診断テスト 1　算数

(1) 正しい答えは $403 - 168 = 235$ です（検算：$235 + 168 = 403$）。一の位は 3 から 8 がひけず、十の位は 0 なので、百の位から 1 を借りて十の位を 10 にし、そこから 1 を一の位に貸します。だから十の位は 9 になります。子どもは十の位を 10 のまま $10 - 6 = 4$ と計算した、つまり一の位に貸した 1 を減らし忘れたと考えられます。答えがちょうど 10 大きいのはそのためです。

(2) 説明の例：「403 円は、100 円玉 4 枚と 1 円玉 3 枚。10 円玉はないね。1 円玉 8 枚が取れないから、100 円玉 1 枚を 10 円玉 10 枚に両替して、さらにその 10 円玉 1 枚を 1 円玉 10 枚に両替しよう。これで 100 円玉 3 枚、10 円玉 9 枚、1 円玉 13 枚。まだ 403 円のままだね。ここから 1 円玉 8 枚、10 円玉 6 枚、100 円玉 1 枚を取ると、残りは 235 円。」

筆算で 4 を 3 に、0 を 10 に、さらに 9 に書き直すのは、この両替の記録です。十の位の 0 は「10 円玉が 1 枚もない」ことを表すので、百の位から両替しなければならないのです。

戻る章：P1 第1章「数と位取り記数法」

(1) 3020 は「1000 が 3 つ、100 が 0、10 が 2 つ、1 が 0」です。百の位の 0 は 100 のまとまりが、一の位の 0 はばらが 1 つもないことを表します。数字が表す大きさは置かれている位で決まるので、0 を省いて 32 と書くと「三十二」になってしまいます。0 は空いている位を示し、ほかの数字を正しい位に置く役目をもっています。

(2) 1 万倍です（$10000 \times 10000 = 100000000$）。日本語の数の名前は、一・十・百・千のくり返しが 4 けたごとに万・億・兆と変わります。大きな数を 4 けたごとに区切って読むのはこのためです。

(3) 11 です。位の大きさは、10 進法では右から 1, 10, 100, … と 10 倍ずつ、2 進法では 1, 2, 4, 8, … と 2 倍ずつになります。2 進法の 1011 は「8 が 1 つ、4 が 0、2 が 1 つ、1 が 1 つ」なので $8 + 2 + 1 = 11$ です。10 進法では 10 集まると繰り上がるように、2 進法では 2 集まると繰り上がるので、2 進法の「10」は 2 を表します。

戻る章：P1 第1章「数と位取り記数法」

(1) 例を示します。

• (a) 「12 個のあめを、3 人で同じ数ずつ分けます。1 人分は何個ですか。」答えの 4 は 1 人分の個数（1 つ分の大きさ）です。
• (b) 「12 個のあめを、1 人に 3 個ずつ配ります。何人に配れますか。」答えの 4 は 配れる人数（いくつ分）です。

「1 つ分の大きさ × いくつ分 = 全体」で見ると、(a) は □ × 3 = 12 の □ を、(b) は 3 × □ = 12 の □ を求めています。交換法則により、どちらの □ も 3 の段の九九で見つかるので、同じ $12 \div 3$ で計算できるのです。

(2) わり算はかけ算の逆で、$6 \div 0$ の答えは「□ × 0 = 6 となる □」のことです。どんな数に 0 をかけても 0 になり、6 にはならないので、当てはまる数はありません。「答えは 0」とすると、確かめの $0 \times 0$ が 6 になりません。

$0 \div 0$ の答えは「□ × 0 = 0 となる □」で、今度はどんな数でも当てはまってしまい、1 つに決まりません。どちらの場合も答えがただ 1 つに決まらないので、0 でわることは考えない約束にしています（$0 \div 6 = 0$ は問題ありません）。

