記号の早見表

機械学習・統計・最適化の本や論文には、 $\sum$ 、 $\nabla f$ 、 $\operatorname{argmin}$ 、 $E[X]$ 、 $\lVert x \rVert$ のような記号が説明なしに出てきます。意味を一つ忘れているだけで、数式全体が読めなくなることも少なくありません。このページは、そうした記号を読み方・意味・小さな例で引けるようにした早見表です。「詳しく」の列には、その記号の意味をきちんと説明している章を挙げています。

仕事で数式を読む人がよく出会う順に並べています。ブラウザのページ内検索や、サイトの検索（「/」キー）で記号の名前を探すのが速いです。
読み方には流儀があり、ここに挙げたもの以外の読み方も使われます。文字の読み方と手での書き方は数学の文字の読み方と書き方に、この教材での記号の約束は記法と用語の約束にまとめています。
同じ意味でも、本によって書き方が違います（転置を $A^{\top}$ と書く本も ${}^t A$ と書く本もあります）。読み始める前に、その本の冒頭の記法の説明を確かめてください。

和と積

記号	読み方	意味	例	詳しく
$\sum_{i=1}^{n} a_i$	シグマ、 $i$ イコール 1 から $n$ まで $a_i$	$i$ を 1 から $n$ まで動かして足した和 $a_1 + a_2 + \cdots + a_n$	$\sum_{i=1}^{3} i^2 = 1 + 4 + 9 = 14$	P3 第7章（準備中）、無限に続く和は 01 第2章
$\sum_{i} a_i$ , $\sum_{x \in S} f(x)$	シグマ	範囲を省いた和（文脈から明らかなとき）、集合 $S$ のすべての元についての和	$S = \lbrace 1, 2 \rbrace$ なら $\sum_{x \in S} x^2 = 5$	同上
$\prod_{i=1}^{n} a_i$	パイ、プロダクト	$a_1, \dots, a_n$ をすべて掛けた積	$\prod_{i=1}^{4} i = 24$	尤度（確率の積）は 22 第3章

