診断テスト 2　中学数学

(1) ひき算はたし算の逆なので、$5 - (-3)$ は「$-3$ をたすと 5 になる数」です。$-3$ をたすと 3 減るので、その数は 5 より 3 大きい 8 です。数直線で見ると、$a - b$ は「$b$ から $a$ まで、どちら向きにどれだけ進むか」を表し、$-3$ から 5 までは正の向きに 8 進みます。まとめると「負の数をひくことは、その反対の数をたすこと」（$5 - (-3) = 5 + 3$）です（3 万円の借金を帳消しにしてもらうのは、3 万円もらうのと同じ、というたとえも使えます）。

(2) 次のうち 2 つが書けていれば十分です。

説明 1（きまりを延ばす）：かける数を 1 ずつ減らしていくと、$(-3) \times 2 = -6$、$(-3) \times 1 = -3$、$(-3) \times 0 = 0$ と、積は 3 ずつ増えていきます。このきまりが、かける数が負になっても続くとすれば、$(-3) \times (-1) = 3$、$(-3) \times (-2) = 6$ です。

説明 2（分配法則）：分配法則が負の数でも成り立つようにすると

です。$(-3) \times 2 = -6$ なので、$(-3) \times (-2)$ は「$-6$ にたすと 0 になる数」、つまり 6 でなければなりません。

説明 3（数直線上の動き）：東向きを正、今の時刻を 0 とし、西へ毎時 3 km で進む人を考えます。向きをこめた速さは毎時 $-3$ km です。2 時間前（時刻 $-2$）には、今の場所から東へ 6 km の地点にいました。「位置 = 速さ × 時間」にあてはめると $(-3) \times (-2) = +6$ です。

説明 2 は、分配法則などの計算のきまりを負の数でも保とうとすると、「負 × 負 = 正」と決めるしかないことを示しています。この考え方は、大学の代数学で環の公理として整理されます（04 代数学 第5章）。

戻る章：P2 第1章「正負の数」（P2 中学数学）

(1) もとの数の十の位の数字を $a$、一の位の数字を $b$ とします（$a$, $b$ は 1 から 9 までの整数）。もとの数は $10a + b$、入れかえた数は $10b + a$ と表せるので

です。$a - b$ は整数なので、$9(a - b)$ は 9 の倍数です（$a < b$ なら差は負ですが、たとえば $27 - 72 = 9 \times (-5)$ で、やはり 9 の倍数です）。いくつかの例で確かめるだけでは、すべての場合に成り立つことはわかりません。文字を使うと、81 通りすべての場合を一度に説明できます。

(2) 文字式では $ab$ は $a \times b$ を表します。そのため $ab$ と $ba$ はいつも等しく、$ab - ba = 0$ になってしまいますが、これは 2 けたの数の差ではありません。十の位が $a$、一の位が $b$ の数は「10 が $a$ 個と 1 が $b$ 個」なので、$10a + b$ と表します。これは、算数の位取り記数法をそのまま式にしたものです。

戻る章：P2 第2章「文字式と方程式」（P2 中学数学）

(1) 等式には「両辺に同じ数をたしても、両辺から同じ数をひいても、等式は成り立つ」という性質があります（両辺に同じ数をかけても、0 でない同じ数でわっても成り立ちます）。$3x + 5 = 2x - 4$ の両辺から 5 をひくと $3x = 2x - 4 - 5$、さらに両辺から $2x$ をひくと $3x - 2x = -4 - 5$ です。結果だけを見ると、$+5$ が $-5$ に、$2x$ が $-2x$ になって反対側の辺に移っています。つまり移項は、「両辺から同じものをひく（たす）」操作を短く書いたものです。解は $x = -9$ です（確かめ：両辺とも $-22$）。

