測度と積分（ルベーグ積分）

科目の概要

微分積分学で学んだリーマン積分は、定義域を細かく分割して長方形の面積の和で近似する積分である。連続関数を扱う限りこれで十分だが、解析学では関数列の極限・無限級数・パラメータを含む積分・フーリエ級数など、極限操作が絶えず現れる。そこでリーマン積分には次のような限界が露呈する。

極限と積分の交換に一様収束という強い仮定が要る。可積分関数の単調増加列の極限でさえ可積分とは限らない（ディリクレ関数）。
可積分関数の空間が $L^1$ 距離に関して完備でない。関数空間を「完備な空間」として扱う関数解析の土台にならない。
重積分の順序交換や、無限回のコイン投げのような確率論の対象を扱う枠組みがない。

ルベーグ（H. Lebesgue, 1902）は発想を逆転させ、値域を分割して「 $f$ の値がある範囲に入る点の集合の大きさ」を測ることで積分を定義した。そのためには複雑な集合にも「大きさ」を与える必要があり、それを公理化したものが σ-加法族と測度である。この抽象化の見返りは大きく、

単調収束定理・優収束定理により、極限と積分の交換がほとんど仮定なしに（優関数さえ見つかれば）正当化できる。
$L^p$ 空間が完備なノルム空間（バナッハ空間）になる。 $L^2$ はヒルベルト空間であり、フーリエ解析・量子力学・偏微分方程式の舞台となる。
フビニの定理で重積分の順序交換が、ラドン–ニコディムの定理で「測度の微分（密度）」が、リースの表現定理で連続関数の空間の双対が統一的に扱える。
長さ・面積・体積、級数（数え上げ測度）、確率が同じ一つの理論の特殊例になる。

測度論は関数解析・確率論・偏微分方程式・調和解析・エルゴード理論・幾何学的測度論・表現論（ハール測度）の共通の基礎であり、修士課程の解析系の科目はすべてこの科目の言葉で書かれている。

前提知識

微分積分：実数の連続性と上限（01-calculus 第1章）、上極限・下極限と級数（01-calculus 第2章）、リーマン積分と広義積分（01-calculus 第5章）、一様収束（01-calculus 第6章）、重積分と変数変換（01-calculus 第9章）
位相：距離空間（03-topology 第1章）、開基と連続写像（03-topology 第2章）、ウリゾーンの補題とティーツェの拡張定理（03-topology 第4章）、コンパクト性と局所コンパクト空間（03-topology 第5章）、完備距離空間（03-topology 第7章）
集合論：可算・非可算と濃度（00-foundations 第5章）、選択公理（00-foundations 第6章）
線形代数：行列式と基本変形（02-linear-algebra 第4章）。第6章の別証明でヒルベルト空間の初歩（10-functional-analysis 第2章）に触れるが、本文の証明はそれに依存しない。

この科目の記法

NOTATION.md に加えて、この科目では次の記法を使う。

記号	意味
$(X, \mathcal{M}, \mu)$	測度空間（集合・σ-加法族・測度）
$\sigma(\mathcal{E})$	集合族 $\mathcal{E}$ が生成する σ-加法族
$\mathcal{B}(X)$	位相空間 $X$ のボレル集合族
$\mathcal{L}(\mathbb{R}^n)$	ルベーグ可測集合全体
$\lambda$ , $\lambda^n$	ルベーグ測度（次元を明示するときは $\lambda^n$ ）
$\overline{\mathbb{R}}$	拡大実数 $[-\infty, \infty]$
$\mathbf{1}_A$	集合 $A$ の定義関数
$f^{+}$ , $f^{-}$	正部分 $\max\lbrace f, 0 \rbrace$ , 負部分 $\max\lbrace -f, 0 \rbrace$
$\int_X f\ d\mu$ , $\int_E f\ d\mu$	積分, $E$ 上の積分 $\int_X f \mathbf{1}_E\ d\mu$
$\lVert f \rVert_p$	$L^p$ ノルム
$\mu$ -a.e.	$\mu$ -ほとんど至るところ
$A_n \uparrow A$ , $f_n \uparrow f$	単調増加して $A$ （和集合）, $f$ （各点極限）に収束
$A \triangle B$	対称差 $(A \setminus B) \cup (B \setminus A)$
$\nu \ll \mu$ , $\nu \perp \mu$	絶対連続, 互いに特異
$d\nu/d\mu$	ラドン–ニコディム導関数
$f \ast g$	畳み込み
$B(x, r)$	中心 $x$ ・半径 $r$ の開球

