体上の楕円曲線が複素トーラス $\mathbb{C}/\Lambda$ と同型であること（一意化定理）を、$j$ 関数の全射性から証明できる
• 同種写像が格子の包含 $\alpha\Lambda_1 \subset \Lambda_2$ と対応することを証明し、$\operatorname{End}(E)$ が $\mathbb{Z}$ か虚二次体の整環であることを導ける
• 類数 1 の 13 個の判別式と $j$ の値を知り、$e^{\pi\sqrt{163}}$ がほとんど整数である理由を説明できる
• $y^2 = x^3 - x$ の $a_p$ を、$p \bmod 4$ と $p = a^2 + b^2$ で表せる
• セールの開像定理の主張を述べ、虚数乗法をもつ曲線ではガロア群の像が開でないことを証明できる
• 実周期を算術幾何平均で計算できる

前提：第3章、19 第1章、19 第2章、19 第3章。9.5 節では第4章を、9.4 節では15 第1章と15 第7章を使う。

複素数体の上では、$E(\mathbb{C})$ は格子 $\Lambda$ による商 $\mathbb{C}/\Lambda$ という具体的な群になる。その結果、等分点・同種写像・自己準同型がすべて「複素数を掛ける」操作で記述され、$\operatorname{End}(E)$ は $\mathbb{Z}$ か虚二次体の整環という小さな環であることがわかる。

後者の曲線は虚数乗法 (complex multiplication, CM) をもつといい、$j$ 不変量が類体を生成し、$e^{\pi\sqrt{163}}$ がほとんど整数になるなど豊かな算術をもつ。最後に、第10章の BSD 予想に現れる周期を算術幾何平均で計算する。

9.1 複素トーラスと楕円曲線

19 第2章の結果を本科目の記法に合わせる。格子 $\Lambda$ に対し $g_2 = 60G_4(\Lambda)$, $g_3 = 140G_6(\Lambda)$ とおくと、$\wp'(z)^2 = 4\wp(z)^3 - g_2\wp(z) - g_3$（19 第2章 定理 2.9）であり、$z \mapsto [\wp(z) : \wp'(z) : 1]$ は $\mathbb{C}/\Lambda$ から $Y^2 = 4X^3 - g_2X - g_3$ への双正則写像である（19 第2章 定理 2.14）。短い形 $y^2 = x^3 + Ax + B$ に合わせるため $y = Y/2$ とおく。

定義 9.1 格子 $\Lambda$ に対し、次の楕円曲線 $E_\Lambda$ と写像 $\Phi_\Lambda\colon \mathbb{C}/\Lambda \to E_\Lambda(\mathbb{C})$ を定める。

$$E_\Lambda\colon y^2 = x^3 - \frac{g_2(\Lambda)}{4}x - \frac{g_3(\Lambda)}{4}, \qquad \Phi_\Lambda(z) = \left(\wp(z), \frac{1}{2}\wp'(z)\right)\ (z \notin \Lambda), \qquad \Phi_\Lambda(0) = O$$

命題 9.2 (1) $\Phi_\Lambda$ は双正則写像かつ群の同型である。(2) $E_\Lambda$ の判別式と $j$ 不変量は、格子の $\Delta(\Lambda) = g_2^3 - 27g_3^2$ と $j(\Lambda) = 1728g_2^3/\Delta(\Lambda)$（19 第2章 定義 2.20）に等しい。(3) 不変微分 $dx/(2y)$ は $\Phi_\Lambda$ で $dz$ に引き戻される。

証明. (1) $\Phi_\Lambda$ は 19 第2章 定理 2.14 の写像と射影変換 $[X : Y : Z] \mapsto [X : Y/2 : Z]$ の合成である。この変換は直線を直線に写し $O$ を固定するので、19 第2章 系 2.16 により、$\mathbb{C}/\Lambda$ の加法は「一直線上の 3 点の和が $O$」で定まる群法則（第2章 定義 2.4・定理 2.10）に移る。(2) $A = -g_2/4$, $B = -g_3/4$ を代入すると $\Delta_E = -16(4A^3 + 27B^2) = g_2^3 - 27g_3^2$、$j(E_\Lambda) = -1728(4A)^3/\Delta_E = 1728g_2^3/(g_2^3 - 27g_3^2)$。(3) $dx = \wp'(z)\ dz = 2y\ dz$。$\square$

