第2章群法則

この章の目標

• 直線と 3 次曲線が重複度込みでちょうど 3 点で交わることを証明し、弦と接線による加法を定義できる
• 加法公式と 2 倍公式を導き、有理点や有限体上の点で計算できる
• リーマン–ロッホの定理から $E \to \operatorname{Pic}^0(E)$ が全単射で加法と両立することを証明し、結合法則を導ける
• 位数 2・3 の点を特徴づけ、特異 3 次曲線の非特異点のなす群を決定できる
• 射影座標・ヤコビ座標による計算の考え方を説明できる

前提：第1章、14 第8章（因子、$\operatorname{Pic}^0$、リーマン–ロッホの定理）。2.1 節で 14 第1章 のヤコビアン判定法と 13 第7章 の離散付値環の特徴づけを使う。

3 次曲線と直線は 3 点で交わる。だから曲線上の 2 点 $P, Q$ を通る直線を引けば 3 点目が決まり、これを使って点どうしの「和」を定義できる。こうして得られる演算が群をなすこと、とくに結合法則が成り立つことは自明ではない。本章では、リーマン–ロッホの定理によって $E$ を因子類群 $\operatorname{Pic}^0(E)$ と同一視することで、これを見通しよく証明する。

群法則は具体的な公式で書けるので、有理点や有限体上の点で実際に計算できる。本章の後半では $y^2 = x^3 + 17$ の整数点、導手 37 の曲線の生成元の倍数、合同数の曲線、$\mathbb{F}_5$ 上の曲線の群表を計算し、特異 3 次曲線の非特異点が加法群・乗法群になることも示す。これは第6章の還元の理論（定理 6.13・系 6.14）で重要になる。本章でも $K$ は体、$\overline{K}$ はその代数閉包とする。

2.1 直線と 3 次曲線の交点

この節では $E$ を (1.1) の定める射影曲線（特異でもよい）とし、$F(X, Y, Z)$ を (1.2) の左辺から右辺を引いた斉次 3 次式とする。点 $[a] \in \mathbb{P}^2$（$a \in \overline{K}^3$）が非特異であることは $\nabla F(a) \neq 0$ と同値である（オイラーの等式 $X\partial F/\partial X + Y\partial F/\partial Y + Z\partial F/\partial Z = 3F$ により、アフィン座標での偏微分がすべて $0$ なら残りの偏微分も $0$ になる）。非特異点 $P = [a]$ の接線 $T_PE$ を直線 $\sum_i \frac{\partial F}{\partial X_i}(a)X_i = 0$ とする。オイラーの等式より $P \in T_PE$ である。

定義 2.1（交点の重複度）直線 $L$ と点 $P \in L$ について、$P = [a]$ と $L$ 上の別の点 $[b]$ をとり、$h(r, s) = F(ra + sb)$ とおく。補題 1.11 より $L \not\subset E$ なので、$h$ は $0$ でない $(r, s)$ の 3 次斉次式である。$h$ が $s^m$ で割り切れる最大の $m$ を $P$ における $L$ と $E$ の交点の重複度といい、$m_P(L, E)$ と書く（$P \notin E$ なら $0$）。

$b$ を $L$ 上の別の点 $\alpha a + \beta b$（$\beta \neq 0$）に替えると $h(r, s)$ は $h(r + \alpha s, \beta s)$ に、$a$ を定数倍すると $h(\gamma r, s)$ に変わるだけなので、$m_P(L, E)$ は選び方によらない。

命題 2.2 $L$ を直線とする。

1. $\sum_{P \in L \cap E} m_P(L, E) = 3$。
2. $L$ が $K$ 上定義され、$L \cap E$ の 3 点（重複度込み）のうち 2 点が $K$ 有理点なら、残りの 1 点も $K$ 有理点である。
3. $P \in L \cap E$ が非特異点なら、$m_P(L, E) \geq 2$ $\iff$ $L = T_PE$。$P$ が特異点なら、$P$ を通るすべての直線について $m_P(L, E) \geq 2$。