$[0, \infty]$ での演算は $a + \infty = \infty$ 、 $0 \cdot \infty = 0$ と約束する。
$\lvert A \rvert$ は集合の元の個数（濃度）を表し、ルベーグ測度には使わない。

到達目標

[ ] リーマン積分の限界を具体例で説明し、σ-加法族と測度という枠組みが必要な理由を述べられる
[ ] 測度の基本性質（単調性・劣加法性・上下からの連続性）を証明し、π-λ 定理を用いて測度の一意性を示せる
[ ] カラテオドリの定理とホップの拡張定理によってルベーグ測度・ルベーグ–スティルチェス測度を構成できる
[ ] ルベーグ測度の正則性・平行移動不変性・線形変換による変換則を証明し、ヴィタリの非可測集合とカントール集合を説明できる
[ ] 単調収束定理・ファトゥの補題・優収束定理を証明し、優関数を見つけて極限と積分の交換を正当化できる
[ ] 収束定理が破綻する典型例（逃げる質量・集中する山・広がる山・動く山）を挙げ、どの仮定が破れているか説明できる
[ ] リーマン可積分性に関するルベーグの判定条件を証明できる
[ ] ヘルダー・ミンコフスキーの不等式を証明し、 $L^p$ 空間の完備性と稠密な部分空間を扱える
[ ] 概収束・測度収束・ $L^p$ 収束の関係を証明し、反例を構成できる。エゴロフ・ルジンの定理、ヴィタリの収束定理を使える
[ ] フビニ–トネリの定理を正しい仮定のもとで使い、畳み込みと近似単位元を扱える
[ ] ハーン分解とラドン–ニコディムの定理を証明し、 $L^p$ の双対空間を決定できる
[ ] ルベーグの微分定理と、絶対連続関数に対する微分積分学の基本定理を証明できる
[ ] リース–マルコフ–角谷の表現定理を証明し、測度の弱収束・漠収束を扱える

章立て

σ-加法族と測度 — リーマン積分の限界から出発し、σ-加法族・ボレル集合族・測度・完備化を導入する。π-λ 定理によって測度の一意性を示す。
ルベーグ測度の構成 — 外測度とカラテオドリの定理、ホップの拡張定理によるルベーグ測度の構成。正則性・不変性、ヴィタリの非可測集合、カントール集合、ルベーグ–スティルチェス測度。
可測関数と積分・収束定理 — 可測関数と単関数近似、積分の定義、単調収束定理・ファトゥの補題・優収束定理とその使い方、パラメータを含む積分、リーマン積分との関係。
$L^p$ 空間 — ヘルダー・ミンコフスキーの不等式、リース–フィッシャーの定理、稠密性、収束の諸概念と反例、エゴロフ・ルジンの定理、一様可積分性とヴィタリの収束定理。
直積測度とフビニの定理 — 直積測度の構成、フビニ–トネリの定理と仮定が必要な反例、畳み込みと近似単位元、変数変換公式、極座標による積分。
符号付き測度とラドン–ニコディムの定理 — ハーン分解とジョルダン分解、絶対連続性、ルベーグ分解とラドン–ニコディムの定理、 $L^p$ の双対、条件付き期待値への予告。
微分定理と絶対連続関数 — ハーディ–リトルウッドの極大関数、ルベーグの微分定理、有界変動関数、絶対連続関数と微分積分学の基本定理、カントール関数。
リースの表現定理とラドン測度 — 局所コンパクト空間上の正値線形汎関数を測度で表す。ラドン測度と正則性、 $C_0(X)$ の双対、測度の弱収束・漠収束。