ベクトルと行列

記号	読み方	意味	例	詳しく
$x \in \mathbb{R}^n$	エックス、アールエヌ	実数を $n$ 個縦に並べたベクトル。この教材の統計・機械学習では太字にしない（本によっては $\boldsymbol{x}$ , $\mathbf{x}$ , $\vec{x}$ ）	$(1, 2, 3)^{\top} \in \mathbb{R}^3$	02 第1章
$x_i$	エックスアイ	ベクトル $x$ の第 $i$ 成分。データの $i$ 番目を表すこともある	$x = (5, 7)^{\top}$ なら $x_2 = 7$	02 第1章
$a_{ij}$ , $A_{ij}$	エーアイジェー	行列 $A$ の第 $i$ 行・第 $j$ 列の成分	1 行目が $(1, 2)$ 、2 行目が $(3, 4)$ の行列なら $a_{21} = 3$	02 第1章
$A^{\top}$ , ${}^t A$	エートランスポーズ、エーの転置	行と列を入れかえた行列（転置）。この教材の線形代数では ${}^t A$ 、統計・最適化・機械学習では $A^{\top}$ と書く	$x = (1, 2)^{\top}$ なら $x^{\top} x = 1^2 + 2^2 = 5$	02 第1章
$Ax$	エーエックス	行列とベクトルの積	1 行目が $(1, 2)$ 、2 行目が $(3, 4)$ の $A$ と $x = (1, 1)^{\top}$ なら $Ax = (3, 7)^{\top}$	02 第1章
$I$ , $I_n$	アイ、単位行列	対角成分が 1、ほかが 0 の正方行列。どのベクトルにかけても変えない（本によっては $E$ ）	$I_2 x = x$	02 第1章
$A^{-1}$	エーインバース	逆行列（ $AA^{-1} = A^{-1}A = I$ となる行列）	対角成分が $2, 4$ の対角行列の逆行列は、対角成分が $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}$ の対角行列	02 第1章
$\operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)$	ダイアグ	対角成分が $d_1, \dots, d_n$ で、ほかが 0 の対角行列	$\operatorname{diag}(2, 3)$ を $(1, 1)^{\top}$ にかけると $(2, 3)^{\top}$	02 第5章
$\det A$	デターミナントエー	行列式。 $\det A \neq 0$ は「 $A$ が逆行列をもつ」と同じこと	1 行目が $(a, b)$ 、2 行目が $(c, d)$ なら $\det A = ad - bc$	02 第4章
$\operatorname{tr} A$	トレースエー	正方行列の対角成分の和	対角成分が $1, 4$ なら $\operatorname{tr} A = 5$	02 第1章（問題 1.6）
$\langle x, y \rangle$ , $x \cdot y$ , $x^{\top} y$	内積	内積。 $\mathbb{R}^n$ では成分ごとの積の和 $x_1 y_1 + \cdots + x_n y_n$	$x = (1, 2)^{\top}$ $(1, 2)^{⊤}$ 、 $y = (3, 4)^{\top}$ なら $\langle x, y \rangle = 3 + 8 = 11$	02 第7章
$\lVert x \rVert$ , $\lVert x \rVert_2$	ノルムエックス	ベクトルの長さ $\sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}$ （ユークリッドノルム）	$\lVert (3, 4)^{\top} \rVert = 5$	02 第7章
$\lVert x \rVert_2^2$	ノルムの 2 乗	成分の 2 乗の和。最小二乗法の誤差や、正則化の大きさとして出てくる	$\lVert (3, 4)^{\top} \rVert_2^2 = 25$	02 第7章
$\lVert x \rVert_1$	エルワンノルム	成分の絶対値の和（ラッソで使う）	$\lVert (3, -4)^{\top} \rVert_1 = 7$	24 第2章
$u \odot v$	アダマール積、成分ごとの積	同じ形のベクトル（行列）の、成分ごとの積	$u = (1, 2)^{\top}$ $(1, 2)^{⊤}$ 、 $v = (3, 4)^{\top}$ なら $u \odot v = (3, 8)^{\top}$	24 第5章
$A \succeq 0$	半正定値	対称行列 $A$ が、すべての $x$ で $x^{\top} A x \geq 0$ をみたすこと（ $A \succ 0$ は正定値）	$\operatorname{diag}(1, 0) \succeq 0$	02 第8章、23 第2章

微分

記号	読み方	意味	例	詳しく
$\frac{dy}{dx}$ , $f'(x)$	ディーワイディーエックス、エフプライムエックス	導関数。 $x$ を少しだけ動かしたときの、 $y$ の変化の割合	$f(x) = x^3$ なら $f'(x) = 3x^2$	01 第4章
$\frac{\partial f}{\partial x}$ , $\partial_x f$	ラウンドエフラウンドエックス	偏微分。ほかの変数を止めて、 $x$ だけで微分したもの	$f(x, y) = x^2 y$ なら $\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy$	01 第7章
$\nabla f$	ナブラエフ、グラディエント	勾配。偏微分を並べた縦ベクトルで、 $f$ がいちばん速く増える向きを指す	$f(x, y) = x^2 + y^2$ なら $\nabla f = (2x, 2y)^{\top}$	01 第7章、23 第5章
$\nabla^2 f$	ヘッセ行列	2 階の偏微分を並べた行列。極小・極大の判定や、ニュートン法で使う	$f(x, y) = x^2 + 3y^2$ なら $\nabla^2 f = \operatorname{diag}(2, 6)$	01 第7章
$J_f$ , $Df$	ヤコビ行列	ベクトルに値をとる関数の、1 階の偏微分を並べた行列	$f(x, y) = (xy, x + y)$ なら、1 行目が $(y, x)$ 、2 行目が $(1, 1)$	01 第7章
$\frac{\partial L}{\partial W}$	ラウンドエルラウンドダブリュー	行列 $W$ の各成分で $L$ を偏微分し、 $W$ と同じ形に並べた行列（誤差逆伝播法で使う）	$L = \operatorname{tr} W$ なら、 $\frac{\partial L}{\partial W}$ は単位行列	24 第5章
$\dot{x}$	エックスドット	時刻 $t$ についての微分 $\frac{dx}{dt}$ （物理の本でよく使う）	$x(t) = t^2$ なら $\dot{x} = 2t$	01 第4章