(2) 両辺に 6 をかけるときは、左辺のすべての項に 6 をかけなければなりません（分配法則）。$\displaystyle 6 \times \left( \frac{x}{3} - 1 \right) = 2x - 6$ なのに、$-1$ に 6 をかけ忘れています。正しくは $2x - 6 = 3x$ より $x = -6$ です（確かめ：左辺 $\displaystyle \frac{-6}{3} - 1 = -3$、右辺 $\displaystyle \frac{-6}{2} = -3$）。

(3) 1 つめの式を 2 倍すると $2x + 4y = 8$ で、これから 2 つめの式をひくと、$x$ も $y$ も消えて $0 = 3$ という成り立たない等式が出てきます。これは「両方の式を満たす $x$, $y$ があるとすると矛盾が起きる」ということで、この連立方程式には解がありません（$2x + 4y$ が 8 と 5 に同時に等しくなることはありえません）。グラフで見ると、2 つの式は $\displaystyle y = -\frac{1}{2}x + 2$ と $\displaystyle y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{4}$ で、傾きが等しく切片が違う平行な 2 直線なので、交点（＝解）がありません。もし 2 つめの式が $2x + 4y = 8$ なら、ひいた結果は $0 = 0$ となり、2 直線は一致して、解は無数にあります。

戻る章：P2 第2章「文字式と方程式」、(3) のグラフによる見方は第5章「関数」（P2 中学数学）

(a) 正しくは $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ です。$(a + b)(a + b)$ を分配法則で展開すると $a^2 + ab + ba + b^2$ になります。$a = b = 1$ とすると左辺は 4、誤った右辺は 2 です。面積図で見ると、1 辺 $a + b$ の正方形は、$a^2$ と $b^2$ の正方形のほかに、$ab$ の長方形 2 枚からできています。誤りは、この 2 枚を忘れたものです。

        a       b
    +-------+-----+
  a |  a^2  |  ab |
    +-------+-----+
  b |  ab   | b^2 |
    +-------+-----+

(b) 平方根とは「2 乗するとその数になる数」です。$4^2 = 16$、$(-4)^2 = 16$ なので、16 の平方根は 4 と $-4$（まとめて $\pm 4$）の 2 つです。記号 $\sqrt{16}$ はそのうち正のほうを表すので、$\sqrt{16} = 4$ は正しい式です。

(c) 正しくは $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3$ です。$a \geq 0$ のとき、$\sqrt{a}$ は 2 乗すると $a$ になる数のうち0 以上のほうを表すので、負になることはありません。一般に $\sqrt{a^2}$ は $a$ ではなく、$a$ の絶対値 $\lvert a \rvert$ です。

(d) 両辺を 2 乗すると、左辺は $(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{6}$、右辺は 5 で、等しくありません（およその値でも、左辺は $1.414 + 1.732 = 3.146$、右辺は $2.236$ で大きく違います）。$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ は成り立ちますが、$\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{a + b}$ は成り立ちません。

戻る章：P2 第3章「式の展開・因数分解と平方根」（P2 中学数学）

(1) 証明. $\sqrt{2}$ が分数で表せると仮定して、矛盾を導きます（背理法）。$\displaystyle \sqrt{2} = \frac{m}{n}$（$m$, $n$ は自然数）と書けたとし、約分しておいて、$m$ と $n$ は 1 以外の公約数をもたないとします。両辺を 2 乗して分母をはらうと

なので、$m^2$ は偶数です。$m$ が奇数なら $m^2$ も奇数になる（$(2j + 1)^2 = 2(2j^2 + 2j) + 1$）ので、$m$ は偶数です。$m = 2k$（$k$ は自然数）とおくと $4k^2 = 2n^2$、つまり $n^2 = 2k^2$ となり、同じ理由で $n$ も偶数です。すると $m$ と $n$ は公約数 2 をもち、「1 以外の公約数をもたない」ことに矛盾します。したがって $\sqrt{2}$ は分数で表せません。$\square$