戻る章：P1 第2章「かけ算とわり算の意味」

正しい答えは 322 です。縦 14 マス・横 23 マスの長方形を、上の縦 4 マスの部分と下の縦 10 マスの部分に分けます。

          23
     +-----------+
   4 |  23 × 4   |  =  92   ← 1 段目
     +-----------+
     |           |
  10 |  23 × 10  |  = 230   ← 2 段目
     |           |
     +-----------+

2 段目の「23」は、14 の十の位の 1、すなわち 10 を 23 にかけた 230 を表しています。一の位の 0 を書くのを省いているので、1 けた左にずらして書くのです。式で書けば、分配法則

そのものです。子どもの 115 は $23 \times 5$ を計算したことになります。「$23 \times 10 = 230$ より大きいはず」と見積もる習慣があれば、すぐに誤りに気づけます。

戻る章：P1 第2章「かけ算とわり算の意味」、分配法則は第3章「計算のきまりと整数の性質」（P1 算数の「なぜ」）

(1) $3 + 7 + 2 = 12$ は 3 の倍数なので、372 は 3 の倍数です（実際 $372 = 3 \times 124$）。

(2) 372 は「100 が 3 つ、10 が 7 つ、1 が 2 つ」です。100 を $99 + 1$、10 を $9 + 1$ と分けると

となります。99 も 9 も 3 の倍数なので、前のかっこの部分は 3 の倍数です。したがって、372 が 3 の倍数かどうかは、各位の数字の和 $3 + 7 + 2$ が 3 の倍数かどうかだけで決まります。

子どもには、おはじきで説明できます：「100 個のたばも 10 個のたばも、3 個ずつ取っていくと 1 個あまるね。だから、たば 1 つにつき 1 個ずつ（$3 + 7$ 個）と、ばらの 2 個を合わせた 12 個が、3 個ずつに分けられるかを調べればいいんだ。」99 も 9 も 9 の倍数なので、9 の倍数の見分け方も同じ理由で成り立ちます。

(3) 正しくありません。反例は 13 です（$1 + 3 = 4$ ですが、13 は 4 の倍数ではありません）。(2) の説明が使えたのは 9 や 99 が 3 の倍数だからで、9 や 99 は 4 の倍数ではないので、4 では同じ説明が成り立たないのです。

戻る章：P1 第3章「計算のきまりと整数の性質」

(1) 1 辺 6 cm の正方形が 6 枚できます。正方形の 1 辺は、縦の 12 cm も横の 18 cm もちょうど区切れる長さ、つまり 12 と 18 の公約数（1, 2, 3, 6）で、そのうち最大の 6 が答えです。縦に 2 個、横に 3 個並ぶので 6 枚です。

(2) 1 辺 36 cm の正方形で、カードは 6 枚いります。カードを縦に積んだ高さは 12 の倍数、横に並べた幅は 18 の倍数にしかならないので、正方形の 1 辺は 12 と 18 の公倍数で、いちばん小さいのは 36 です。縦に 3 枚、横に 2 枚で 6 枚です。

(3) (1) は大きな長方形を小さな正方形に「分ける」問題で、正方形の 1 辺は 12 と 18 の両方をわり切る数、つまり公約数です。(2) は小さなカードを「集めて」大きな正方形を作る問題で、正方形の 1 辺は 12 でも 18 でもわり切れる数、つまり公倍数です。求める長さが 12 cm や 18 cm より短くなるか長くなるかを考えると、取り違えを防げます。

戻る章：P1 第3章「計算のきまりと整数の性質」

(1) 正しい式は $1500 \times 0.6$ で、代金は 900 円です。2 kg なら $1500 \times 2$ 円、3 kg なら $1500 \times 3$ 円で、「1 kg あたりの値段 × 量」という関係は、量が小数になっても変わりません。「1500 円より安いはず」という見当は正しく、900 円はそれに合います。一方、子どもの式では $1500 \div 0.6 = 2500$ 円となり、自分の見当とも矛盾します。

誤りは「かけ算をすると大きくなる」という思い込みです。大きくなるのは、かける数が 1 より大きいときだけです（整数でも、$\times 1$ では変わらず、$\times 0$ では 0 になります）。0.1 kg が 150 円で、その 6 つ分が 900 円、と考えると意味がわかります。

