リー群と表現論

科目の概要

表現論は、群やリー環を線形変換として実現し、線形代数の道具で調べる理論である。対称性をもつ対象――多項式、関数空間、微分方程式の解空間、量子力学の状態空間――を「対称性の既約な単位」に分解するのがその目的であり、フーリエ級数（円周群 $S^1$ の表現論）はその最も古い例である。

この科目は二つの流れを合流させる。

	有限群・コンパクト群	リー環（半単純）
完全可約性	群上の平均（マシュケ）、ハール測度	カシミール元（ワイル）
既約表現の決定	指標と直交関係	最高ウェイトとルート系
典型例	$\mathfrak{S}_3$ , $\mathfrak{S}_4$ , $\mathfrak{A}_4$ , $D_4$ , $Q_8$	$\mathfrak{sl}_2$ , $\mathfrak{sl}_3$
指標の公式	指標表	ワイルの指標公式

第1章では有限群の指標理論を完全に展開し、代表的な群の指標表を計算する。第2章でリー群とリー環の対応（指数写像）を行列群に即して学び、第3〜5章でリー環の構造論・ルート系による分類・最高ウェイト理論を展開する。第6章では再び群に戻り、コンパクトリー群の表現論（ピーター–ワイルの定理）によって二つの流れを統一する。全体を通じて $\mathfrak{sl}_2$ を徹底的に扱う。 $\mathfrak{sl}_2$ の表現論は、ルート系の性質の証明（第4章）、ワイル群の対称性（第5章）、 $SU(2)$ と $SO(3)$ の表現と球面調和関数（第6章）のすべての基礎になる。

表現論は、数論（ガロア表現・保型表現）、幾何学（等質空間・特性類）、解析学（非可換調和解析）、数理物理学（量子力学の角運動量・素粒子の分類）の共通言語である。

前提知識

代数学：群・共役類・群の作用・交換子群・可解群（04-algebra 第2章〜第4章）、加群（04-algebra 第7章）
線形代数：固有値と対角化・ジョルダン標準形（02-linear-algebra 第5章・第6章）、ユニタリ行列とスペクトル定理（第7章）、テンソル積・対称積・外積（第9章）
多様体：多様体・接空間・ベクトル場とそのブラケット（07-manifolds 第2章〜第4章）、多様体上の積分（第6章）
位相：コンパクト性・連結性（03-topology 第5章・第6章）、基本群と被覆空間（09-algebraic-topology 第1章・第3章）
第6章では、コンパクト作用素のスペクトル定理（10-functional-analysis 第5章）、ラドン測度（06-measure-integration 第8章）、フーリエ級数（08-differential-equations 第6章）を使う。

この科目の記法

NOTATION.md に加えて、この科目では次の記法を使う。

記号	意味
$(\rho, V)$ , $(\pi, V)$	表現（準同型 $\rho\colon G \to \operatorname{GL}(V)$ と表現空間）
$\operatorname{Hom}_G(V, W)$ , $V^G$	$G$ -線形写像の全体、不変ベクトルの全体
$\chi_V$	表現 $V$ の指標 $\chi_V(g) = \operatorname{tr}\rho(g)$
$\langle \varphi, \psi \rangle_G$	類関数の内積 $\frac{1}{\lvert G \rvert}\sum_g \varphi(g)\overline{\psi(g)}$ （第 1 変数について線形）
$\operatorname{Ind}_H^G$ , $\operatorname{Res}_H^G$	誘導表現、制限
$D_n$	位数 $2n$ の二面体群（ $D_4$ は正方形の対称性の群）
$\mathfrak{g} = \operatorname{Lie}(G)$	行列リー群 $G$ のリー環
$L$	抽象的なリー環（第3〜5章）
$[x, y]$ , $\operatorname{ad}_x$ , $\operatorname{Ad}_g$	ブラケット、随伴表現 $\operatorname{ad}_x(y) = [x, y]$ 、 $\operatorname{Ad}_g(X) = gXg^{-1}$
$\kappa$	キリング形式 $\kappa(x, y) = \operatorname{tr}(\operatorname{ad}_x\operatorname{ad}_y)$
$E, H, F$	$\mathfrak{sl}_2$ の標準基底（ $[H, E] = 2E$ , $[H, F] = -2F$ , $[E, F] = H$ ）
$V(m)$	$\mathfrak{sl}_2$ の $m + 1$ 次元既約表現
$\mathfrak{h}$ , $\Phi$ , $\Phi^+$ , $\Delta$	カルタン部分環、ルート系、正ルート、単純ルート系
$\alpha^\vee$ , $\langle \lambda, \alpha^\vee \rangle$	コルート $2\alpha/(\alpha, \alpha)$ 、 $2(\lambda, \alpha)/(\alpha, \alpha)$
$W$	ワイル群
$\omega_i$ , $\rho$	基本ウェイト、正ルートの和の半分
$\Lambda$ , $\Lambda^+$	ウェイト格子、支配的整ウェイトの全体
$M(\lambda)$ , $L(\lambda)$	ヴェルマ加群、最高ウェイト $\lambda$ の既約加群
$\widehat{G}$	コンパクト群 $G$ の既約ユニタリ表現の同値類の全体

