第6章局所体上の楕円曲線と還元

この章の目標

• 整なワイエルシュトラス方程式と極小モデルを理解し、$v(\Delta)$, $v(c_4)$ による極小性の判定を、剰余体の標数についての仮定とともに正しく使える
• 還元の型（良い還元・分裂／非分裂の乗法的還元・加法的還元）を $\Delta$, $c_4$, $c_6$ から判定できる
• $E_0(K)/E_1(K) \cong \tilde{E}_{\mathrm{ns}}(k)$ を証明し、$E_1(K)$ がねじれ点をもたないための条件を証明できる
• 形式群の考え方と、$E_1(K)$ のフィルトレーションとの関係を説明できる
• 小平記号・玉河数・導手の表を読み、オッグの公式や PARI/GP の出力で検算できる

前提：第1章、第2章、15 第5章（$p$ 進数と局所体）。例では第4章の点の数え方（命題 4.1）を使い、6.7 節の最後と問題 6.8 では第3章の定理 3.23 と同種写像、第4章の定理 4.14 を使う。

導手 11 の曲線 $y^2 + y = x^3 - x^2 - 10x - 20$ の係数を $\bmod 3$ で読めば $\mathbb{F}_3$ 上の楕円曲線になり、第4章の方法（命題 4.1）で点を数えられる。ところが $\bmod 11$ で読むと、得られる 3 次曲線は点 $(5, 5)$ で自分自身と交わり、もはや楕円曲線ではない。素数ごとに曲線を「還元」して調べるのは整数論の基本的な方法だが、そのためには、方程式をどう選べば還元が意味をもつか、悪い素数ではどんな曲線が現れるか、還元で何が失われるかを知る必要がある。

この問いを扱う自然な場は $p$ 進体である。$\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}_p$ と見れば「$p$ で何回割り切れるか」は付値の問題になり、ヘンゼルの補題で $\bmod p$ の点を持ち上げられる。本章では局所体上の楕円曲線の極小モデル、還元の型、還元写像の核 $E_1(K)$ の構造を調べる。$E_1(K)$ にねじれ点がほとんどないことは、第7章でねじれ部分群を決定する鍵になる。後半では、第10章の L 関数と BSD 予想に現れる小平記号・玉河数・導手を（主張として）紹介する。本章の数値はすべて PARI/GP で確かめてある。

本章の設定. $K$ は $\mathbb{Q}_p$ の有限次拡大とし（15 第5章 定理 5.19）、$R$ をその整数環（離散付値環）、$\pi$ を素元、$\mathfrak{m} = \pi R$、$k = R/\mathfrak{m}$ を剰余体（位数 $q = p^f$ の有限体）、$v$ を $v(\pi) = 1$ と正規化した付値とする。$p = \operatorname{char} k$ で、$v(p)$ は分岐指数である（$K = \mathbb{Q}_p$ なら $v = v_p$, $v(p) = 1$）。$a \in R$ の $k$ での像を $\tilde{a}$ と書く。ヘンゼルの補題（15 第5章 定理 5.12）は $\mathbb{Z}_p$ を $R$ に、$p$ を $\pi$ に置き換えても同じ証明で成り立つ。本章の議論の大部分は、$R$ が完備離散付値環で剰余体が完全体なら通用する（Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves（以下 AEC）第 VII 章の設定）。

6.1 整なワイエルシュトラス方程式と極小モデル

$E/K$ のワイエルシュトラス方程式は一つではなく、第1章の変数変換 (1.3) $x = u^2x' + r$, $y = u^3y' + su^2x' + t$（$u \in K^\times$, $r, s, t \in K$）で移り合う方程式はすべて同じ曲線を表す。係数を $\bmod \mathfrak{m}$ で読むには、係数が $R$ に入り、判別式がなるべく $\pi$ で割り切れない方程式を選ぶ必要がある。

定義 6.1（整な方程式・極小モデル）$E/K$ のワイエルシュトラス方程式で、係数 $a_1, a_2, a_3, a_4, a_6$ がすべて $R$ に属するものを整 (integral) であるという。$b_i, c_4, c_6, \Delta$ は $a_i$ の整数係数多項式なので、このとき $R$ に属し、$v(\Delta) \geq 0$ である。整な方程式のうち $v(\Delta)$ が最小のものを極小ワイエルシュトラス方程式（極小モデル, minimal Weierstrass equation）という。

