代数幾何学

概要

代数幾何学は、多項式の零点として定義される図形――平面曲線 $y^2 = x^3 - x$、二次曲面 $xw = yz$、ねじれ 3 次曲線 $(t, t^2, t^3)$ など――を、多項式環とそのイデアルの言葉で調べる分野である。図形の性質（既約性・次元・特異点・交わり）が環の性質（素イデアル・クルル次元・正則局所環・剰余環の長さ）に翻訳され、逆に環論の定理が図形についての定理になる。この「図形と環の辞書」が代数幾何学の出発点である。

20 世紀半ば、グロタンディークはこの辞書をすべての可換環に広げ、スキーム (scheme) の理論を作った。スキームを使うと、交わりの重複度を記憶する冪零元、既約な図形全体を代表する生成点、そして $\operatorname{Spec} \mathbb{Z}$ のような数論的対象までを、一つの幾何学の中で扱える。この科目では古典的な図形（代数多様体）から出発し、層・スキーム・準連接層・層のコホモロジーを順に導入して、最後に代数曲線のリーマン–ロッホの定理を層のコホモロジーを使って証明する。

学び方の基本方針：抽象的な定義に出会ったら、必ず次の例で確かめること。平面曲線（直線・円錐曲線・尖点 $y^2 = x^3$・結節点 $y^2 = x^2(x+1)$・楕円曲線）、二次曲面、ねじれ 3 次曲線、射影空間 $\mathbb{P}^n$、そしてスキームの例として $\operatorname{Spec} \mathbb{Z}$、二重点 $\operatorname{Spec} k[x]/(x^2)$、原点が 2 つある直線。本科目の定理のほとんどは、これらの例で意味が見えるように述べてある。

前提知識

• 13-commutative-algebra 可換環論：全体を通して使う。特に第2章 局所化と素スペクトル（第4章のアフィンスキーム）、第3章 ネーター環、第4章 整拡大と零点定理（第1章）、第5章 次元論、第7章 離散付値環とデデキント環（第6章・第8章の因子）
• 12-category-homological-algebra 圏論とホモロジー代数：圏同値・米田の補題・随伴関手（第1章・第3章・第4章）、アーベル圏と導来関手（第7章）
• 03-topology 集合と位相：位相空間・連続写像・コンパクト性。ザリスキー位相は非ハウスドルフなので、位相の基本概念を定義に戻って使えることが大切である
• 04-algebra 代数学：環・イデアル・一意分解整域・体の拡大
• （望ましい）09-algebraic-topology 位相幾何学：コホモロジーとポアンカレ双対性。層のコホモロジー（第7章）・セール双対性の直観を与える
• （望ましい）05-complex-analysis 複素関数論：正則関数の層・指数関数列（第3章）の例で使う

到達目標

• [ ] 零点定理を使ってイデアルと代数的集合の対応を説明し、具体的な代数的集合を既約成分に分解できる
• [ ] アフィン多様体の圏と座標環の圏の反変同値を証明し、ヤコビアン判定法で特異点を求められる
• [ ] 射影多様体の射影閉包・セグレ埋め込み・ヴェロネーゼ埋め込みを計算し、ヒルベルト多項式から次数と種数を読み取れる
• [ ] 層・茎・層化・順像と逆像を定義し、層の射の単射・全射を茎で判定できる。大域切断関手が右完全でない例を挙げられる
• [ ] アフィンスキームの構造層を構成し、$\mathcal{O}(D(f)) = A_f$ と $\operatorname{Hom}(X, \operatorname{Spec} A) = \operatorname{Hom}(A, \mathcal{O}_X(X))$ を証明できる
• [ ] 冪零元・生成点・$\operatorname{Spec} \mathbb{Z}$ 上のスキームの例を使って、スキームが必要な理由を説明できる
• [ ] ファイバー積とファイバーを計算し（例：$\operatorname{Spec} \mathbb{Z}[i] \to \operatorname{Spec} \mathbb{Z}$）、分離的射・固有射・平坦射の意味を例で説明できる
• [ ] 準連接層と加群の対応を理解し、$\mathbb{P}^n$ 上の $\mathcal{O}(n)$、因子類群 $\operatorname{Cl}(\mathbb{P}^n) \cong \mathbb{Z}$、二次錐の因子類群を計算できる
• [ ] チェック複体を使って $\mathbb{P}^n$ 上の $\mathcal{O}(m)$ のコホモロジーを計算し、平面曲線の種数 $(d-1)(d-2)/2$ を導ける
• [ ] リーマン–ロッホの定理をセール双対性から証明し、種数 0 の曲線が $\mathbb{P}^1$ であることや楕円曲線の群構造の構成に応用できる
• [ ] フルヴィッツの公式を使って曲線の種数を計算できる
• [ ] 交点理論・極小モデル理論・モジュライ・ヴェイユ予想・ホッジ理論・数論幾何が何を問題にしているかを説明できる