証明. (1) $L$ 上の 2 点 $[a], [b]$ を固定すると、$L$ の点は $[ra + sb]$（$[r : s] \in \mathbb{P}^1$）と一意に表される。$\overline{K}$ は代数閉なので、$h$ は 3 つの 1 次式の積 $\prod_{i=1}^{3}(s_ir - r_is)$ の定数倍に分解し、$L \cap E$ の点は $[r_ia + s_ib]$ で、その点を $a$ の代わりに選び直せば重複度は対応する 1 次因子の重複度に等しい。よって重複度の和は $\deg h = 3$。(2) $a, b \in K^3$ にとれば $h \in K[r, s]$。2 点に対応する 1 次因子は（定数倍を除いて）$K$ 係数なので、$h$ をそれらで割った残りの 1 次因子も $K$ 係数で、対応する点は $K$ 有理点である。(3) $P = [a]$ として展開すると

で $F(a) = 0$。よって $m_P \geq 2$ $\iff$ $\sum_i b_i\frac{\partial F}{\partial X_i}(a) = 0$ $\iff$ $[b] \in T_PE$ $\iff$ $L = T_PE$。$P$ が特異点なら $\nabla F(a) = 0$ なので、つねに $s^2 \mid h$。$\square$

$m_P(L, E) = 3$ となる非特異点 $P$（$L = T_PE$）を $E$ の変曲点 (inflection point, flex) という。たとえば無限遠直線 $Z = 0$ では $F(X, Y, 0) = -X^3$ なので $m_O = 3$ であり、$O$ は変曲点で $T_OE = \lbrace Z = 0 \rbrace$ である。

結合法則の証明では、直線との交わり方を $E$ 上の関数の零点の位数として読む必要がある。$E$ の非特異点 $P$ での局所環 $\mathcal{O}_{E,P}$ は離散付値環である（極大イデアル $\mathfrak{m}$ について $\dim \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 = 1$ となる 1 次元局所整域：14 第1章 の命題 1.29・系 1.32 と 13 第7章 の定理 7.5）。その付値を $\operatorname{ord}_P$ と書く。

補題 2.3（重複度と零点の位数）$P$ を $E$ の非特異点、$L\colon \ell = 0$ を直線、$M$ を $M(P) \neq 0$ となる 1 次形式とすると、$\operatorname{ord}_P(\ell/M) = m_P(L, E)$。

証明. $P \notin L$ なら $\ell/M$ は $P$ で単元で、両辺とも $0$ である。以下 $P \in L$ とする。$P$ がアフィン部分にあれば $M = Z$、$P = O$ なら $M = Y$ としてよい（$M/Z$, $M/Y$ は $P$ で単元）。対応するアフィン座標で $P$ を原点に移し、$f$ を $E$ の方程式、$\ell_0$ を $\ell/M$ の表す 1 次多項式、$R = \overline{K}[x, y]_{(x, y)}$ として、$A = R/(f, \ell_0)$ の $\overline{K}$ 上の次元を 2 通りに計算する。(i) $R/(f) = \mathcal{O}_{E,P}$ は離散付値環で、素元を $\pi$、$n = \operatorname{ord}_P(\ell_0)$ とすると $A \cong \mathcal{O}_{E,P}/(\pi^n)$。$\pi^i\mathcal{O}_{E,P}/\pi^{i+1}\mathcal{O}_{E,P} \cong \overline{K}$ だから $\dim A = n$。(ii) 座標の 1 次変換で $\ell_0 = y$ としてよい。$R/(y) \cong \overline{K}[x]_{(x)}$ で、$f$ の像 $f(x, 0)$ は $x^m \cdot (\text{単元})$、$m = m_P(L, E)$ である（$L$ を $x \mapsto (x, 0)$ と表したときの $f$ の零点の位数が定義 2.1 の $m$ に等しい）。よって $A \cong \overline{K}[x]_{(x)}/(x^m)$ で $\dim A = m$。$\square$

2.2 弦と接線による加法

以下 2.6 節まで $E/K$ は楕円曲線（$\Delta \neq 0$）とする。

定義 2.4（弦と接線による加法）$P, Q \in E$ に対し、$P \neq Q$ なら $P, Q$ を通る直線、$P = Q$ なら接線 $T_PE$ を $L$ とする。命題 2.2 より、$L$ と $E$ の交点は重複度込みで $P, Q$ ともう 1 点からなる。この 3 点目を $P \ast Q$ と書き、