(2) 正しくは「24 あまり 0.2」です。確かめると $0.3 \times 24 + 0.2 = 7.4$ で合いますが、「あまり 2」では $0.3 \times 24 + 2 = 9.2$ になってしまいます。

筆算では、両方の小数点を右に 1 けた移して $74 \div 3$ を計算します。わられる数とわる数を同じように 10 倍しても商は変わりませんが、あまりは 10 倍されたままです。0.1 を単位にすると、7.4 は 0.1 が 74 個で、それを 3 個ずつ取ると 24 回取れて、0.1 が 2 個、つまり 0.2 があまります。あまりの小数点は、もとのわられる数の小数点にそろえて打ちます。

戻る章：P1 第4章「分数と小数」

(1) $\displaystyle \frac{1}{3}$ にさらに $\displaystyle \frac{1}{4}$ をたしたのだから、答えは $\displaystyle \frac{1}{3}$ より大きくなるはずです。ところが $\displaystyle \frac{2}{7}$ は $\displaystyle \frac{1}{3}$ より小さい（$\displaystyle \frac{2}{7} = \frac{6}{21}$、$\displaystyle \frac{1}{3} = \frac{7}{21}$）ので、おかしいとわかります。

(2) 正しくは $\displaystyle \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$ です。

説明の例：「$\displaystyle \frac{1}{3}$ は、1 を 3 つに等しく分けた 1 つ分。$\displaystyle \frac{1}{4}$ は、4 つに分けた 1 つ分。大きさが違うから、『1 つと 1 つで 2 つ』とは数えられないね。どちらも同じ大きさで数えられるように、1 を 12 に分けてみよう。」

1/3        ■■■■□□□□□□□□
1/4        ■■■□□□□□□□□□
1/3+1/4    ■■■■■■■□□□□□

「$\displaystyle \frac{1}{3}$ は 12 に分けた 4 つ分、$\displaystyle \frac{1}{4}$ は 3 つ分。合わせて 7 つ分だから $\displaystyle \frac{7}{12}$ だよ。」

分数のたし算は、同じ大きさの 1 つ分（単位分数）がいくつあるかを数える計算です。通分は数える単位をそろえることで、「3 m と 20 cm をたすときは単位をそろえる」のと同じ考え方です。なお、分母どうし・分子どうしをたす計算は、「シュートが 3 回中 1 回と 4 回中 1 回入ったので、合わせて 7 回中 2 回」のような場面では意味をもちます。子どもの誤りは、分数をこの「いくつのうちのいくつ」という意味で見ていることから来ている場合があります。

戻る章：P1 第4章「分数と小数」

(1) 1 m あたりの重さは「重さ ÷ 長さ」なので、$\displaystyle \frac{5}{6} \div \frac{3}{4} = \frac{5}{6} \times \frac{4}{3} = \frac{20}{18} = \frac{10}{9}$ で、答えは $\displaystyle \frac{10}{9}$ kg（$\displaystyle 1\frac{1}{9}$ kg）です。「2 m で 6 kg なら、1 m では $6 \div 2 = 3$ kg」と同じ形の式です。

(2) 次のうち 2 つが書けていれば十分です。

説明 1（1 m に戻して考える）：$\displaystyle \frac{3}{4}$ m は $\displaystyle \frac{1}{4}$ m の 3 つ分なので、$\displaystyle \frac{1}{4}$ m の重さは $\displaystyle \frac{5}{6} \div 3 = \frac{5}{18}$ kg です。1 m は $\displaystyle \frac{1}{4}$ m の 4 つ分なので、1 m の重さは $\displaystyle \frac{5}{18} \times 4 = \frac{20}{18} = \frac{10}{9}$ kg です。まとめると

で、「わる数の分子の 3 でわり、分母の 4 をかける」ことが、$\displaystyle \frac{4}{3}$ をかけることになっています。長さと重さの 2 本の数直線を上下にかいて対応させると、子どもに伝わりやすくなります。