命題 6.2（極小モデルの存在と一意性）

1. どの $E/K$ にも整な方程式があり、したがって極小モデルがある。
2. 2 つの極小モデルは、$u \in R^\times$, $r, s, t \in R$ である変数変換で移り合う。特に極小モデルの $v(\Delta)$ は $E$ だけで決まる。

証明. (1) 方程式を一つとり、$x = \pi^{-2N}x'$, $y = \pi^{-3N}y'$（$u = \pi^{-N}$）と変換すると $a_i' = \pi^{Ni}a_i$ となる（第1章 命題 1.6 の変換公式）。$N$ を大きくとれば $a_i' \in R$。整な方程式の $v(\Delta)$ は $0$ 以上の整数なので最小値がある。

(2) 2 つの極小モデルが $(u, r, s, t)$ で移り合うとする。$\Delta = u^{12}\Delta'$ と $v(\Delta) = v(\Delta')$ から $v(u) = 0$。単元によるスケーリングは整性を保つので $u = 1$ としてよい。第1章 命題 1.6 から

で、$b_6', b_8' \in R$ である。$rb_6' - b_8'$ を計算すると

となり、$r$ は $R$ 係数のモニック多項式の根である。離散付値環 $R$ は整閉である（$v(r) < 0$ なら $r^4$ の項の付値が他の項より真に小さく、和が $0$ になりえない）から $r \in R$。次に $a_2' = a_2 - sa_1 + 3r - s^2$ より $s$ は $X^2 + a_1X - (a_2 + 3r - a_2')$ の根なので $s \in R$。最後に $a_6' = a_6 + ra_4 + r^2a_2 + r^3 - ta_3 - t^2 - rta_1$ より $t$ は $X^2 + (a_3 + ra_1)X - (a_6 + ra_4 + r^2a_2 + r^3 - a_6')$ の根なので $t \in R$。$\square$

命題 6.3（極小性の判定）整なワイエルシュトラス方程式について：

1. $v(\Delta) < 12$、$v(c_4) < 4$、$v(c_6) < 6$ のいずれかが成り立てば、極小である。これは剰余体の標数によらない。
2. 剰余体の標数が 2, 3 でない（$p \geq 5$）ならば逆も成り立つ。すなわち $v(\Delta) \geq 12$ かつ $v(c_4) \geq 4$ ならば極小でない。したがって $p \geq 5$ では「極小 $\iff$ $v(\Delta) < 12$ または $v(c_4) < 4$」である。

証明. (1) 極小でないとすると、$v(\Delta') < v(\Delta)$ となる整な方程式への変換 $(u, r, s, t)$ がある。$v(\Delta) = 12v(u) + v(\Delta')$ より $v(u) \geq 1$ で、$v(\Delta) \geq 12$。さらに $c_4 = u^4c_4'$, $c_6 = u^6c_6'$ で $c_4', c_6' \in R$ だから $v(c_4) \geq 4$, $v(c_6) \geq 6$。対偶をとればよい。

(2) $p \geq 5$ なら $2, 3 \in R^\times$ である。第1章 命題 1.8（標準形）により、$u = 1/6$, $r = -b_2/12$, $s = -a_1/2$, $t = -(a_1r + a_3)/2$（すべて $R$ に属し、$u$ は単元）の変換で、方程式は整な方程式 $y^2 = x^3 - 27c_4x - 54c_6$ に移り、判別式は $6^{12}\Delta$（付値は $v(\Delta)$ のまま）になる。$v(c_4) \geq 4$, $v(\Delta) \geq 12$ とすると、$c_6^2 = c_4^3 - 1728\Delta$ と $v(1728) = 0$ より $v(c_6) \geq 6$。そこで $x = \pi^2x'$, $y = \pi^3y'$ と変換すると $y'^2 = x'^3 - (27c_4/\pi^4)x' - 54c_6/\pi^6$ は整な方程式で、判別式の付値は $v(\Delta) - 12$ に下がる。$\square$