$$P + Q := O \ast (P \ast Q)$$

と定める。また $-P := O \ast P$ とおく。

下の図は $E\colon y^2 = x^3 - x + 1$（$\Delta = -368$）での例である。左：$P = (-1, 1)$, $Q = (0, 1)$ を通る直線 $y = 1$ は $x^3 - x = 0$ の 3 点 $x = -1, 0, 1$ で $E$ と交わるので $P \ast Q = (1, 1)$。$O$ と $(1, 1)$ を通る直線は縦の直線 $x = 1$ で、3 点目は $(1, -1)$ だから $P + Q = (1, -1)$。右：$P = (1, 1)$ での接線の傾きは $(3x^2 - 1)/(2y) = 1$ で、接線 $y = x$ を代入すると $x^3 - x^2 - x + 1 = (x - 1)^2(x + 1)$ なので $P \ast P = (-1, -1)$、$2P = (-1, 1)$ である（図では $P \ast Q$, $P \ast P$ を $R$ と記した）。つまり「$P \ast Q$ を $x$ 軸について折り返したもの」が $P + Q$ である。

命題 2.5 $P = (x_0, y_0)$ について $-P = (x_0, -y_0 - a_1x_0 - a_3)$、$-O = O$ である。さらに、$P, Q \in E$ について

1. $P + O = P$, $P + (-P) = O$, $P + Q = Q + P$。
2. $P, Q \in E(K)$ ならば $P \ast Q$, $-P$, $P + Q \in E(K)$。

証明. $P$ と $O$ を通る直線は縦の直線 $x = x_0$ で、その上で $W(x_0, y) = y^2 + (a_1x_0 + a_3)y - (\cdots)$ の 2 根の和は $-(a_1x_0 + a_3)$ だから、3 点目は $(x_0, -y_0 - a_1x_0 - a_3)$。$O$ は変曲点で $T_OE$ と $E$ の交点は $O$ だけなので $O \ast O = O$、$-O = O$。(1) 縦の直線上の 3 点 $P, -P, O$ を考えると $P \ast O = -P$, $O \ast (-P) = P$ なので $P + O = O \ast (-P) = P$。$P \ast (-P) = O$（$P = -P$ のときは縦の直線が $P$ での接線になる）より $P + (-P) = O \ast O = O$。$P \ast Q = Q \ast P$ は定義から明らか。(2) $K$ 有理点を通る直線と $K$ 有理点での接線は $K$ 上定義されるので、命題 2.2(2) から従う。$\square$

$P + Q = O \ast (P \ast Q) = -(P \ast Q)$ であり、「一直線上の 3 点 $P, Q, R$（重複度込み）について $P + Q + R = O$」が成り立つことになる。単位元・逆元・可換性はこうして易しく示せるが、結合法則 $(P + Q) + R = P + (Q + R)$ は 2.4 節で示す。

2.3 加法公式

定理 2.6（加法公式）$P_1 = (x_1, y_1)$, $P_2 = (x_2, y_2) \in E$ とする。

1. $x_1 = x_2$ かつ $y_1 + y_2 + a_1x_2 + a_3 = 0$ ならば $P_1 + P_2 = O$。
2. そうでないとき

$$\lambda = \begin{cases} \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} & (x_1 \neq x_2) \\[2ex] \dfrac{3x_1^2 + 2a_2x_1 + a_4 - a_1y_1}{2y_1 + a_1x_1 + a_3} & (x_1 = x_2) \end{cases}, \qquad \nu = y_1 - \lambda x_1$$

とおくと、$P_1 + P_2 = (x_3, y_3)$、

$$x_3 = \lambda^2 + a_1\lambda - a_2 - x_1 - x_2, \qquad y_3 = -(\lambda + a_1)x_3 - \nu - a_3$$

3. 短い形 $y^2 = x^3 + Ax + B$ では $\lambda = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)$ または $(3x_1^2 + A)/(2y_1)$、$x_3 = \lambda^2 - x_1 - x_2$, $y_3 = \lambda(x_1 - x_3) - y_1$。
4. （2 倍公式）$2P \neq O$ のとき、$x = x(P)$ として

$$x(2P) = \frac{x^4 - b_4x^2 - 2b_6x - b_8}{4x^3 + b_2x^2 + 2b_4x + b_6}, \qquad \text{短い形では } \frac{x^4 - 2Ax^2 - 8Bx + A^2}{4(x^3 + Ax + B)}$$