逆向きは $g_2 = -4A$, $g_3 = -4B$ である。PARI/GP の ellinit(...).omega は、この正規化（不変微分 $dx/(2y + a_1x + a_3)$）での格子の基底を返す。

定理 9.3（一意化定理, uniformization theorem）$A, B \in \mathbb{C}$, $4A^3 + 27B^2 \neq 0$ ならば、$g_2(\Lambda) = -4A$, $g_3(\Lambda) = -4B$ を満たす格子 $\Lambda$ がただ 1 つ存在する。したがって $\mathbb{C}$ 上の任意の楕円曲線 $E$ はある $E_\Lambda$ と同型で、$E(\mathbb{C}) \cong \mathbb{C}/\Lambda$（双正則かつ群の同型）となる。

証明. $a = -4A$, $b = -4B$ とおくと $a^3 - 27b^2 = -16(4A^3 + 27B^2) \neq 0$、$j(E) = 1728a^3/(a^3 - 27b^2)$ である。19 第3章の定理 3.24（$j$ は $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})\backslash\mathbb{H} \to \mathbb{C}$ の全単射）により $j(\tau) = j(E)$ となる $\tau$ がある。$a_0 = g_2(\Lambda_\tau)$, $b_0 = g_3(\Lambda_\tau)$ とおくと、$j$ の等式の分母を払って $a_0^3b^2 = a^3b_0^2$。$a = \mu^4a_0$, $b = \mu^6b_0$ となる $\mu \in \mathbb{C}^\times$ を探す。$a = 0$ なら $a_0 = 0$（$j = 0$）で $\mu^6 = b/b_0$ ととる。$b = 0$ なら $b_0 = 0$（$j = 1728$）で $\mu^4 = a/a_0$ ととる。$ab \neq 0$ なら $a_0b_0 \neq 0$ で、$\mu^4 = a/a_0$ ととると $(b/b_0)^2 = (a/a_0)^3 = \mu^{12}$ より $b = \pm\mu^6b_0$。負号なら $\mu$ を $i\mu$ に替える。斉次性 $g_2(\alpha\Lambda) = \alpha^{-4}g_2(\Lambda)$, $g_3(\alpha\Lambda) = \alpha^{-6}g_3(\Lambda)$ より $\Lambda = \mu^{-1}\Lambda_\tau$ が求める格子である（19 第3章 系 3.25 と同じ議論）。一意性：同じ $g_2, g_3$ をもつ格子では $\wp$ のローラン係数がすべて一致し（19 第2章 例 2.12）、格子は $\wp$ の極の集合だから一致する。標数 0 では任意の楕円曲線は短い形と同型だから（第1章 命題 1.8）、命題 9.2 から残りが従う。$\square$

系 9.4 $\mathbb{C}$ 上の楕円曲線の同型類、格子の相似類（$\Lambda \sim \alpha\Lambda$）、$\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})\backslash\mathbb{H}$、$\mathbb{C}$ は、$E_\Lambda \leftrightarrow \Lambda$, $\Lambda_\tau \leftrightarrow \tau$, $\tau \mapsto j(\tau)$ によって一対一に対応する。

証明. $j$ による同型類の分類（第1章 定理 1.15）、19 第1章 系 1.31、19 第3章 定理 3.24 と、$j(E_\Lambda) = j(\Lambda)$（命題 9.2）による。$\square$

例 9.5 (1) $y^2 = x^3 - x$ は $g_2 = 4$, $g_3 = 0$ で、格子は $\varpi\mathbb{Z}[i]$（19 第2章 例 2.19。$\varpi = 2.6220575542\ldots$）。PARI/GP の omega は $[\varpi, -\varpi i]$ を返す。(2) 37a1 $\colon y^2 + y = x^3 - x$ では $g_2 = 4$, $g_3 = -1$, $\Delta = 37$（問題 9.1）。PARI/GP の基底 $\omega_1 = 2.9934586462\ldots$, $\omega_2 = -2.4513893819\ldots i$ について、$\tau = \omega_1/\omega_2 = 1.2211273607\ldots i$ での ellj の値は $110592/37 = j(E)$ である。

9.2 同種写像と格子の包含

定理 9.6 $\Lambda_1, \Lambda_2$ を格子とし、$E_i = E_{\Lambda_i}$, $\Phi_i = \Phi_{\Lambda_i}$ とする。