到達目標

[ ] マシュケの定理・シューアの補題・指標の直交関係を、仮定（標数・代数閉性）に注意して証明できる
[ ] $\mathfrak{S}_3$ , $\mathfrak{S}_4$ , $\mathfrak{A}_4$ , $D_4$ , $Q_8$ の指標表を作り、行と列の直交関係で検算できる
[ ] 既約表現の個数が共役類の個数に等しいこと、次数が群の位数を割ることを証明できる
[ ] 誘導表現の指標を計算し、フロベニウスの相互律を使ってテンソル積や誘導表現を分解できる
[ ] 行列の指数写像と 1 径数部分群を扱い、古典群のリー環と次元を計算できる
[ ] $SU(2) \to SO(3)$ が二重被覆であることを証明し、単連結性と準同型の持ち上げの関係を説明できる
[ ] エンゲルの定理・リーの定理を証明し、キリング形式で半単純性を判定できる
[ ] カシミール元を用いてワイルの完全可約性定理を証明できる
[ ] $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$ の有限次元既約表現を分類し、それを使ってルート空間分解の性質を証明できる
[ ] ランク 2 のルート系・カルタン行列・ディンキン図形を書き、古典型リー環のルート系を行列で計算できる
[ ] ヴェルマ加群を構成し、有限次元既約表現と支配的整ウェイトの対応を説明できる
[ ] ワイルの次元公式で $\mathfrak{sl}_3$ の表現の次元を計算し、テンソル積を分解できる
[ ] ピーター–ワイルの定理をコンパクト作用素を用いて証明し、 $L^2(G)$ の分解を説明できる
[ ] $SU(2)$ の既約表現と指標を決定し、 $SO(3)$ の表現を球面調和関数で実現できる

章立て

有限群の表現 — マシュケの定理、シューアの補題、指標の直交関係、既約表現の個数、正則表現、指標表（ $\mathfrak{S}_3$ , $\mathfrak{S}_4$ , $\mathfrak{A}_4$ , $D_4$ , $Q_8$ ）、次数が位数を割ること、誘導表現とフロベニウスの相互律、バーンサイドの定理。
リー群とリー環 — 古典群、行列の指数写像と対数、1 径数部分群、行列リー群のリー環、準同型の微分、随伴表現、閉部分群定理、 $SU(2) \to SO(3)$ の二重被覆、単連結性と持ち上げ、BCH の公式。
リー環の構造論 — 可解・冪零リー環、エンゲルの定理、リーの定理、キリング形式、カルタンの判定法、半単純リー環と単純イデアルへの分解、ワイルの完全可約性定理、レヴィ分解。
ルート系と分類 — $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$ の表現の分類、カルタン部分環、ルート空間分解とルートの性質、ルート系の公理、ランク 2 のルート系、ワイル群、単純ルート系、カルタン行列、ディンキン図形、分類定理、古典型のルート系。
最高ウェイト理論 — ウェイトとウェイト格子、支配的ウェイト、普遍包絡環と PBW の定理、ヴェルマ加群、有限次元既約表現の分類、ワイルの指標公式と次元公式、テンソル積の分解、ヤング図形とシューア–ワイル双対性。
コンパクトリー群の表現 — ハール測度、完全可約性、シューアの直交関係、ピーター–ワイルの定理、 $SU(2)$ と $SO(3)$ の表現、球面調和関数、極大トーラス、ワイルの積分公式、非コンパクト群への展望。