証明. (1) 命題 2.5 より $P_2 = -P_1$。(2) $x_1 \neq x_2$ なら $y = \lambda x + \nu$ は $P_1, P_2$ を通る直線である。$x_1 = x_2$ で (1) でないときは $P_2 = P_1$（$x$ 座標が $x_1$ の点は $\pm P_1$ だけ）かつ $2y_1 + a_1x_1 + a_3 \neq 0$ で、(1.1) を微分すれば $\lambda$ は接線の傾きである。どちらの場合も $L\colon y = \lambda x + \nu$ は縦でないので $O$ を通らず、$L$ 上の交点の $x$ 座標は（重複度込みで）

の 3 根 $x_1, x_2, x_3$ である。根と係数の関係より $x_1 + x_2 + x_3 = \lambda^2 + a_1\lambda - a_2$。$P_1 \ast P_2 = (x_3, \lambda x_3 + \nu)$ で、命題 2.5 より $P_1 + P_2 = (x_3, -(\lambda x_3 + \nu) - a_1x_3 - a_3)$。(3) は $a_1 = a_2 = a_3 = 0$ の場合である。

(4) $\eta = 2y + a_1x + a_3$, $N = 3x^2 + 2a_2x + a_4 - a_1y$, $g(x) = 4x^3 + b_2x^2 + 2b_4x + b_6$ とおく。$2P \neq O$ より $\eta(P) \neq 0$ で、接線の傾きは $\lambda = N/\eta$ だから $x(2P) = \bigl(N^2 + a_1N\eta - (a_2 + 2x)\eta^2\bigr)/\eta^2$ である。展開すると $4N + 2a_1\eta = 12x^2 + 2b_2x + 2b_4 = g'(x)$ なので、(1.4) の $\eta^2 = g(x) + 4W(x, y)$ を使って

となる。$g'(x)^2 - 4(b_2 + 8x)g(x)$ を展開して $b_2b_6 - b_4^2 = 4b_8$（命題 1.4）を使うと $16(x^4 - b_4x^2 - 2b_6x - b_8)$ になる。$\mathbb{Z}[a_1, \dots, a_6, x, y]$ は整域なので $16$ を約してよく、整数係数の恒等式

を得る。これはどの標数でも成り立ち、$E$ 上では $W = 0$, $\eta^2 = g(x)$ なので主張の式になる。短い形では $b_2 = 0$, $b_4 = 2A$, $b_6 = 4B$, $b_8 = -A^2$ を代入すればよい。$\square$

例 2.7 図の例を公式で確かめる。$E\colon y^2 = x^3 - x + 1$ で $P = (-1, 1)$, $Q = (0, 1)$ なら $\lambda = 0$ で $x_3 = 0 + 1 - 0 = 1$, $y_3 = 0 - 1 = -1$、すなわち $P + Q = (1, -1)$。$P = (1, 1)$ なら $\lambda = (3 - 1)/2 = 1$, $x(2P) = 1 - 2 = -1$, $y(2P) = 1 \cdot (1 - (-1)) - 1 = 1$ で $2P = (-1, 1)$。2 倍公式でも $x(2P) = (1 + 2 - 8 + 1)/(4 \cdot 1) = -1$。実は $E(\mathbb{Q})$ は $G = (1, 1)$ で生成される無限巡回群で（Cremona の表の 92b1）、図の点は $(-1, 1) = 2G$, $(0, 1) = -3G$, $(1, -1) = -G$, $(-1, -1) = -2G$ である（PARI/GP の ellidentify, ellmul で確かめられる）。

$y^2 = x^3 + 17$ の $P_1 = (-2, 3)$, $P_2 = (-1, 4)$ では $\lambda = 1$, $x_3 = 1 + 2 + 1 = 4$, $y_3 = 1 \cdot (-2 - 4) - 3 = -9$ で、$P_1 + P_2 = (4, -9)$ である（19 第2章 の例 2.17 と同じ計算）。

2.4 結合法則

$E$ は種数 1 の非特異射影曲線である（定理 1.23(3)）。14 第8章 の記号で、$\operatorname{Div}^0(E)$ を次数 0 の因子の群、$\operatorname{Pic}^0(E)$ をそれを主因子 $\operatorname{div}(f)$ で割った群とし（14 第8章の定理 8.5）、線形同値を $\sim$ で表す。