1. $\alpha \in \mathbb{C}^\times$ が $\alpha\Lambda_1 \subset \Lambda_2$ を満たせば、$\varphi_\alpha(\Phi_1(z)) = \Phi_2(\alpha z)$ となる同種写像 $\varphi_\alpha\colon E_1 \to E_2$ がある。
2. $0$ でない同種写像 $\varphi\colon E_1 \to E_2$ は、$\alpha\Lambda_1 \subset \Lambda_2$ を満たすただ 1 つの $\alpha$ によって $\varphi = \varphi_\alpha$ と書ける。
3. $\varphi_\alpha \mapsto \alpha$ は群の同型 $\operatorname{Hom}(E_1, E_2) \cong \lbrace \alpha \in \mathbb{C} \mid \alpha\Lambda_1 \subset \Lambda_2 \rbrace$ で、合成は積に対応する。とくに $\operatorname{End}(E_\Lambda) \cong \lbrace \alpha \in \mathbb{C} \mid \alpha\Lambda \subset \Lambda \rbrace$（環の同型）。
4. $\ker\varphi_\alpha \cong \alpha^{-1}\Lambda_2/\Lambda_1$ であり、$\deg\varphi_\alpha = [\Lambda_2 : \alpha\Lambda_1]$。

証明. 1. $\alpha\Lambda_1 \subset \Lambda_2$ より $\wp(\alpha z; \Lambda_2)$ は $\Lambda_1$ に関する偶な楕円関数だから、19 第2章 定理 2.11 より有理関数 $R$ で $R(\wp(z; \Lambda_1))$ と書ける。同様に偶な楕円関数 $\wp'(\alpha z; \Lambda_2)/\wp'(z; \Lambda_1)$ は $S(\wp(z; \Lambda_1))$ と書ける。よって $\Phi_1(z) = (x, y)$ なら $\Phi_2(\alpha z) = (R(x), yS(x))$ で、$\psi = \Phi_2 \circ (z \mapsto \alpha z) \circ \Phi_1^{-1}$ は有限個の点を除いて有理写像で与えられる。滑らかな射影曲線からの有理写像は射に延び（Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves 第 II 章）、延長は連続性により $\psi$ に一致する。$\psi(O) = O$ だから同種写像である。

2. 同種写像は局所的に有理関数で与えられるので正則写像であり、$\Phi_2^{-1} \circ \varphi \circ \Phi_1$ は $0$ を $0$ に写す正則写像 $\mathbb{C}/\Lambda_1 \to \mathbb{C}/\Lambda_2$ である。19 第1章 定理 1.30 より、これは $\alpha\Lambda_1 \subset \Lambda_2$, $\beta \in \Lambda_2$ を用いて $z \mapsto \alpha z + \beta \equiv \alpha z$ と書ける。すべての $z$ で $\alpha z \equiv \alpha'z \pmod{\Lambda_2}$ なら、$(\alpha - \alpha')z$ は連結な $\mathbb{C}$ 上で離散集合 $\Lambda_2$ に値をとる連続関数だから $0$ で、$\alpha = \alpha'$。

3. 加法は $\mathbb{C}/\Lambda_2$ の加法に対応する（命題 9.2）から、$\varphi_\alpha + \varphi_\beta$ と $\varphi_\beta \circ \varphi_\alpha$ は $(\alpha + \beta)z$ と $\beta\alpha z$ に対応する。

4. $\ker\varphi_\alpha = \lbrace z \mid \alpha z \in \Lambda_2 \rbrace/\Lambda_1 = \alpha^{-1}\Lambda_2/\Lambda_1$ の位数は $[\Lambda_2 : \alpha\Lambda_1]$。標数 0 では同種写像は分離的で、次数は核の位数に等しい（第3章 定理 3.13）。$\square$

例 9.7 $\alpha = m$ は $[m]$ に対応し、$E[m] \cong \frac{1}{m}\Lambda/\Lambda \cong (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^2$（19 第2章 注意 2.18）, $\deg[m] = [\Lambda : m\Lambda] = m^2$。また $d = [\Lambda_2 : \alpha\Lambda_1]$ なら $d\Lambda_2 \subset \alpha\Lambda_1$ だから $\varphi_{d/\alpha} \circ \varphi_\alpha = [d]$ であり、$\varphi_{d/\alpha}$ が双対同種写像である（問題 9.3）。