例 6.4

1. 導手 11 の曲線 11a1 $\colon y^2 + y = x^3 - x^2 - 10x - 20$ は $\Delta = -11^5$, $c_4 = 496 = 2^4 \cdot 31$, $c_6 = 20008 = 2^3 \cdot 41 \cdot 61$ で、すべての $p$ で $v_p(\Delta) < 12$ だから、どの $p$ でも極小である。
2. 11a1 の標準形 $y^2 = x^3 - 13392x - 1080432$ は判別式 $-2^{12}3^{12}11^5$, $c_4' = 2^8 3^4 \cdot 31$, $c_6' = 2^9 3^6 \cdot 41 \cdot 61$ をもち、$p = 2, 3$ では命題 6.3(1) の条件がどれも成り立たない。実際 $x = 36x' - 12$, $y = 216y' + 108$（$u = 6$）で 11a1 に戻るので、2 でも 3 でも極小でない。
3. $y^2 = x^3 - 625x$ は $v_5(\Delta) = 12$, $v_5(c_4) = v_5(30000) = 4$ なので 5 で極小でない。実際 $x = 25x'$, $y = 125y'$ で $y'^2 = x'^3 - x'$（$\Delta = 64$）になる。

定理 6.5（大域極小モデル, global minimal model）（主張）$E/\mathbb{Q}$ には、すべての素数 $p$ で同時に極小な整数係数のワイエルシュトラス方程式がある。その判別式 $\Delta_E$（極小判別式）は $E$ で決まり、2 つの大域極小モデルは $u = \pm 1$, $r, s, t \in \mathbb{Z}$ の変換で移り合う。

各 $p$ ごとの極小モデルを、$\mathbb{Z}$ が単項イデアル整域であることと中国剰余定理で貼り合わせるのが証明の方針である（AEC VIII.8 節。類数が 1 でない数体では一般には存在しない）。Cremona の表や LMFDB の方程式は、大域極小モデルをさらに $a_1, a_3 \in \lbrace 0, 1 \rbrace$, $a_2 \in \lbrace -1, 0, 1 \rbrace$ と正規化したものである。

6.2 還元と還元の型

定義 6.6（還元）$E/K$ の極小モデルの係数を $\bmod \mathfrak{m}$ で読んだ方程式

$$\tilde{E}\colon y^2 + \tilde{a}_1xy + \tilde{a}_3y = x^3 + \tilde{a}_2x^2 + \tilde{a}_4x + \tilde{a}_6$$

を $E$ の還元 (reduction) という。$\tilde{E}$ は $k$ 上の 3 次曲線で、特異点をもつこともある。$P \in E(K) \subset \mathbb{P}^2(K)$ の斉次座標を $P = [X : Y : Z]$, $X, Y, Z \in R$, $\min(v(X), v(Y), v(Z)) = 0$ ととって $\tilde{P} = [\tilde{X} : \tilde{Y} : \tilde{Z}]$ とおく。座標は単元倍を除いて一意なので $\tilde{P}$ は well-defined で、$\tilde{P} \in \tilde{E}(k)$ である。写像 $P \mapsto \tilde{P}$ を還元写像という。$\tilde{E}$ の非特異点の集合を $\tilde{E}_{\mathrm{ns}}$ と書く。

命題 6.2(2) より、極小モデルのとり替えは $\bmod \mathfrak{m}$ で $k$ 上の変数変換になる。したがって $\tilde{E}$ は $k$ 上の同型を除いて $E$ で決まり、還元写像もこの同型と両立する。$\tilde{E}$ の不変量は $\tilde{c}_4$, $\tilde{c}_6$, $\tilde{\Delta}$ である。第1章の定理 1.12（非特異性の判定。標数によらない）により、$\tilde{\Delta} = 0$ のとき $\tilde{E}$ の特異点 $S$ はただ一つで、$\tilde{c}_4 \neq 0$ なら結節点、$\tilde{c}_4 = 0$ なら尖点であり、$\tilde{O}$ はつねに非特異である。$S$ をガロア群 $\operatorname{Gal}(\overline{k}/k)$ で動かしたものも特異点なので、一意性から $S \in \tilde{E}(k)$ である（$k$ は完全体）。