命題 2.8（直線の因子）直線 $L\colon \ell = 0$ が無限遠直線でなければ、$E$ 上の関数 $\ell/Z$ について

$$\operatorname{div}(\ell/Z) = \sum_{P \in L \cap E} m_P(L, E)\ (P) - 3(O)$$

が成り立つ。特に $L \cap E = \lbrace P, Q, R \rbrace$（重複度込み）なら $\operatorname{div}(\ell/Z) = (P) + (Q) + (R) - 3(O)$。

証明. $P \neq O$ では $Z(P) \neq 0$ なので、補題 2.3 より $\operatorname{ord}_P(\ell/Z) = m_P(L, E)$（$P \notin L$ なら両辺 $0$）。$O$ では補題 2.3 を $M = Y$ で $L$ と無限遠直線 $L_\infty\colon Z = 0$ に使うと、$\operatorname{ord}_O(\ell/Z) = \operatorname{ord}_O(\ell/Y) - \operatorname{ord}_O(Z/Y) = m_O(L, E) - m_O(L_\infty, E) = m_O(L, E) - 3$。$\square$

命題 2.9（リーマン–ロッホの定理の帰結）

1. 任意の $D \in \operatorname{Div}^0(E)$ に対し、$D \sim (R) - (O)$ となる $R \in E$ がただ一つ存在する。
2. 写像 $\kappa\colon E \to \operatorname{Pic}^0(E)$, $P \mapsto [(P) - (O)]$ は全単射である。

証明. (1) 存在. $D + (O)$ は次数 1 で $1 > 2g - 2 = 0$ なので、リーマン–ロッホの定理（14 第8章の系 8.11(2)）より $\ell(D + (O)) = 1 + 1 - 1 = 1$。$0 \neq f \in L(D + (O))$ をとると $\operatorname{div}(f) + D + (O)$ は次数 1 の有効因子、すなわちある点 $R$ について $(R)$ に等しい。よって $D \sim (R) - (O)$。一意性. $(R) - (O) \sim (R') - (O)$ なら $(R) - (R') = \operatorname{div}(f)$ となる $f$ があり、$f \in L((R'))$。14 第8章の系 8.11(2) より $\ell((R')) = 1$ で、$L((R'))$ は定数だけからなるので $f$ は定数、$(R) = (R')$。(2) 単射は (1) の一意性、全射は (1) の存在である。$\square$

（これは 14 第8章の定理 8.13(1) と同じ内容である。）

定理 2.10（群法則）$P, Q \in E$ について $\kappa(P + Q) = \kappa(P) + \kappa(Q)$。したがって $(E(\overline{K}), +)$ は $O$ を単位元とするアーベル群で、$\kappa$ は群の同型 $E(\overline{K}) \cong \operatorname{Pic}^0(E)$ である。$E(K)$ はその部分群である。

証明. $L$ を定義 2.4 の直線、$R = P \ast Q$ とする。$R \neq O$ なら、$R$ と $O$ を通る直線 $L'\colon \ell' = 0$（縦の直線）の 3 点目は $O \ast R = P + Q$ である。命題 2.8 より

なので $\operatorname{div}(\ell/\ell') = (P) + (Q) - (P + Q) - (O)$、すなわち $(P + Q) - (O) \sim \bigl((P) - (O)\bigr) + \bigl((Q) - (O)\bigr)$。$R = O$ なら $P + Q = O \ast O = O$ で、$\operatorname{div}(\ell/Z) = (P) + (Q) - 2(O)$ が同じ関係を与える（$P = Q = O$ のときは関係は自明）。よって $\kappa(P + Q) = \kappa(P) + \kappa(Q)$。$\kappa$ は全単射なので、$E$ の演算 $+$ は群 $\operatorname{Pic}^0(E)$ の演算を写したものであり、結合法則を含む群の公理がすべて成り立つ。$E(K)$ は命題 2.5(2) より $+$ と $-$ で閉じ、$O$ を含むので部分群である。$\square$

系 2.11 因子 $D = \sum n_P(P)$ が主因子 $\iff$ $\deg D = 0$ かつ $E$ の群で $\sum [n_P]P = O$。

証明. 主因子の次数は $0$（14 第8章の定理 8.5）。$\deg D = 0$ なら $D = \sum n_P\bigl((P) - (O)\bigr)$ で、定理 2.10 より $D \sim (S) - (O)$, $S = \sum [n_P]P$。命題 2.9 の一意性より $(S) - (O) \sim 0 = (O) - (O)$ $\iff$ $S = O$。$\square$