背理法は「結論を否定すると矛盾が起きる、だから結論は正しい」という証明の方法で、高校・大学の数学で基本的な道具になります（00 数学の言葉 第1章）。

(2) どこまでも続く小数でも、分数で表せるものがあるからです。たとえば $\displaystyle \frac{1}{3} = 0.333\ldots$、$\displaystyle \frac{1}{7} = 0.142857142857\ldots$ はどこまでも続きますが、分数です。分数を小数で表すと有限小数か循環小数になり、逆に循環小数は分数で表せます。ですから「分数で表せない」とは「循環しない無限小数である」ことで、これは小数を何けた計算しても確かめられません（どれだけ調べても、その先でくり返しが始まらないとは言い切れません）。(1) のような論理による証明が必要なのです。

戻る章：P2 第3章「式の展開・因数分解と平方根」（P2 中学数学）

(a) 両辺を $x$ でわれるのは $x \neq 0$ のときだけです（0 ではわれません）。$x = 0$ の場合を調べずに捨てたため、解を 1 つ失っています。正しくは、移項して因数分解し、$x^2 - 3x = 0$、$x(x - 3) = 0$ より、$x = 0$ または $x = 3$ です。

(b) 因数分解による解き方は、「$AB = 0$ ならば $A = 0$ または $B = 0$」という、0 だけがもつ性質を使っています（$A \neq 0$ なら両辺を $A$ でわって $B = 0$ となるからです）。積が 2 のときは、$\displaystyle 4 \times \frac{1}{2} = 2$ や $(-1) \times (-2) = 2$ のように、どちらの因数も 2 でない場合があるので、この方法は使えません。正しくは、右辺を 0 にしてから因数分解します。

よって $x = 1, 4$ です。生徒の答えのうち $x = 4$ はたまたま正しいのですが、$x = 5$ では $3 \times 2 = 6$ となって成り立たず、$x = 1$（$(-1) \times (-2) = 2$）を見落としています。

戻る章：P2 第4章「二次方程式」（P2 中学数学）

(1) 定数項を移項して $x^2 + 6x = -4$ とし、両辺に $3^2 = 9$（$x$ の係数 6 の半分の 2 乗）をたすと、左辺が $(x + 3)^2$ になります。

9 をたす理由は面積図でわかります。$x^2 + 6x$ は、1 辺 $x$ の正方形と、縦 $x$・横 3 の長方形 2 枚の面積の和です。2 枚を正方形の右と下に置くと、右下に 1 辺 3 の正方形（面積 9）だけが欠けた形になり、それを補えば 1 辺 $x + 3$ の正方形になります。

(2) $a \neq 0$ なので両辺を $a$ でわれます。(1) と同じように、$x$ の係数 $\displaystyle \frac{b}{a}$ の半分の 2 乗を両辺にたします。

$b^2 - 4ac \geq 0$ のとき、平方根をとって

です（$\sqrt{4a^2}$ は正確には $2\lvert a \rvert$ ですが、$\pm$ がついているので $2a$ と書いても同じです）。

(3) $4a^2 > 0$ なので、右辺 $\displaystyle \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$ の符号は $b^2 - 4ac$ の符号と同じです。

• $b^2 - 4ac > 0$ のとき：2 乗して正の数になる数は正と負の 2 つあるので、異なる 2 つの解をもちます。
• $b^2 - 4ac = 0$ のとき：2 乗して 0 になる数は 0 だけなので、解は $\displaystyle x = -\frac{b}{2a}$ の 1 つです。
• $b^2 - 4ac < 0$ のとき：2 乗して負になる数は中学で扱う数の範囲にはないので、解はありません。

$b^2 - 4ac$ は高校で判別式と呼ばれ、2 乗して負になる数（虚数）まで数を広げると、$b^2 - 4ac < 0$ の場合も 2 つの解をもつようになります。