9.3 自己準同型環と虚数乗法

定理 9.6 により、$\operatorname{End}(E)$ を調べることは $\alpha\Lambda \subset \Lambda$ となる $\alpha$ を調べることに帰着する。

定義 9.8（整環, order） 虚二次体 $K$ の部分環（$1$ を含む）で、階数 2 の自由 $\mathbb{Z}$ 加群であるものを $K$ の整環という。

補題 9.9 $\mathcal{O}_K = \mathbb{Z} + \mathbb{Z}w$、判別式を $d_K$ とする（15 第1章 定理 1.26）。$K$ の整環は $\mathbb{Z} + f\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[fw]$（$f \geq 1$）に限り、その判別式は $f^2d_K$ である。$f$ を整環の導手という。

証明. 整環 $\mathcal{O}$ の元 $\alpha$ について $\mathbb{Z}[\alpha] \subset \mathcal{O}$ は有限生成だから $\alpha$ は代数的整数である（15 第1章 補題 1.7）。よって $\mathbb{Z} \subset \mathcal{O} \subset \mathcal{O}_K$ で、$\mathcal{O}/\mathbb{Z}$ は $\mathcal{O}_K/\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}$（$w$ の類で生成）の $0$ でない部分群だから $\mathcal{O} = \mathbb{Z} + \mathbb{Z}fw$。逆に $(a + f\beta)(a' + f\beta') = aa' + f(a\beta' + a'\beta + f\beta\beta')$ より $\mathbb{Z} + f\mathcal{O}_K$ は環である。判別式は 15 第1章 命題 1.19 (2) による。$\square$

判別式 $D = f^2d_K$ の整環を $\mathcal{O}_D$ と書く。たとえば $\mathcal{O}_{-4} = \mathbb{Z}[i]$, $\mathcal{O}_{-16} = \mathbb{Z}[2i]$, $\mathcal{O}_{-28} = \mathbb{Z}[\sqrt{-7}]$。

定理 9.10（自己準同型環）$E = E_\Lambda$, $\Lambda = \omega_2\Lambda_\tau$（$\tau \in \mathbb{H}$）とする。

1. $\tau$ が二次無理数でなければ $\operatorname{End}(E) \cong \mathbb{Z}$。
2. $A\tau^2 + B\tau + C = 0$（$A, B, C \in \mathbb{Z}$, $A > 0$, $\gcd(A, B, C) = 1$）ならば、$K = \mathbb{Q}(\tau)$ は虚二次体で、$\operatorname{End}(E) \cong \mathbb{Z}[A\tau] = \mathcal{O}_D$, $D = B^2 - 4AC$ である。

とくに $\operatorname{End}(E)$ は $\mathbb{Z}$ か虚二次体の整環であり、つねに可換である。

証明. 定理 9.6 より $\operatorname{End}(E) \cong R := \lbrace \alpha \mid \alpha\Lambda_\tau \subset \Lambda_\tau \rbrace$（相似な格子では同じ）。$\alpha \in R$ なら $\alpha = \alpha \cdot 1$ と $\alpha\tau$ が $\Lambda_\tau$ に属するので

$b = 0$ なら $\alpha \in \mathbb{Z}$。$b \neq 0$ なら代入して $b\tau^2 + (a - d)\tau - c = 0$ となり $\tau$ は二次無理数である。これで 1 が示された。

2. $\tau \notin \mathbb{R}$ だから $K$ は虚二次体。$\alpha = a + b\tau$ について $\alpha\tau = -\frac{bC}{A} + \left(a - \frac{bB}{A}\right)\tau$ だから、$\alpha \in R$ $\iff$ $A \mid bB$ かつ $A \mid bC$ $\iff$ $A \mid b$（$\Rightarrow$ は、$A$ が $bA, bB, bC$ の最大公約数 $\lvert b \rvert$ を割ることによる）。よって $R = \mathbb{Z} + \mathbb{Z}A\tau$。$A\tau$ は $x^2 + Bx + AC = 0$ の根だから $R$ は環で、基底 $1, A\tau$ の判別式は $(A\tau - A\bar{\tau})^2 = B^2 - 4AC$（15 第1章 命題 1.19 (1)）。補題 9.9 より $R = \mathcal{O}_D$。$\square$