章立て

1. 第1章 アフィン代数多様体 代数的集合とイデアル、ザリスキー位相と既約分解、零点定理とイデアル–多様体対応、座標環と正則関数、射と座標環の反変同値、次元、接空間とヤコビアン判定法。
2. 第2章 射影多様体 射影空間と斉次座標、射影的零点定理、射影閉包、射影多様体の射、セグレ埋め込み・ヴェロネーゼ埋め込み、二次曲面上の直線、ヒルベルト多項式と次数、ベズーの定理、完備性、グラスマン多様体。
3. 第3章 層 前層と層、茎と芽、層の射の単射・全射の茎による判定、層化、層の完全列と指数関数列、順像・逆像と随伴、局所環付き空間としての多様体。
4. 第4章 スキーム なぜスキームが必要か、アフィンスキームの構造層、スキームの定義、$\operatorname{Spec}$ の関手性、$\operatorname{Spec} \mathbb{Z}$・二重点・生成点、貼り合わせ、$\operatorname{Proj}$、多様体からスキームへ、$T$ 値点。
5. 第5章 スキームの性質と射 被約・整・ネーター、閉部分スキーム、ファイバー積とファイバー、有限型・有限射、分離的射、固有射と付値判定法、次元、平坦射。
6. 第6章 準連接層・直線束・因子 $\mathcal{O}_X$-加群と $\widetilde{M}$、準連接層と連接層、局所自由層、ピカール群、$\mathcal{O}(n)$、ヴェイユ因子とカルティエ因子、射影空間への射、豊富な直線束、微分形式の層と標準層。
7. 第7章 層のコホモロジー 導来関手としてのコホモロジー、脆弱層、チェック・コホモロジー、セールの消滅定理、$\mathbb{P}^n$ 上の $\mathcal{O}(m)$ のコホモロジー、有限性と消滅定理、オイラー標数とヒルベルト多項式、セール双対性。
8. 第8章 代数曲線とリーマン–ロッホの定理 非特異射影曲線と関数体、因子の次数、種数、リーマン–ロッホの定理、種数 0・種数 1 の曲線、フルヴィッツの公式、超楕円曲線と標準曲線、平面曲線の種数公式。
9. 第9章 さらに先へ 曲面の交点理論、極小モデル理論、曲線のモジュライ、合同ゼータ関数とヴェイユ予想、ホッジ理論、数論幾何への展望、学習ロードマップと文献案内。