定義 6.7（還元の型）$E/K$ は、$\tilde{E}$ が非特異なら良い還元 (good reduction)、特異点が結節点なら乗法的還元 (multiplicative reduction)、尖点なら加法的還元 (additive reduction) をもつという。乗法的還元で、結節点での 2 本の接線が $k$ 上定義されているとき分裂 (split)、そうでないとき非分裂 (non-split) という。良い還元でないとき悪い還元をもつといい、良い還元か乗法的還元のとき半安定 (semistable) であるという。

名前は、第2章の定理 2.19 で見たように $\tilde{E}_{\mathrm{ns}}$ の群が、尖点なら加法群、分裂結節点なら乗法群と同型になることに由来する。

命題 6.8（還元の型の判定）極小モデルについて

1. 良い還元 $\iff$ $v(\Delta) = 0$
2. 乗法的還元 $\iff$ $v(\Delta) > 0$ かつ $v(c_4) = 0$
3. 加法的還元 $\iff$ $v(\Delta) > 0$ かつ $v(c_4) > 0$

乗法的還元のとき、特異点を $(0, 0)$ に移した極小モデル（$a_3, a_4, a_6 \in \mathfrak{m}$）をとると、分裂 $\iff$ $T^2 + \tilde{a}_1T - \tilde{a}_2$ が $k[T]$ で 1 次式の積に分解する。$p \neq 2$ ならば、分裂 $\iff$ $-\tilde{c}_6$ が $k$ の平方元である。

証明. 前半は、第1章 定理 1.12 を $\tilde{E}$ に適用したものである。

後半。特異点 $S = (\alpha, \beta) \in \tilde{E}(k)$ の座標を $R$ の元 $r, t$ に持ち上げて変換 $(1, r, 0, t)$ を行う。$u = 1$ なので $\Delta, c_4, c_6$ も極小性も変わらず、還元では $S$ が $(0, 0)$ に移る。$(0, 0)$ が特異点であることは $\tilde{a}_6 = \tilde{a}_4 = \tilde{a}_3 = 0$ を意味し、$\tilde{E}$ は $y^2 + \tilde{a}_1xy - \tilde{a}_2x^2 = x^3$ となる。接線は 2 次の部分 $y^2 + \tilde{a}_1xy - \tilde{a}_2x^2 = (y - \alpha'x)(y - \beta'x)$ の因子で、$\alpha', \beta'$ は $T^2 + \tilde{a}_1T - \tilde{a}_2$ の根だから、分裂 $\iff$ $\alpha', \beta' \in k$ $\iff$ この 2 次式が分解する。このとき $\tilde{b}_2 = \tilde{a}_1^2 + 4\tilde{a}_2$ はこの 2 次式の判別式で、$\tilde{b}_4 = \tilde{b}_6 = 0$ だから $\tilde{c}_4 = \tilde{b}_2^2$, $\tilde{c}_6 = -\tilde{b}_2^3$ であり、結節点なので $\tilde{b}_2 \neq 0$。$p \neq 2$ なら、分解する $\iff$ $\tilde{b}_2$ が平方元 $\iff$ $-\tilde{c}_6 = \tilde{b}_2 \cdot \tilde{b}_2^2$ が平方元。$c_6$ は $(1, r, 0, t)$ で変わらず、極小モデルのとり替えで単元の 6 乗倍になるだけなので、条件はモデルによらない。$\square$