戻る章：P2 第4章「二次方程式」（P2 中学数学）

(1) 関数であるのは (b) だけです。「$y$ が $x$ の関数である」とは、$x$ の値を 1 つ決めると、$y$ の値がただ 1 つ決まることです。

• (a) $x = 6$ とすると、約数は 1, 2, 3, 6 の 4 つあり、$y$ が 1 つに決まりません。関数ではありません。
• (b) どの $x$ についても、約数の個数はただ 1 つに決まります（$x = 6$ なら 4）。関数です。式で表せなくても関数です。
• (c) 周の長さが 12 cm の長方形には、縦 1 cm・横 5 cm（面積 5 cm²）も、縦 3 cm・横 3 cm（面積 9 cm²）もあり、面積が 1 つに決まりません。関数ではありません。

(2) $x = 1$ のとき $y = 1$、$x = 4$ のとき $y = -5$ なので、$x$ の増加量 3 に対して $y$ の増加量は $-6$、変化の割合は $\displaystyle \frac{-6}{3} = -2$ です。一次関数 $y = ax + b$ の変化の割合は、どの区間で調べても $x$ の係数 $a$ に等しく、グラフの直線の傾きを表します。ここでは「$x$ が 1 増えるごとに $y$ が 2 減る」ので、グラフは右下がりの直線です。

戻る章：P2 第5章「関数」（P2 中学数学）

(1) 1 秒後までに $5 \times 1^2 = 5$ m、3 秒後までに $5 \times 3^2 = 45$ m 落ちるので、この 2 秒間に 40 m 進みます。平均の速さは $40 \div 2 = 20$ で、秒速 20 m です。これは、$y = 5x^2$ の $x$ が 1 から 3 までの変化の割合にほかなりません。

(2) 変化の割合は（$y$ の増加量）÷（$x$ の増加量）なので

です（$q - p \neq 0$ なので約分できます）。(1) では $5 \times (1 + 3) = 20$ で、確かに一致します。

(3) 変化の割合は、グラフ上の 2 点 $(p, ap^2)$ と $(q, aq^2)$ を結ぶ直線の傾きです。一次関数のグラフは直線なので、どの 2 点を結んでもその直線自身になり、傾きはいつも同じです。関数 $y = ax^2$ のグラフは放物線という曲線なので、2 点の選び方によって結ぶ直線の傾きが変わります。(2) の $a(p + q)$ も区間の位置によって変わります。落下するボールでいえば、時間がたつほど速くなるので、後の区間ほど平均の速さが大きいのです。

$q$ を $p$ に限りなく近づけると、変化の割合は $2ap$ に近づきます。これが時刻 $p$ での「瞬間の速さ」で、高校で学ぶ微分の出発点です。

戻る章：P2 第5章「関数」（P2 中学数学）

(1) 証明. $\triangle ABC$ の辺 BC を横向きに、B を左、C を右に置いた図で考えます。頂点 A を通り BC に平行な直線 $\ell$ を引き、$\ell$ 上で A の左側に点 D、右側に点 E をとります。$\ell \parallel BC$ なので、平行線の錯角は等しく

です。D, A, E は一直線上にあるので $\angle DAB + \angle BAC + \angle CAE = 180^\circ$ で、これに上の 2 つの等式を代入すると $\angle ABC + \angle BAC + \angle ACB = 180^\circ$ となります。$\square$

小学校では、3 つの角を切り取って並べるなどして確かめました。証明では、「平行線の錯角は等しい」という性質から、すべての三角形について $180^\circ$ になることを示しています。ここが、中学で数学が変わるところです。

(2) $360^\circ$ です。各頂点で内角と外角の和は $180^\circ$ なので、5 つの頂点で合わせて $180^\circ \times 5 = 900^\circ$ です。五角形の内角の和は、1 つの頂点から対角線を引いて 3 つの三角形に分けると $180^\circ \times 3 = 540^\circ$ なので、外角の和は $900^\circ - 540^\circ = 360^\circ$ です。$n$ 角形でも同じように、外角の和は

で、$n$ によりません。直観的には、多角形の周に沿って歩くと、各頂点で外角の分だけ向きを変え、1 周して元の向きに戻るまでにちょうど 1 回転するから、と説明できます。

