補足
この科目は執筆中です。 各章を順に追加していきます。高校数学をどのくらい覚えているかは、診断テスト 3（高校数学） で確かめられます。
概要
高校数学の前半の柱である「数と式」と「関数」を扱います。集合と命題、式の証明、二次関数、複素数と方程式、三角関数、指数関数・対数関数、数列と数学的帰納法——どれも大学の数学で毎日のように使う道具です。
高校では、時間の制約もあって、公式を覚えて使うことが中心になりがちです。この科目では、公式がなぜ成り立つのかを証明つきで確かめながら進みます。たとえば、三角関数の加法定理を自分で証明する、指数を負の数や分数に広げるときに「なぜそう定めるのか」を考える、数学的帰納法が「なぜ正しい証明法なのか」を理解する、といったことです。これは、大学の 00 数学の言葉 への準備にもなります。
前提知識
- P2 中学数学（特に文字式・二次方程式・関数）。自信がなければ 診断テスト 2（中学数学） で確かめてください。
対応する科目
| 章 | 高校の科目 |
|---|---|
| 第1章 集合と命題 | 数学 I |
| 第2章 式と証明 | 数学 II |
| 第3章 二次関数 | 数学 I |
| 第4章 複素数と方程式 | 数学 II |
| 第5章 三角比から三角関数へ | 数学 I・II |
| 第6章 指数関数と対数関数 | 数学 II |
| 第7章 数列と数学的帰納法 | 数学 B |
現行の学習指導要領（2018 年告示、2022 年度から実施）にもとづく目安です。
到達目標
- [ ] 必要条件・十分条件、対偶、背理法を正しく使い、「すべて」「ある」を含む命題の否定を作れる
- [ ] 恒等式・不等式を証明でき、相加平均と相乗平均の関係やコーシー・シュワルツの不等式を使える
- [ ] 平方完成によって二次関数の最大・最小を求め、判別式とグラフの関係を説明できる
- [ ] 複素数の計算、解と係数の関係、剰余の定理・因数定理を使って高次方程式を扱える
- [ ] 弧度法と単位円で三角関数を定義し、加法定理を証明できる
- [ ] 指数を実数まで広げる考え方を説明し、指数関数・対数関数のグラフと性質を扱える
- [ ] 数列の和と漸化式を扱い、数学的帰納法で証明を書ける
章立て
| 章 | 内容 |
|---|---|
| 第1章 集合と命題（準備中） | 集合の演算、ド・モルガンの法則、必要条件と十分条件、逆・裏・対偶、背理法、命題の否定 |
| 第2章 式と証明（準備中） | 整式の除法、恒等式、等式・不等式の証明、相加平均と相乗平均、コーシー・シュワルツの不等式、三角不等式 |
| 第3章 二次関数（準備中） | グラフの移動、平方完成、最大と最小、判別式、二次不等式 |
| 第4章 複素数と方程式（準備中） | 複素数を考える理由、複素数の計算、解と係数の関係、剰余の定理と因数定理、高次方程式 |
| 第5章 三角比から三角関数へ（準備中） | 三角比、一般角と弧度法、単位円による定義、グラフ、加法定理とその証明、三角関数の合成 |
| 第6章 指数関数と対数関数（準備中） | 指数の拡張、指数法則、指数関数、対数の性質、対数関数、常用対数 |
| 第7章 数列と数学的帰納法（準備中） | 等差数列・等比数列、和の記号、漸化式、数学的帰納法 |
学習時間の目安と進め方
- 1 章あたり 5〜8 時間（本文と演習問題）、全体で 40〜55 時間ほどです。
- 第1章（集合と命題）は、すべての章の「ことば」です。最初に読んでください。
- 第5章（三角関数）・第6章（指数関数と対数関数）は、P4 微分積分 の前に読んでおく必要があります。
- 公式を見たら、まず自分で導けるか試してください。導けた公式は忘れても困りません。
参考文献
- 松坂和夫『数学読本 1〜6』（岩波書店）：中学程度から大学初年級までを、ていねいな語り口で一続きに解説したシリーズです。学び直しに最適です。
- 芳沢光雄『新体系・高校数学の教科書（上・下）』（講談社ブルーバックス）：高校数学の全体を、大人の学び直し向けに体系的にまとめた本です。
- 数研出版編集部『チャート式 基礎からの数学』シリーズ（数研出版）：高校数学の定番の参考書です。例題と練習問題で計算力を補いたいときに。
- 文部科学省『高等学校学習指導要領（平成 30 年告示）解説 数学編 理数編』：高校で学ぶ内容とそのねらいの公式の解説です。
- I. M. Gelfand, M. Saul, Trigonometry (Birkhäuser)：三角比から三角関数・加法定理までを、考えさせる問題とともに解説した本です（英語）。
- I. M. Gelfand, E. G. Glagoleva, E. E. Shnol, Functions and Graphs (Birkhäuser)：関数とグラフの見方を、手を動かしながら身につけられる小著です（英語）。
次に学ぶもの
- P4 高校数学：微分積分：極限・微分・積分。
- P5 高校数学：図形とベクトル・P6 高校数学：確率・統計と整数：高校数学の残りの柱。
- 00 数学の言葉：第1章・第7章の内容が、大学の論理・集合・帰納法へと直接つながります。