定義 9.11（虚数乗法）$\operatorname{End}(E) \neq \mathbb{Z}$ のとき、$E$ は虚数乗法をもつ（CM をもつ）という。$\operatorname{End}(E) \cong \mathcal{O}_D$ なら $\mathcal{O}_D$ による虚数乗法をもつという。

標数 $p$ の超特異曲線で起こる四元数環の整環（第3章 定理 3.34）は、標数 0 では現れない。$\operatorname{End}(E)$ はつねに $\mathbb{C}$ 上で考える。

例 9.12（虚数乗法をもつ曲線）

1. $y^2 = x^3 - x$：$\tau = i$, $(A, B, C) = (1, 0, 1)$, $\operatorname{End}(E) \cong \mathbb{Z}[i]$。$\wp(iz) = i^{-2}\wp(z) = -\wp(z)$ とその微分 $\wp'(iz) = i\wp'(z)$ から $[i](x, y) = (-x, iy)$（$\mathbb{Q}(i)$ 上定義される）。
2. $y^2 = x^3 + 1$：$g_2 = 0$ より $j = 0 = j(\mathbb{Z}[\rho])$（$\rho = e^{2\pi i/3}$）で、系 9.4 より格子は $\mathbb{Z}[\rho]$ と相似。$\operatorname{End}(E) \cong \mathbb{Z}[\rho]$, $D = -3$。$\wp(\rho z) = \rho\wp(z)$, $\wp'(\rho z) = \wp'(z)$ より $[\rho](x, y) = (\rho x, y)$。
3. $j = -3375$：導手 49 の曲線 49a1 は $y^2 = x^3 - 35x - 98$ と $\mathbb{Q}$ 上同型で、$j = 1728 \cdot 4(-35)^3/(4(-35)^3 + 27 \cdot 98^2) = -3375$。PARI/GP で $\tau = \omega_1/\omega_2$ を求め algdep(tau, 2) を使うと $2\tau^2 - \tau + 1 = 0$、すなわち $\tau = (1 + \sqrt{-7})/4$。$D = -7$ で、$\operatorname{End}(E) \cong \mathbb{Z}[(1 + \sqrt{-7})/2]$ は $\mathbb{Q}(\sqrt{-7})$ の整数環である。次数 2 の自己準同型 $\alpha = (1 + \sqrt{-7})/2$ の核は、有理点 $(7, 0)$ が生成する部分群ではない（$(7, 0)$ を核とする 2-同種写像の行き先は $j = 255^3$（$D = -28$）の 49a2。ellisogeny）。

9.4 類数 1 の判別式と $j$ の値

命題 9.13 $D < 0$, $D \equiv 0, 1 \pmod 4$ とする。$\operatorname{End}(E) \cong \mathcal{O}_D$ となる $E/\mathbb{C}$ の同型類は、

$$B^2 - 4AC = D, \quad \gcd(A, B, C) = 1, \quad \lvert B \rvert \leq A \leq C, \quad (\lvert B \rvert = A\ \text{または}\ A = C\ \text{なら}\ B \geq 0)$$

を満たす整数の組（被約な原始的二次形式 $Ax^2 + Bxy + Cy^2$）と $\tau = \frac{-B + \sqrt{D}}{2A}$ によって一対一に対応する。その個数 $h(D)$ は有限で、各組は $A \leq \sqrt{\lvert D \rvert/3}$ を満たす。

証明. 系 9.4 と 19 第3章 定理 3.2 より、同型類は基本領域 $\mathcal{F}$ の点（境界では $\operatorname{Re}\tau \leq 0$ の側を残す）と対応する。定理 9.10 より $\operatorname{End} \cong \mathcal{O}_D$ は $\tau$ の原始的な方程式の判別式が $D$ であることと同値で、このとき $\tau = (-B + \sqrt{D})/(2A)$。$\lvert \operatorname{Re}\tau \rvert = \lvert B \rvert/(2A) \leq \frac{1}{2}$, $\lvert \tau \rvert^2 = C/A \geq 1$, $\operatorname{Re}\tau \leq 0$ がそれぞれ $\lvert B \rvert \leq A$, $A \leq C$, $B \geq 0$ にあたる。また $\lvert D \rvert = 4AC - B^2 \geq 3A^2$。$\square$