学習時間の目安と進め方

• 1 章あたり 15〜20 時間（本文の精読 8〜12 時間、演習 6〜8 時間）、全体で 140〜180 時間程度を想定している。大学院の講義なら修士 1 年の通年 2 科目分（古典的多様体と層で半期、スキームとコホモロジー・曲線で半期）に相当する。
• 章の依存関係はおおよそ次のとおりである。
  • 第1章 → 第2章（古典的な代数多様体）
  • 第3章は第1章と並行して読める（層の一般論）。第4章以降はすべて第3章を使う
  • 第4章 → 第5章 → 第6章 → 第7章 → 第8章（スキーム論の流れ）
  • 第9章はサーベイであり、各節は第6章〜第8章のどこかと対応している
• 第4章以降で抽象度が急に上がる。新しい定義に出会うたびに、「$\operatorname{Spec}$ of 多項式環（古典的な多様体）」「$\operatorname{Spec} \mathbb{Z}$（数論）」「冪零元をもつ環（二重点）」の 3 種類の例で確かめること。
• 第7章・第8章の計算（$\mathbb{P}^n$ のコホモロジー、平面曲線の種数、リーマン–ロッホの応用）は、手を動かして表を作ると定着する。
• 演習問題は ★ をすべて解いてから ★★ に進むとよい。★★ には大学院入試の基本レベルの問題が含まれる。

参考文献

• R. Hartshorne, Algebraic Geometry (Springer) 標準的な教科書。第 I 章が古典的な多様体、第 II 章がスキーム、第 III 章がコホモロジー、第 IV 章が曲線で、本科目の第1章〜第8章とほぼ対応する。演習問題が本文の一部をなしている。
• 上野健爾『代数幾何』（岩波書店） スキーム論とコホモロジーを日本語で丁寧に解説した本。第4章〜第7章の参考書として適する。
• 川又雄二郎『射影空間の幾何学』（朝倉書店） 射影空間とその部分多様体を具体的に扱う。第2章の射影幾何・二次曲面・グラスマン多様体の理解を深めるのに向く。
• 桂利行『代数幾何入門』（共立出版） 代数多様体から曲線論までを見通しよく解説した入門書。第1章・第2章・第8章と並行して読める。
• D. Mumford, The Red Book of Varieties and Schemes (Springer) 古典的な多様体からスキームへの移行を、幾何的な直観を重視して解説する。$\operatorname{Spec} \mathbb{Z}[x]$ の絵などは第4章の理解に役立つ。
• R. Vakil, The Rising Sea: Foundations of Algebraic Geometry スキーム論を例と演習を中心に網羅的に解説した大部の本。第3章〜第7章の副読本として最適である。
• U. Görtz, T. Wedhorn, Algebraic Geometry I (Springer) スキーム論の基礎を正確かつ詳細に扱う。関手的な見方（$T$ 値点）やファイバー積の構成を確認するのに向く。
• Q. Liu, Algebraic Geometry and Arithmetic Curves (Oxford University Press) 数論的な対象（$\operatorname{Spec} \mathbb{Z}$ 上のスキーム、算術曲面）を重視したスキーム論の教科書。第5章の例や第9章の数論幾何への入口になる。
• I. R. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry 1, 2 (Springer) 第 1 巻は古典的な多様体の幾何を豊富な例とともに、第 2 巻はスキームと複素多様体を扱う。第1章・第2章の副読本として適する。
• W. Fulton, Algebraic Curves 平面代数曲線の入門書。交点数・ベズーの定理・リーマン–ロッホの定理を初等的に扱い、第2章・第8章の具体的な計算の参考になる。

次に学ぶもの

• 15-algebraic-number-theory 代数的整数論：デデキント環 $\mathcal{O}_K$ の $\operatorname{Spec}$ は「数論的な曲線」であり、素イデアル分解は第5章のファイバーの計算そのものである。
• 19-riemann-surfaces リーマン面と保型形式：複素数体上の非特異射影曲線はコンパクトリーマン面であり、第8章のリーマン–ロッホの定理を解析的に見直せる。
• 17-riemannian-geometry 第7章 ホッジ理論と大域解析：第9章で触れるホッジ分解の解析的な基礎。
• 16-lie-groups-representations リー群と表現論：旗多様体・グラスマン多様体は表現論の重要な舞台である。
• 20-problems 第8章 修士レベルの総合演習：本科目の内容を問題演習で総復習する。