例 6.9

1. 11a1, $p = 11$. $v(\Delta) = 5$, $c_4 = 496 \equiv 1 \pmod{11}$ なので乗法的。$-c_6 = -20008 \equiv 1$ は平方元なので分裂である。実際 $\tilde{E}$ の特異点は $(5, 5)$ で、$X = x - 5$, $Y = y - 5$ とおくと 2 次の部分は $Y^2 - 14X^2 \equiv Y^2 - 3X^2 = (Y - 5X)(Y + 5X)$（$5^2 \equiv 3$）であり、接線は $\mathbb{F}_{11}$ 上定義されている。
2. 37a1 $\colon y^2 + y = x^3 - x$, $p = 37$. $\Delta = 37$, $c_4 = 48 \not\equiv 0$ なので乗法的。$-c_6 = 216 \equiv 31$ は $31^{18} \equiv -1 \pmod{37}$ より平方元でないので非分裂である（特異点は $(5, 18)$）。
3. $y^2 = x^3 - x$, $p = 2$. $v_2(\Delta) = 6 < 12$ で極小、$v_2(c_4) = v_2(48) = 4 > 0$ なので加法的。$\bmod 2$ では $y^2 = x(x + 1)^2$ で、$(1, 0)$ が尖点である。奇素数では良い還元をもつ。
4. $y^2 = x^3 + 17$. $\Delta = -2^4 3^3 17^2$, $c_4 = 0$ なので、$p = 2, 3, 17$ で加法的（いずれも極小）、それ以外では良い還元である。

6.3 $E_0(K)$ と $E_1(K)$

特異点に還元される点があると $\tilde{E}(k)$ 全体には群の構造がないので、非特異点に還元される点に制限する。

定義 6.10 極小モデルについて

$$E_0(K) = \lbrace P \in E(K) \mid \tilde{P} \in \tilde{E}_{\mathrm{ns}}(k) \rbrace, \qquad E_1(K) = \lbrace P \in E(K) \mid \tilde{P} = \tilde{O} \rbrace$$

とおく。これらは極小モデルのとり方によらない。

$E_1(K)$ は「$O$ に $p$ 進的に近い点」の集合で、極小でない整な方程式に対しても同じ式で定義できる（6.4 節ではそれも使う）。

補題 6.11 整なワイエルシュトラス方程式で与えられた $E$ の点 $P = (x, y) \in E(K)$ について、$v(x) < 0$ と $v(y) < 0$ は同値であり、このとき $v(x) = -2n$, $v(y) = -3n$ となる整数 $n \geq 1$ がある。$x, y \in R$ なら $\tilde{P} = (\tilde{x}, \tilde{y})$ で、そうでなければ $\tilde{P} = \tilde{O}$ である。特に

$$E_1(K) = \lbrace (x, y) \in E(K) \mid v(x) < 0 \rbrace \cup \lbrace O \rbrace$$

証明. 方程式を $y^2 + a_1xy + a_3y = x^3 + a_2x^2 + a_4x + a_6$ とする。$v(x) < 0$ なら右辺の付値は $3v(x)$ である（15 第5章 命題 5.7(1)）。もし $v(y) \geq 0$ なら左辺の付値は $v(x)$ 以上で $3v(x)$ より大きく、矛盾する。逆に $v(x) \geq 0$, $v(y) < 0$ なら左辺の付値は $2v(y) < 0$ で、右辺は $0$ 以上なので矛盾する。$v(x), v(y) < 0$ とする。$v(y) \geq v(x)$ なら左辺の各項の付値は $v(x) + v(y) \geq 2v(x) > 3v(x)$ 以上で矛盾するから $v(y) < v(x)$ で、左辺の付値は $2v(y)$。よって $2v(y) = 3v(x)$、すなわち $v(x) = -2n$, $v(y) = -3n$（$n \geq 1$）。$x, y \in R$ なら $[x : y : 1]$ が正規化された座標である。そうでなければ $P = [x/y : 1 : 1/y]$ で $v(x/y) = n > 0$, $v(1/y) = 3n > 0$ だから $\tilde{P} = [0 : 1 : 0]$。$\square$

補題 6.12（交点の還元）整なワイエルシュトラス方程式で与えられた $E$ と $K$ 上の直線 $L$ が、$P_1, P_2, P_3 \in E(K)$ で（重複度をこめて）交わるとする。$L\colon \alpha X + \beta Y + \gamma Z = 0$ を $\alpha, \beta, \gamma \in R$, $\min(v(\alpha), v(\beta), v(\gamma)) = 0$ と正規化して $\bmod \mathfrak{m}$ で読んだ直線を $\tilde{L}$ とすると、$\tilde{L}$ は $\tilde{E}$ と $\tilde{P}_1, \tilde{P}_2, \tilde{P}_3$ で（重複度をこめて）交わる。