確率と統計

記号	読み方	意味	例	詳しく
$P(A)$	ピーエー	事象 $A$ の確率（ $\Pr(A)$ と書く本もある）	さいころで偶数の目が出る確率は $\frac{1}{2}$	22 第1章
$P(A \mid B)$	ピーエーギブンビー	条件付き確率。 $B$ が起きたとわかったときに $A$ が起きる確率 $\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$	さいころで偶数が出たとき、4 以上である確率は $\frac{2}{3}$	22 第1章
$X \sim N(\mu, \sigma^2)$	エックスは正規分布に従う	確率変数 $X$ が、平均 $\mu$ ・分散 $\sigma^2$ の正規分布に従うこと。 $\sim$ は「〜に従う」	$X \sim N(0, 1)$ は標準正規分布	22 第1章
$E[X]$ , $\mathbb{E}[X]$	イーエックス、期待値	期待値（確率で重みをつけた平均）。 $E_{x \sim p}[f(x)]$ のように、どの分布についての期待値かを添えることもある	さいころの目の期待値は $3.5$	11 第1章
$\operatorname{Var}(X)$ , $V(X)$	バリアンス、分散	分散 $E[(X - E[X])^2]$ $E [X])^{2}]$ 。期待値のまわりのばらつきの大きさ	表なら 1、裏なら 0 をとる公平なコインで $\operatorname{Var}(X) = \frac{1}{4}$	11 第1章
$\operatorname{Cov}(X, Y)$	コバリアンス、共分散	共分散 $E[(X - E[X])(Y - E[Y])]$ $E [Y])]$ 。一緒に大きくなる傾向があれば正	$\operatorname{Cov}(X, X) = \operatorname{Var}(X)$	11 第1章
$\mu$ , $\sigma$ , $\sigma^2$	ミュー、シグマ、シグマ 2 乗	平均、標準偏差、分散を表すのによく使う文字	$N(\mu, \sigma^2)$ の 2 つめは分散で、標準偏差ではない	22 第1章
$\Sigma$	シグマ（大文字）	共分散行列。和の記号 $\sum$ とは別の使い方	独立で分散が 1 の 2 変数なら $\Sigma = I_2$	22 第1章
i.i.d.	アイアイディー	独立同分布（independent and identically distributed）。データが互いに独立で、同じ分布から出ていること	「 $X_1, \dots, X_n$ は i.i.d. で $N(0, 1)$ に従う」	22 第2章
$\bar{x}$ , $\bar{X}$	エックスバー	標本平均 $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$	データが $2, 4, 9$ なら $\bar{x} = 5$	22 第2章
$\hat{\theta}$ , $\hat{y}$	シータハット、ワイハット	データから推定した値（推定量）、モデルの予測値	コインを 10 回投げて表が 7 回なら、表の確率の推定値は $\hat{p} = 0.7$	22 第3章
$p(x \mid \theta)$ , $L(\theta)$	ピーエックスギブンシータ、尤度	パラメータが $\theta$ のときにデータ $x$ が出る確率（密度）。 $\theta$ の関数として見たものを尤度という	表の確率が $\theta$ のコインで「表、裏、表」なら $L(\theta) = \theta^2 (1 - \theta)$	22 第3章
$\ell(\theta) = \log L(\theta)$	対数尤度	尤度の対数。積が和になるので扱いやすい	上の例なら $\ell(\theta) = 2 \log \theta + \log (1 - \theta)$	22 第3章
$\mathbf{1}_A$ , $\mathbf{1}\lbrace \cdots \rbrace$	インディケーター、定義関数	条件が成り立てば 1、成り立たなければ 0	$\mathbf{1}\lbrace 3 > 2 \rbrace = 1$	11 第1章
$\operatorname{KL}(p \Vert q)$	ケーエルダイバージェンス	分布 $p$ と $q$ の違いの大きさ $\sum_x p(x) \log \frac{p(x)}{q(x)}$ 。0 以上で、 $p = q$ のときだけ 0	$p = q$ なら $\operatorname{KL}(p \Vert q) = 0$	24 第7章