戻る章：P2 第6章「図形と証明」（P2 中学数学）

(1) 反例の例：AC = AD の二等辺三角形 ACD をかき、底辺 DC を C の側に延ばした直線上に点 B をとります（B, C, D の順に並びます）。$\triangle ABC$ と $\triangle ABD$ を比べると、AB は共通、AC = AD、$\angle ABC = \angle ABD$（同じ角）で、2 組の辺と 1 組の角がそれぞれ等しくなっています。しかし BC < BD なので、2 つの三角形は合同ではありません。等しい角 $\angle B$ は、辺 AB と BC（BD）の間の角で、等しい 2 組の辺 AB と AC（AD）の間の角ではありません。

(2) 2 辺とその間の角が決まると、三角形はただ 1 通りにかけます。角をかき、その 2 本の辺の上に決められた長さをとれば、3 つの頂点がすべて決まるからです。作図して形がただ 1 つに決まるので、その条件を満たす三角形はどれも合同になります。

一方、$\angle B$ と辺 AB、辺 AC が与えられた場合、点 C は「B から出る半直線」と「A を中心とする半径 AC の円」の交点として決まります。円と半直線は 2 点で交わることがあり、(1) の C と D がまさにその 2 点です。作図が 1 通りに決まらないので、合同条件になりません。

なお、等しい角が直角や鈍角のときは、2 つの交点のうち半直線上にあるのは 1 つだけなので、合同が言えます。直角三角形の合同条件「斜辺と他の 1 辺がそれぞれ等しい」は、この場合にあたります。

戻る章：P2 第6章「図形と証明」（P2 中学数学）

(1) 面積の比は $2^2 : 3^2 = 4 : 9$ です。相似比が 2 : 3 なので、大きいほうの三角形は、底辺も高さも小さいほうの $\displaystyle \frac{3}{2}$ 倍です。面積は「底辺 × 高さ ÷ 2」なので、$\displaystyle \frac{3}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{9}{4}$ 倍になります。一般に、長さが $k$ 倍の相似な図形では、縦方向にも横方向にも $k$ 倍されるので、面積は $k^2$ 倍になります。

(2) 大きいほうが割安です。2 つの球は相似で、相似比は $6 : 9 = 2 : 3$ なので、体積の比は $2^3 : 3^3 = 8 : 27$ です。大きいほうは小さいほうの $\displaystyle \frac{27}{8} = 3.375$ 倍の量があるのに、値段は 2 倍なので、同じ値段あたりの量は大きいほうがおよそ 1.7 倍多くなります（直径が 1.5 倍になるだけで、体積は 3 倍以上になります）。

戻る章：P2 第6章「図形と証明」（P2 中学数学）

(1) 証明. 1 辺の長さが $a + b$ の正方形 PQRS（頂点はこの順に一周する）をかき、辺 PQ, QR, RS, SP 上にそれぞれ点 E, F, G, H を、$PE = QF = RG = SH = a$ となるようにとります。すると 4 つの三角形 $\triangle HPE$, $\triangle EQF$, $\triangle FRG$, $\triangle GSH$ は、どれも直角をはさむ 2 辺が $a$ と $b$ の直角三角形で、もとの直角三角形と合同です（2 組の辺とその間の角）。よって $EF = FG = GH = HE = c$ です。

もとの三角形の 2 つの鋭角を $\alpha$, $\beta$ とすると、内角の和から $\alpha + \beta = 90^\circ$ です。点 E では、$\angle PEH$ と $\angle QEF$ が $\alpha$ と $\beta$ の一方ずつなので、$\angle HEF = 180^\circ - (\alpha + \beta) = 90^\circ$ です。ほかの頂点も同様なので、四角形 EFGH は 1 辺 $c$ の正方形です。大きな正方形の面積を 2 通りに表すと

で、左辺を展開すると $a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab$、したがって $a^2 + b^2 = c^2$ です。$\square$