証明. 係数のどれかは単元で、それが $\gamma$ の場合を示す（他も同様）。$\gamma = 1$ とすると $L$ の点は $[s : t : -\alpha s - \beta t]$ と表され、$s, t \in R$, $\min(v(s), v(t)) = 0$ ととれば座標は正規化されていて、還元は $[\tilde{s} : \tilde{t} : -\tilde{\alpha}\tilde{s} - \tilde{\beta}\tilde{t}] \in \tilde{L}$ である。ワイエルシュトラス方程式の斉次 3 次式を $F$ とし、$G(s, t) = F(s, t, -\alpha s - \beta t) \in R[s, t]$ とおくと、$L$ と $E$ の交点は重複度をこめて $G$ の根である。$P_i$ に対応する根を正規化して $(s_i : t_i)$ とすると、$G = cH$, $H = \prod_{i=1}^{3}(t_is - s_it)$, $c \in K^\times$ と書ける。$\tilde{G}$ は $\tilde{F}$ を $\tilde{L}$ に制限したもので、第1章 補題 1.11（ワイエルシュトラス方程式の曲線は直線を含まない）より $0$ でないから、$G$ のある係数は単元である。一方 $\tilde{H} = \prod(\tilde{t}_is - \tilde{s}_it) \neq 0$ なので $H$ のある係数も単元である。$v(c) < 0$ なら $G$ に付値が負の係数が現れ、$v(c) > 0$ なら $G$ の係数がすべて $\mathfrak{m}$ に入るので、$c \in R^\times$。よって $\tilde{G} = \tilde{c}\tilde{H}$ で、$\tilde{G}$ の根は重複度をこめて $\tilde{P}_i$ に対応する $(\tilde{s}_i : \tilde{t}_i)$ である。$\square$

定理 6.13 $E_0(K)$ は $E(K)$ の部分群で、還元写像 $E_0(K) \to \tilde{E}_{\mathrm{ns}}(k)$ は全射準同型、その核は $E_1(K)$ である。したがって

$$E_0(K)/E_1(K) \cong \tilde{E}_{\mathrm{ns}}(k)$$

ここで $\tilde{E}_{\mathrm{ns}}(k)$ には第2章の弦と接線による群法則（2.7 節）が入っていて（良い還元なら楕円曲線の群そのもの）、直線と重複度をこめて交わる 3 点 $Q_1, Q_2, Q_3 \in \tilde{E}_{\mathrm{ns}}(k)$ について $Q_1 + Q_2 + Q_3 = \tilde{O}$ である。

証明. (i) $\tilde{O}$ は非特異なので $O \in E_0(K)$。$-(x, y) = (x, -y - a_1x - a_3)$ と還元は可換で、$(x, y) \mapsto (x, -y - \tilde{a}_1x - \tilde{a}_3)$ は $\tilde{E}$ の自己同型なので唯一の特異点を自分に移す。よって $P \in E_0(K)$ なら $-P \in E_0(K)$ で、$\widetilde{-P} = -\tilde{P}$。

(ii) $P_1, P_2 \in E_0(K)$ とし、$L$ を $P_1, P_2$ を通る直線（$P_1 = P_2$ なら接線）、$P_3$ を第 3 の交点とする（$P_1 + P_2 + P_3 = O$）。補題 6.12 より $\tilde{L}$ は $\tilde{E}$ と $\tilde{P}_1, \tilde{P}_2, \tilde{P}_3$ で交わる。特異点 $S$ を通る直線は $S$ で重複度 2 以上で交わる（直線を $S + \lambda Q$ と表すと、$\tilde{F}$ とその偏微分が $S$ で $0$ なので $\tilde{F}(S + \lambda Q)$ は $\lambda^2$ で割り切れる）。もし $\tilde{P}_3 = S$ なら、$\tilde{P}_1, \tilde{P}_2 \neq S$ だから交点の列に $S$ は 1 回しか現れず矛盾する。よって $P_3 \in E_0(K)$ で、(i) より $P_1 + P_2 = -P_3 \in E_0(K)$。さらに $\tilde{P}_1 + \tilde{P}_2 + \tilde{P}_3 = \tilde{O}$ だから $\widetilde{P_1 + P_2} = -\tilde{P}_3 = \tilde{P}_1 + \tilde{P}_2$。