最適化

記号	読み方	意味	例	詳しく
$\min_{x} f(x)$ , $\max_{x} f(x)$	ミン、マックス	$f(x)$ の最小値・最大値（値そのもの）	$\min_{x} (x - 2)^2 = 0$	23 第1章
$\operatorname{argmin}_{x} f(x)$ , $\operatorname{argmax}_{x} f(x)$	アーグミン、アーグマックス	最小値・最大値をとる $x$ （の全体）。1 つしかないときは、その $x$ そのものを指して書くことが多い	$\operatorname{argmin}_{x} (x - 2)^2 = \lbrace 2 \rbrace$	23 第1章
s.t.	サブジェクトトゥー	「〜という条件のもとで」（制約条件）	「 $\min_{x} x^2$ s.t. $x \geq 1$ $1$ 」の最適解は $x = 1$	23 第1章
$x^{\ast}$ , $p^{\ast}$	エックススター	最適解、最適値	上の例なら $x^{\ast} = 1$ $1$ 、 $p^{\ast} = 1$	23 第1章
$\theta \leftarrow \theta - \eta \nabla L(\theta)$	代入する、更新する	右辺の値で左辺を置きかえる（プログラムの代入）。 $\eta$ は学習率（1 回に進む幅）	$L(\theta) = \theta^2$ $θ^{2}$ 、 $\eta = 0.1$ $0.1$ 、 $\theta = 1$ なら、更新後は $\theta = 1 - 0.1 \times 2 = 0.8$	23 第5章
$\sup$ , $\inf$	スープ、インフ	上限・下限。最大値・最小値がないときにも使える	$\sup \lbrace x \mid x < 1 \rbrace = 1$ （最大値はない）	01 第1章

よく使う関数

記号	読み方	意味	例	詳しく
$\log x$ , $\ln x$	ログエックス、エルエヌエックス	自然対数（底が $e$ の対数）。機械学習・統計の本では、ふつう $\log$ も自然対数	$\log e = 1$ $1$ 、 $\log 1 = 0$	01 第3章
$\exp x$ , $e^x$	エクスポネンシャルエックス	指数関数（ $e = 2.718\ldots$ の $x$ 乗）	$\exp 0 = 1$	01 第3章、01 第6章
$\lvert x \rvert$	絶対値	0 からの距離（符号を外した大きさ）	$\lvert -3 \rvert = 3$	—
$\lfloor x \rfloor$ , $\lceil x \rceil$	床関数、天井関数	$x$ 以下の最大の整数、 $x$ 以上の最小の整数	$\lfloor 2.7 \rfloor = 2$ $2$ 、 $\lceil 2.1 \rceil = 3$	01 第1章
$\max(0, x)$ , $\operatorname{ReLU}(x)$	レル	正ならそのまま、負なら 0 にする関数	$\operatorname{ReLU}(-2) = 0$ $0$ 、 $\operatorname{ReLU}(3) = 3$	24 第5章
$\sigma(t) = \frac{1}{1 + e^{-t}}$	シグモイド、ロジスティック関数	実数を 0 と 1 の間の値に直す関数（確率の予測に使う）	$\sigma(0) = \frac{1}{2}$	24 第2章
$\operatorname{softmax}(z)_k$	ソフトマックス	$\frac{e^{z_k}}{\sum_j e^{z_j}}$ 。いくつかのスコアを、和が 1 の確率に直す	$z = (0, 0)$ なら $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$	24 第2章
$n!$ , $\binom{n}{k}$	エヌの階乗、二項係数	$n! = 1 \times 2 \times \cdots \times n$ $n$ 。 $\binom{n}{k}$ は $n$ 個から $k$ 個を選ぶ選び方の数	$\binom{4}{2} = 6$	22 第1章（二項分布）