$h(D)$ を判別式 $D$ の類数という。$D = d_K$ なら $h(d_K)$ はイデアル類数 $h_K$ に等しい（主張）。たとえば $D = -20$ の被約形式は $(1, 0, 5), (2, 2, 3)$、$D = -23$ では $(1, 1, 6), (2, \pm 1, 3)$ で、15 第3章 例 3.14, 3.15 の類数 2, 3 と一致する。

定理 9.14（虚数乗法の主定理の一部。主張） 命題 9.13 の $\tau_1, \dots, \tau_h$（$h = h(D)$）について $j_k = j(\tau_k)$ とおく。

1. 各 $j_k$ は代数的整数で、$H_D(x) = \prod_k(x - j_k)$ は $\mathbb{Z}[x]$ の既約多項式である。とくに $[\mathbb{Q}(j_k) : \mathbb{Q}] = h(D)$。
2. $D = d_K$ なら、$K(j(\mathcal{O}_K))$ は $K$ のヒルベルト類体（15 第7章 定理 7.6）である。

証明は Silverman, Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves 第 II 章（主に $D = d_K$ の場合）を参照。$H_D$ をヒルベルト類多項式という（PARI/GP の polclass(D)）。

したがって CM をもつ曲線の $j$ が有理数になるのは $h(D) = 1$ のときに限り、そのとき $j$ は整数である。

定理 9.15（類数 1 の判別式。主張）$h(D) = 1$ となる負の判別式は $D = -3, -4, -7, -8, -11, -12, -16, -19, -27, -28, -43, -67, -163$ の 13 個に限る。

基本判別式の 9 個についてはヘーグナー（1952）、ベイカー（1966）、スターク（1967）による。極大でない 4 個（$f = 2, 2, 3, 2$）は整環の類数の公式から従う。$\lvert D \rvert \leq 10^4$ では被約形式の全探索で確かめた。

例 9.16（$h(D) = 1$ の $j$ の値）$D \equiv 1 \pmod 4$ なら $\tau = (1 + \sqrt{D})/2$、$D \equiv 0 \pmod 4$ なら $\tau = \sqrt{D}/2$ とする（$\mathbb{Z}[\tau] = \mathcal{O}_D$）。PARI/GP の ellj(tau) は 60 桁の精度で整数に一致し、polclass(D) は $x - j$ を返す。

例 9.17 $H_{-20}(x) = x^2 - 1264000x - 681472000$ の根は $j(\sqrt{-5}) = 632000 + 282880\sqrt{5}$ と $j((1 + \sqrt{-5})/2) = 632000 - 282880\sqrt{5}$ で（ellj と一致）、$K(j) = \mathbb{Q}(\sqrt{-5}, \sqrt{5})$ は 15 第7章 例 7.7 のヒルベルト類体である。$H_{-23}$ は 3 次式で、nfisisom によれば $\mathbb{Q}(j)$ は $x^3 - x - 1$ の根が生成する体と同型である（同 例 7.8）。

$e^{\pi\sqrt{163}}$ がほとんど整数である理由

$\tau = (1 + \sqrt{-163})/2$ では $q = e^{2\pi i\tau} = -e^{-\pi\sqrt{163}}$ である。19 第3章 3.7 節の展開 $j(\tau) = q^{-1} + 744 + 196884q + 21493760q^2 + \cdots$ と $j(\tau) = -640320^3$ から

$e^{-\pi\sqrt{163}} = 3.81 \times 10^{-18}$ だから第 3 項は $7.4993 \times 10^{-13}$、第 4 項は $3 \times 10^{-28}$ 程度である。PARI/GP で計算すると $e^{\pi\sqrt{163}} = 262537412640768743.99999999999925007\ldots$ で、$640320^3 + 744 = 262537412640768744$ との差は $196884e^{-\pi\sqrt{163}}$ と 15 桁一致する。理由は、(i) 類数 1 なので $j(\tau)$ が整数であること（定理 9.14）、(ii) $q$ が非常に小さいこと、の 2 つである。163 は $h(D) = 1$ となる最大の $\lvert D \rvert$ なので最も顕著に現れる（$e^{\pi\sqrt{67}}, e^{\pi\sqrt{43}}, e^{\pi\sqrt{19}}$ と整数の差は $1.3 \times 10^{-6}$, $2.2 \times 10^{-4}$, $0.22$）。