たとえば $E\colon y^2 = x^3 - x$ では $\operatorname{div}(y) = (P_0) + (P_1) + (P_{-1}) - 3(O)$（$P_c = (c, 0)$）であり（14 第8章の例 8.6(2)）、系 2.11 から $P_0 + P_1 + P_{-1} = O$ がわかる。

注意 2.12（結合法則のほかの証明） (1) 直接計算. 定理 2.6 の公式で $(P + Q) + R$ と $P + (Q + R)$ を計算して比べる方法。3 点が一般の位置にあるとき、比べるべき式は座標の有理式の恒等式になり、計算機代数で確かめられる（たとえば $y^2 = x^3 + a_2x^2 + a_4x + a_6$ で 3 点の座標を不定元とし、$a_2, a_4, a_6$ を 3 点が曲線上にある条件から解けば、sympy でも数秒で確かめられる）。しかし $P = Q$ や $P + Q = R$ などの特別な場合を別に扱う必要があり、すべてを手で確かめるのは大変である。(2) 9 点定理（ケイリー–バカラック、概略）。「共通成分のない 2 つの 3 次曲線 $C_1, C_2$ がちょうど 9 点で交わるとき、そのうち 8 点を通る 3 次曲線は 9 点目も通る」という定理を使う。$P, Q, -(P + Q)$ を通る直線 $L_1$、$P + Q, R, -((P + Q) + R)$ を通る $L_2$、$-(Q + R), O, Q + R$ を通る $L_3$ と、$-(P + Q), O, P + Q$ を通る $M_1$、$Q, R, -(Q + R)$ を通る $M_2$、$P, Q + R, -(P + (Q + R))$ を通る $M_3$ をとる。$C_1 = L_1L_2L_3$ と $C_2 = M_1M_2M_3$ は 8 点 $P, Q, R, O, \pm(P + Q), \pm(Q + R)$ と $L_2 \cap M_3$ で交わり、$E$ は前の 8 点を通るので $L_2 \cap M_3$ も通る。これは $L_2$ と $E$ の 3 点目 $-((P + Q) + R)$ であり、$M_3$ と $E$ の 3 点目 $-(P + (Q + R))$ でもある。9 点が相異なる一般の場合にはこれで証明が終わり、残りの場合は重複度を込めた 9 点定理か極限の議論が必要になる（詳細は省略する）。

2.5 位数 2 の点と位数 3 の点

$m \geq 1$ について $[m]P = P + \cdots + P$（$m$ 個）と書き、$[m]P = O$ となる $P \in E(\overline{K})$ の全体を $E[m]$ とする（$mP$ とも書く）。

命題 2.13 $P \in E$, $P \neq O$ とする。

1. $2P = O$ $\iff$ $P = -P$ $\iff$ $2y(P) + a_1x(P) + a_3 = 0$（$P$ での接線が縦）。$\operatorname{char} K \neq 2$ なら、$E[2]$ は $O$ と 3 点 $(e, -(a_1e + a_3)/2)$（$e$ は $4x^3 + b_2x^2 + 2b_4x + b_6$ の根）からなり、$E[2] \cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$。
2. $3P = O$ $\iff$ $P$ は変曲点である。
3. $\operatorname{char} K \neq 2, 3$, $E\colon y^2 = f(x) = x^3 + Ax + B$ とすると、$3P = O$ $\iff$ $\psi_3(x(P)) = 0$、ただし $\psi_3(x) = 3x^4 + 6Ax^2 + 12Bx - A^2$。さらに $E[3] \cong (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^2$。

証明. (1) 前半は命題 2.5 の $-P$ の式による。$\operatorname{char} K \neq 2$ なら $2y + a_1x + a_3 = 0$ と (1.4) より、$E[2] \setminus \lbrace O \rbrace$ の点の $x$ 座標は $g(x) = 4x^3 + b_2x^2 + 2b_4x + b_6$ の根である。$\Delta \neq 0$ より $g$ は相異なる 3 根をもつ（命題 1.8(1) の形 $y^2 = g(x)/4$ に (1.5) を使う）ので $\lvert E[2] \rvert = 4$。どの元も位数 1 か 2 の位数 4 の群は $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$ である。