関数と写像

記号	読み方	意味	例	詳しく
$f\colon X \to Y$	エフ、エックスからワイへ	$X$ の元に $Y$ の元を 1 つずつ対応させる関数（写像）	$f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ $R$ 、 $f(x) = x^2$	00 第3章
$x \mapsto 2x + 1$	エックスを $2x + 1$ に写す	どの元をどこへ対応させるか	$x \mapsto 2x + 1$ は 3 を 7 に写す	00 第3章
$g \circ f$	ジーマルエフ	合成関数（先に $f$ 、次に $g$ ）	$f(x) = x + 1$ $1$ 、 $g(x) = x^2$ なら $(g \circ f)(2) = 9$	00 第3章
$f^{-1}$	エフインバース	逆関数（逆写像）。 $f^{-1}(B)$ は「 $f$ で $B$ に写る元の集まり」（逆像）の意味でも使う	$f(x) = 2x$ なら $f^{-1}(y) = \frac{y}{2}$	00 第3章
$f_\theta(x)$ , $f(x; \theta)$	エフシータエックス	パラメータ $\theta$ を持つ関数（モデル）	線形モデル $f_w(x) = w^{\top} x$	24 第1章

集合

記号	読み方	意味	例	詳しく
$x \in A$	エックスインエー	$x$ は集合 $A$ の元である（ $x \notin A$ はそうでない）	$2 \in \lbrace 1, 2, 3 \rbrace$	00 第2章
$A \subset B$	エーはビーに含まれる	部分集合。この教材では $A = B$ の場合も含む	$\lbrace 1 \rbrace \subset \lbrace 1, 2 \rbrace$	00 第2章
$A \cup B$ , $A \cap B$	エーカップビー、エーキャップビー	和集合（どちらかに入る元）、共通部分（両方に入る元）	$\lbrace 1, 2 \rbrace \cap \lbrace 2, 3 \rbrace = \lbrace 2 \rbrace$	00 第2章
$A \setminus B$	エーマイナスビー	差集合（ $A$ の元のうち $B$ に入らないもの）	$\lbrace 1, 2, 3 \rbrace \setminus \lbrace 2 \rbrace = \lbrace 1, 3 \rbrace$	00 第2章
$\emptyset$	空集合	元を 1 つも持たない集合	$\lbrace 1 \rbrace \cap \lbrace 2 \rbrace = \emptyset$	00 第2章
$\lbrace x \mid P(x) \rbrace$	〜をみたすエックスの集合	条件 $P(x)$ をみたす $x$ 全体	$\lbrace x \in \mathbb{Z} \mid 0 < x < 4 \rbrace = \lbrace 1, 2, 3 \rbrace$	00 第2章
$\mathbb{R}$ , $\mathbb{R}^n$ , $\mathbb{R}^{m \times n}$	アール、アールエヌ、アールエムかけるエヌ	実数全体、実数を $n$ 個並べたベクトル全体、 $m \times n$ 行列全体	$(1.5, -2)^{\top} \in \mathbb{R}^2$	01 第1章、02 第1章
$\mathbb{N}$ , $\mathbb{Z}$	エヌ、ゼット	自然数全体（この教材では 0 を含まない）、整数全体	$0 \in \mathbb{Z}$ だが $0 \notin \mathbb{N}$	00 第7章
$A \times B$	エークロスビー	直積（ $a \in A$ と $b \in B$ の組 $(a, b)$ 全体）	$\lbrace 0, 1 \rbrace \times \lbrace 0, 1 \rbrace$ は 4 つの組からなる	00 第2章
$\lvert A \rvert$	エーの元の個数	集合の元の個数（濃度）	$\lvert \lbrace 1, 5, 9 \rbrace \rvert = 3$	00 第5章