学習時間の目安と進め方

1 章あたり講義 3〜4 回分（1 回 90 分）、全体で半年〜1 年の講義に相当する。演習を含めて 1 章に 15〜25 時間程度を見込むとよい。
第1章は他の章と独立に読める（学部の代数学の後すぐに読める）。第2章以降は順に依存し、第3章→第4章→第5章は一本道である。第6章は第1章・第2章・第5章の内容を使うが、6.1〜6.5 節は第2章の後に読むこともできる。
指標表は必ず自分の手で作り、行と列の両方の直交関係と $\sum d_i^2 = \lvert G \rvert$ で検算すること。
リー環の抽象論に入ったら、どの定理も $\mathfrak{sl}_2$ と $\mathfrak{sl}_3$ で具体的に確かめること。 $\mathfrak{sl}_3$ のルート（6 個の $\varepsilon_i - \varepsilon_j$ ）、基本ウェイト（ $\omega_1 = \varepsilon_1$ , $\omega_2 = -\varepsilon_3$ ）、次元公式 $(a+1)(b+1)(a+b+2)/2$ は、紙に六角形の図を描いて何度も計算するとよい。
定理の仮定に注意する。リーの定理・カルタンの判定法・ワイルの定理はいずれも標数 0（リーの定理は代数閉体も）を必要とし、反例がある（第3章）。有限群の完全可約性は $\operatorname{char} K \nmid \lvert G \rvert$ 、コンパクト群の完全可約性はコンパクト性が本質である。

参考文献

有限群の表現

J.-P. Serre, Linear Representations of Finite Groups (Springer)（邦訳：J.-P. セール『有限群の線型表現』岩波書店）— 第1章の内容の簡潔で標準的な教科書。指標の直交関係と誘導表現の扱いが明快。
I. M. Isaacs, Character Theory of Finite Groups (Academic Press) — 指標理論の本格的な教科書。バーンサイドの定理などの群論への応用を詳しく扱う。

リー環とリー群

J. E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory (Springer) — 第3〜5章の標準的な参照先。本書の節番号（§4.3 など）はこの本の節を指す。
B. C. Hall, Lie Groups, Lie Algebras, and Representations (Springer) — 行列リー群から始めてリー環・表現論へ進む入門書。第2章の参照先。
W. Fulton, J. Harris, Representation Theory: A First Course (Springer) — 有限群・ $\mathfrak{sl}_2$ ・ $\mathfrak{sl}_3$ から古典群までを豊富な例で扱う。具体例による理解に最適。
松島与三『リー環論』（共立出版）— 日本語によるリー環論の古典的教科書。構造論と分類を詳しく扱う。
佐武一郎『リー環の話』（日本評論社）— リー環の考え方を平易に解説した読み物。全体像をつかむのに向く。

コンパクト群と発展

T. Bröcker, T. tom Dieck, Representations of Compact Lie Groups (Springer) — 第6章の参照先。ピーター–ワイルの定理、極大トーラス、ワイルの指標公式を扱う。
小林俊行・大島利雄『リー群と表現論』（岩波書店）— 日本語の本格的な教科書。コンパクト群から非コンパクト群の無限次元表現まで。
A. W. Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction (Birkhäuser) — 構造論からコンパクト群・非コンパクト群の構造まで広く扱う大学院向けの参照書。
V. G. Kac, Infinite Dimensional Lie Algebras (Cambridge University Press) — カッツ–ムーディ・リー環の標準的教科書（カルタン行列の転置の流儀の違いに注意）。

次に学ぶもの

リーマン幾何学：コンパクトリー群の両側不変計量と等質空間、ベクトル束の接続と特性類（不変多項式によるチャーン–ヴェイユ理論）（17-riemannian-geometry 第6章）。
リーマン面と保型形式： $\operatorname{SL}_2(\mathbb{R})$ の上半平面への作用とモジュラー形式。第6章の離散系列表現はここにつながる（19-riemann-surfaces 第3章）。
代数的整数論：ガロア群の表現の指標から作られるアルティンの L 関数（15-algebraic-number-theory 第6章）。
代数幾何学：代数群と旗多様体、ボレル–ヴェイユの定理（既約表現を直線束の大域切断として実現する）（14-algebraic-geometry）。
総合演習：20-problems 第3章（代数学）、20-problems 第8章（修士レベル：代数・幾何）。

章の一覧