学習時間の目安と進め方

学部 3 年の通年講義（90 分 × 25〜30 回）に相当する。1 章あたり演習を含めて 12〜20 時間を見込むとよい。
章の依存関係はおおむね「第1章 → 第2章 → 第3章 → 第4章」が幹で、第5章・第6章は第4章まで、第7章は第6章まで、第8章は第4章までと位相空間論を使う。
第2章の構成の細部（カラテオドリの定理の証明、直方体の体積の加法性）は、初読では結果を認めて第3章に進んでもよい。ただし「すべての集合に長さを与えることはできない」（ヴィタリの定理）という事実と、それが σ-加法族を導入する理由であることは必ず理解してほしい。
第3章がこの科目の核心である。収束定理は証明よりも使い方が重要で、「優関数をどう見つけるか」を多くの例で練習すること。
定理を読んだら、必ず次の典型的な反例と照らし合わせて、どの仮定が効いているかを確かめること。
- 逃げる質量 $\mathbf{1}_{[n, n+1]}$ （無限遠へ逃げる）
- 集中する山 $n \mathbf{1}_{(0, 1/n)}$ （一点に集中する）
- 広がる山 $\frac{1}{n} \mathbf{1}_{[0, n]}$ （薄く広がる）
- 動く山（タイプライター列）： $[0,1]$ 上を幅を狭めながら往復する定義関数の列
ルベーグ積分は抽象的に見えるが、計算の道具としてはリーマン積分より強力で便利である。各章の具体的な積分計算（ $\int_0^\infty \frac{x}{e^x - 1}\ dx = \frac{\pi^2}{6}$ 、ガウス積分、ガンマ関数など）も手を動かして確かめること。

参考文献

日本語

伊藤清三『ルベーグ積分入門』（裳華房）— 日本語の定番の教科書。抽象的な測度空間の理論を、有限加法的測度の拡張（ホップの拡張定理）から厳密に展開する。第1〜6章の参照先として最適。
吉田洋一『ルベグ積分入門』（筑摩書房）— 長く読み継がれてきた入門書。ルベーグ積分の考え方と基本事項を丁寧に説明している。
志賀徳造『ルベーグ積分から確率論』（共立出版）— ルベーグ積分の基礎から確率論への応用までを一冊で扱う。確率論（11-probability）への橋渡しに向く。
谷島賢二『ルベーグ積分と関数解析』（朝倉書店）— ルベーグ積分に続けて関数解析の基礎まで扱う。 $L^p$ 空間やフーリエ解析など、関数解析への接続を意識して学びたい読者に向く。
新井仁之『ルベーグ積分講義』（日本評論社）— 講義形式で丁寧に書かれた教科書。ルベーグ測度の構成や具体例が詳しい。

英語

W. Rudin, Real and Complex Analysis (McGraw-Hill) — リースの表現定理から測度を構成する流儀（第8章の内容）で書かれた古典。微分定理・ $L^p$ 空間・複素解析まで簡潔かつ高い水準で扱う。
G. B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (Wiley) — 抽象的な測度論、符号付き測度とラドン–ニコディムの定理、微分定理、ラドン測度を標準的な形で扱う大学院向けの教科書。本科目全体の参照先として適している。
E. M. Stein, R. Shakarchi, Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces (Princeton University Press) — $\mathbb{R}^d$ のルベーグ測度から始め、微分定理やヒルベルト空間へ進む。動機づけと具体例が豊富。

次に学ぶもの

関数解析： $L^p$ 空間は代表的なバナッハ空間であり、 $L^2$ はヒルベルト空間である（10-functional-analysis 第1章、第2章）。双対空間と弱 $\ast$ 位相（10-functional-analysis 第4章）は第6章・第8章の内容と直結する。
確率論：確率空間は全測度 1 の測度空間であり、期待値はルベーグ積分である（11-probability 第1章）。条件付き期待値はラドン–ニコディムの定理で定義される（11-probability 第5章）。
偏微分方程式論：超関数（18-pde 第1章）、フーリエ変換（18-pde 第2章）、ソボレフ空間（18-pde 第3章）はすべて $L^p$ 空間と収束定理の上に立つ。
表現論：コンパクト群上の不変積分（ハール測度）は第8章のリースの表現定理から構成される（16-lie-groups-representations 第6章）。
総合演習：20-problems 第5章（ルベーグ積分と関数解析）。

章の一覧