(iii) 核が $E_1(K)$ であることは定義である。

(iv) 全射性。アフィンの点 $(\alpha, \beta) \in \tilde{E}_{\mathrm{ns}}(k)$ をとり、$f(x, y) = y^2 + a_1xy + a_3y - x^3 - a_2x^2 - a_4x - a_6$ とおく。非特異なので $\tilde{f}_y(\alpha, \beta) \neq 0$ または $\tilde{f}_x(\alpha, \beta) \neq 0$。前者なら、$\alpha$ の持ち上げ $x_0 \in R$ をとり $g(y) = f(x_0, y)$ とおくと $\tilde{g}(\beta) = 0$, $\tilde{g}'(\beta) \neq 0$ なので、ヘンゼルの補題により $g(y_0) = 0$, $\tilde{y}_0 = \beta$ となる $y_0 \in R$ がある。$(x_0, y_0)$ が求める点である。後者なら $x$ と $y$ の役割を入れ替える。$\square$

系 6.14 $q = \lvert k \rvert$ とすると

$$[E_0(K) : E_1(K)] = \lvert \tilde{E}_{\mathrm{ns}}(k) \rvert = \begin{cases} \lvert \tilde{E}(k) \rvert & (\text{良い還元}) \\ q - 1 & (\text{分裂乗法的還元}) \\ q + 1 & (\text{非分裂乗法的還元}) \\ q & (\text{加法的還元}) \end{cases}$$

証明. 第2章の群の構造（定理 2.19・注意 2.20）からもわかるが、直接数える。悪い還元のとき、特異点 $S$ を通る $k$ 上の直線は $q + 1$ 本あり、各直線は $S$ で重複度 2 以上で交わるので、残りの交点は 1 個で $k$ 有理点である。$\tilde{F}(S + \lambda Q) = \lambda^2q_2(Q) + \lambda^3c(Q)$（$q_2$ は 2 次の部分）と書けるので、重複度が 3 になるのはその直線が $S$ での接線であるときに限る。接線でない直線の残りの交点は非特異点で、逆に非特異点 $Q$ は直線 $SQ$ の上にある。よって $\lvert \tilde{E}_{\mathrm{ns}}(k) \rvert = q + 1 - (k \text{ 上定義された接線の数})$ で、接線の数は分裂なら 2、非分裂なら 0、尖点なら 1 である。$\square$

例 6.15

1. 11a1, $p = 11$（分裂）. $\lvert \tilde{E}_{\mathrm{ns}}(\mathbb{F}_{11}) \rvert = 10$。$E(\mathbb{Q})$ の 4 つのねじれ点 $(5, 5)$, $(5, -6)$, $(16, 60)$, $(16, -61)$（第7章 定理 7.13 の後の表）は、$\bmod 11$ ですべて特異点 $(5, 5)$ に還元される。よって $P = (5, 5)$ について $P, 2P, 3P, 4P \notin E_0(\mathbb{Q}_{11})$, $5P = O$ で、$P$ の像は $E(\mathbb{Q}_{11})/E_0(\mathbb{Q}_{11})$ の位数 5 の元である。
2. 11a3 $\colon y^2 + y = x^3 - x^2$, $p = 11$（分裂、問題 6.2）. ねじれ点 $(0, 0), (0, -1), (1, 0), (1, -1)$ は非特異点 $(0, 0), (0, 10), (1, 0), (1, 10)$ に還元され、$\tilde{O}$ と合わせて位数 10 の群 $\tilde{E}_{\mathrm{ns}}(\mathbb{F}_{11})$ の位数 5 の部分群をなす。
3. $y^2 = x^3 - x$, $p = 2$（加法的）. $\tilde{E}_{\mathrm{ns}}(\mathbb{F}_2) = \lbrace \tilde{O}, (0, 0) \rbrace$。$(0, 0) \in E_0(\mathbb{Q}_2)$ だが、$(\pm 1, 0)$ は尖点 $(1, 0)$ に還元されるので $E_0(\mathbb{Q}_2)$ に入らない。