相似な三角形を使う証明など、ほかの証明でもかまいません。

(2) 13 cm です。底面（縦 3 cm、横 4 cm）の対角線の長さは $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ cm です。高さの辺は底面に垂直なので、直方体の対角線は、この底面の対角線（5 cm）と高さ（12 cm）を直角をはさむ 2 辺とする直角三角形の斜辺です。よって長さは $\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13$ cm です。まとめると、縦 $p$、横 $q$、高さ $r$ の直方体の対角線の長さは $\sqrt{p^2 + q^2 + r^2}$ です。

戻る章：P2 第7章「円と三平方の定理・空間図形」（P2 中学数学）

(1) $50^\circ$ です（円周角は、同じ弧に対する中心角の半分です）。

(2) 証明. 直線 PO を引き、円との P 以外の交点を Q とします。OA と OP は半径なので $OA = OP$ で、二等辺三角形 OAP の底角は等しく、$\angle OAP = \angle OPA$ です。$\angle AOQ$ は $\triangle OAP$ の外角なので

です。同じように、$\triangle OBP$ について $\angle BOQ = 2 \angle OPB$ です。O が $\angle APB$ の内部にあるので、半直線 PO は $\angle APB$ を 2 つに分け、Q は P を含まない弧 AB の上にあります。よって、この弧に対する中心角は

です。$\square$

(3) $OA = OP = OB$（半径）なので、$\triangle OAP$ と $\triangle OBP$ はどちらも二等辺三角形です。$\angle OAP = \angle OPA = x$、$\angle OBP = \angle OPB = y$ とおくと、$\triangle ABP$ の内角の和から $x + (x + y) + y = 180^\circ$、つまり $x + y = 90^\circ$ です。$\angle APB = x + y$ なので $90^\circ$ です。これは、中心角 $180^\circ$ の半分が円周角になる、という (2) の特別な場合と見ることもできます。

戻る章：P2 第7章「円と三平方の定理・空間図形」（P2 中学数学）

(1) 正しくありません。2 枚とも表が $\displaystyle \frac{1}{4}$、1 枚が表で 1 枚が裏が $\displaystyle \frac{1}{2}$、2 枚とも裏が $\displaystyle \frac{1}{4}$ です。

2 枚の硬貨を A, B と区別すると、出方は「A 表・B 表」「A 表・B 裏」「A 裏・B 表」「A 裏・B 裏」の 4 通りで、これらは同様に確からしい（どれも同じ程度に起こると期待できる）と考えられます。「1 枚が表で 1 枚が裏」はこのうち 2 通りなので、確率は $\displaystyle \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ です。もとの考えの誤りは、同様に確からしくない 3 通りを同じ重みで数えたことです。確率を「場合の数の比」で求めてよいのは、数える 1 つ 1 つの場合が同様に確からしいときだけです。実際に何百回も投げると、「1 枚が表で 1 枚が裏」の相対度数は $\displaystyle \frac{1}{2}$ に近づいていきます。

(2) 確実に言えるのは (b) と (c) です。

• (a) 言えません。箱ひげ図に平均値は表れません。
• (b) 言えます。30 人の中央値は、得点を小さい順に並べた 15 番目と 16 番目の平均です。これが 64 点なので 16 番目は 64 点以上で、16 番目から 30 番目までの 15 人はすべて 64 点以上です。
• (c) 言えます。四分位範囲は $75 - 52 = 23$ 点です。
• (d) 言えません。箱にはデータのおよそ半分が入りますが、ちょうど半分とは限りません。たとえば、前半 15 人と後半 15 人のそれぞれの中央値を四分位数とする求め方では、8 番目が 52 点、23 番目が 75 点なので、少なくとも 16 人がこの範囲に入ります。
• (e) 言えません。箱ひげ図からわかるのは 5 つの値だけで、35 点と 52 点の間にどんな得点があるかはわかりません。

戻る章：P2 第8章「データの活用と確率」（P2 中学数学）