9.5 虚数乗法をもつ曲線の $a_p$

CM 曲線では $a_p = p + 1 - \lvert E(\mathbb{F}_p) \rvert$ が、$p$ の虚二次体での分解の仕方で記述できる。$y^2 = x^3 - x$（導手 32。Cremona のラベルで 32a2）で見よう。

定理 9.18 $E\colon y^2 = x^3 - x$、$p \equiv 3 \pmod 4$ を素数とすると $\lvert E(\mathbb{F}_p) \rvert = p + 1$、すなわち $a_p = 0$。

証明. これは第4章 定理 4.18(2) の $A = -1$ の場合で、証明も同じである。$f(x) = x^3 - x$ とおくと $\lvert E(\mathbb{F}_p) \rvert = p + 1 + \sum_{x \in \mathbb{F}_p}\left(\frac{f(x)}{p}\right)$（ルジャンドル記号。第4章 命題 4.1）。$f(-x) = -f(x)$ と $\left(\frac{-1}{p}\right) = -1$ より $\left(\frac{f(-x)}{p}\right) = -\left(\frac{f(x)}{p}\right)$ だから、$x \neq 0$ を $\lbrace x, -x \rbrace$ の組に分けると和は打ち消し合う。$x = 0$ の項は $0$ である。$\square$

注意 9.19 $\mathbb{F}_{p^2}$ の中で $i^p = -i$ だから、フロベニウス $\phi_p$ について $[i]^{-1}\phi_p[i] = -\phi_p$ である。第4章 定理 4.8 の $\phi_p^2 - a_p\phi_p + p = 0$ を $[i]$ で共役にすると $\phi_p^2 + a_p\phi_p + p = 0$ となり、引いて $2a_p\phi_p = 0$。$\operatorname{End}$ に零因子はないから $a_p = 0$。これが定理 9.18 の概念的な理由である。

定理 9.20（主張）$E\colon y^2 = x^3 - x$、$p \equiv 1 \pmod 4$ を素数とする。$p = a^2 + b^2$（$a$ は奇数、$b$ は偶数）と書き、$a$ の符号を $a + b \equiv 1 \pmod 4$ となるように選ぶと、$a_p = 2a$、すなわち $\lvert E(\mathbb{F}_p) \rvert = p + 1 - 2a$ である。

表し方は符号と順序を除いて一意で（$\mathbb{Z}[i]$ での素因数分解の一意性。15 第2章 例 2.19）、$b$ は偶数だから条件は $b$ の符号によらず、$a$ の符号をちょうど 1 つに決める。

証明の方針. (i) $p \equiv 1 \pmod 4$ なら $[i]$ は $\mathbb{F}_p$ 上定義され、$\phi_p$ と可換である。第3章の自己準同型環の分類（定理 3.34）を使うと $\phi_p = [a] + [b][i]$（$a, b \in \mathbb{Z}$）となり、次数をとって $p = a^2 + b^2$、$\lvert E(\mathbb{F}_p) \rvert = \deg(1 - \phi_p) = (1 - a)^2 + b^2$（第4章 定理 4.5）、$a_p = 2a$ を得る。この段階は認める。(ii) 符号を決める。$i \in \mathbb{F}_p$ を $-1$ の平方根とすると、$P = (i, i - 1)$ は $(i - 1)^2 = -2i = i^3 - i$ より $E$ 上にあり、接線の傾き $(3i^2 - 1)/(2(i - 1)) = 1 + i$ から $2P = ((1 + i)^2 - 2i,\ (1 + i)i - (i - 1)) = (0, 0)$。よって $E(\mathbb{F}_p)$ は $P$ と $(1, 0)$ で生成される位数 8 の部分群を含み、$8 \mid (1 - a)^2 + b^2$。$p$ は奇数だから $a, b$ の一方だけが奇数で、$a$ が偶数なら右辺は $\equiv 2 \pmod 4$ となるので $a$ は奇数。$1 - a = 2s$, $b = 2t$ とおくと $8 \mid 4(s^2 + t^2)$ より $s \equiv t \pmod 2$、すなわち $a + b \equiv 1 \pmod 4$。$\square$