論理と定義

記号	読み方	意味	例	詳しく
$\forall$	任意の、すべての	「すべての〜について」	$\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \geq 0$	00 第1章
$\exists$	存在する	「ある〜が存在して」	$\exists x \in \mathbb{R},\ x^2 = 2$	00 第1章
$P \Rightarrow Q$	ピーならばキュー	$P$ が成り立つなら、 $Q$ も成り立つ	$x > 2 \Rightarrow x^2 > 4$	00 第1章
$P \Leftrightarrow Q$	ピーとキューは同値	$P$ と $Q$ が同じ条件である（英語では iff と書くことも）	$x^2 = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1$	00 第1章
$\neg P$	ノットピー	$P$ の否定	$\neg (x > 0)$ は $x \leq 0$ と同じ	00 第1章
$:=$	定義する	左辺を右辺で定義する（ $\stackrel{\text{def}}{=}$ と書く本もある）	$\bar{x} := \frac{1}{n} \sum_{i} x_i$	記法と用語の約束

等号・不等号・近似

記号	読み方	意味	例	詳しく
$\approx$	ニアリーイコール	だいたい等しい（決まった定義はない）	$\pi \approx 3.14$	—
$\propto$	比例する	定数倍を除いて等しい	ベイズの定理 $p(\theta \mid x) \propto p(x \mid \theta) p(\theta)$	22 第7章
$\sim$	〜に従う、同じくらい	確率変数の分布を表す（ $X \sim N(0, 1)$ $N (0, 1)$ ）。数列や関数では「比が 1 に近づく」	$n^2 + n \sim n^2$ （ $n \to \infty$ $\infty$ ）	22 第1章
$\ll$ , $\gg$	非常に小さい、非常に大きい	比べものにならないほど小さい・大きい（決まった定義はない）	「学習率 $\eta \ll 1$ $1$ 」	—
$a \equiv b \pmod{n}$	エー合同ビー、モッドエヌ	$a$ と $b$ を $n$ でわった余りが等しい	$17 \equiv 2 \pmod{5}$	04 第1章

積分

記号	読み方	意味	例	詳しく
$\int_a^b f(x)\ dx$	インテグラル $a$ から $b$	定積分。 $f \geq 0$ ならグラフの下の面積	$\int_0^1 x\ dx = \frac{1}{2}$	01 第5章
$\int f(x)\ dx$	不定積分	微分すると $f$ になる関数（原始関数）	$\int 2x\ dx = x^2 + C$	01 第5章
$\int_{\mathbb{R}^n} f(x)\ dx$	重積分	多変数の関数の積分	確率密度 $p$ なら $\int_{\mathbb{R}^n} p(x)\ dx = 1$	01 第9章

極限とオーダー

記号	読み方	意味	例	詳しく
$\lim_{n \to \infty} a_n$	リミット	$n$ を限りなく大きくしたとき、 $a_n$ が近づく値	$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$	01 第2章
$\lim_{x \to a} f(x)$	リミット、 $x$ が $a$ に近づくとき	$x$ を $a$ に限りなく近づけたとき、 $f(x)$ が近づく値	$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$	01 第3章
$O(n)$ , $O(n^2)$	オーダー	大きさが、せいぜい $n$ （ $n^2$ ）の定数倍くらい。計算量の見積もりによく使う	$3n^2 + 5n = O(n^2)$	01 第4章
$o(h)$	スモールオー	$h$ より速く 0 に近づくもの（ $\frac{o(h)}{h} \to 0$ $0$ ）	$h \to 0$ のとき $h^2 = o(h)$	01 第4章

ヒント

長い式は、内側から読む たとえば平均二乗誤差 $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)^2$ は、内側から順に「 $i$ 番目の正解 $y_i$ と予測 $\hat{y}_i$ の差」→「それを 2 乗」→「 $i = 1$ から $n$ まで足す」→「 $n$ でわる（平均する）」と読みます。記号を 1 つずつこの表で確かめ、小さな数（ $n = 2$ など）を入れて計算してみると、式の意味がつかめます。

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