説明 2（わり算の性質）：わられる数とわる数に同じ数をかけても商は変わりません（$6 \div 2 = 12 \div 4$ など）。わる数を 1 にするために、両方に $\displaystyle \frac{4}{3}$ をかけると

です。

説明 3（通分する）：通分すると $\displaystyle \frac{10}{12} \div \frac{9}{12}$ で、$\displaystyle \frac{1}{12}$ を単位にすれば 10 個 ÷ 9 個なので、$\displaystyle 10 \div 9 = \frac{10}{9}$ です。

説明 4（かけ算の逆）：答えは「□ × $\displaystyle \frac{3}{4}$ = $\displaystyle \frac{5}{6}$ となる □」で、$\displaystyle \frac{3}{4}$ をかける前に戻すには逆数の $\displaystyle \frac{4}{3}$ をかければよいので、□ = $\displaystyle \frac{5}{6} \times \frac{4}{3}$ です。

戻る章：P1 第4章「分数と小数」

(1) 有限小数になるのは $\displaystyle \frac{3}{8} = 0.375$ と $\displaystyle \frac{6}{15} = 0.4$ です。$\displaystyle \frac{7}{12} = 0.58333\ldots$ と $\displaystyle \frac{5}{14} = 0.3571428571\ldots$ は循環小数です。

見分け方：約分してから分母を素数のかけ算に分解し、現れる素数が 2 と 5 だけなら有限小数、3 や 7 などが入っていれば循環小数です。$8 = 2 \times 2 \times 2$、$12 = 2 \times 2 \times 3$、$14 = 2 \times 7$ です。$\displaystyle \frac{6}{15}$ は約分すると $\displaystyle \frac{2}{5}$ になるので、約分前の 15 に 3 が入っていることに惑わされてはいけません。

理由：有限小数は、分母が 10, 100, 1000, … の分数で書ける数で、$10 = 2 \times 5$ です。分母が 2 と 5 だけでできていれば、分母と分子に 2 や 5 を補ってかけて、分母を 10, 100, 1000, … にできます（$\displaystyle \frac{3}{8} = \frac{3 \times 125}{8 \times 125} = \frac{375}{1000}$）。逆に、約分しきった分数の分母に 3 や 7 が入っていると、分母をそのような形にはできません（大人向けに言うと、たとえば $\displaystyle \frac{p}{q} = \frac{N}{1000}$ なら $p \times 1000 = N \times q$ です。$q$ の素因数はどれも $p \times 1000$ をわり切り、$p$ はわり切らないので 1000 をわり切ります。つまり 2 か 5 です）。

(2) この意見は正しくなく、$0.999\ldots$ は 1 とちょうど等しい数です。

• $\displaystyle \frac{1}{3} = 0.333\ldots$ の両辺を 3 倍すると、$1 = 0.999\ldots$ です。
• $0.999\ldots$ は 0.9, 0.99, 0.999, … のどれよりも小さくないので、1 との差は 0.1, 0.01, 0.001, … のどれよりも大きくありません。差が 0 より大きいとすると、9 を十分たくさん並べたところで差がそれより小さくなってしまうので、差は 0 しかありえません。

「ほんの少し小さい」と感じるのは、$0.999\ldots$ を「9 を書き足している途中」と見ているからです。$0.999\ldots$ は、0.9, 0.99, 0.999, … が限りなく近づいていく先の1 つの数を表します。$\displaystyle \frac{1}{2} = \frac{2}{4}$ と同じように、同じ数に 2 通りの書き方があるだけです。

戻る章：P1 第4章「分数と小数」

(1) 正しい定価は 2000 円です。20% 引きの値段は、定価を 1 とみたときの 0.8 にあたるので「定価 × 0.8 = 1600 円」で、定価は $1600 \div 0.8 = 2000$ 円です（確かめ：2000 円の 20% は 400 円で、$2000 - 400 = 1600$）。

「20%」は定価をもとにした割合です。$1600 \times 1.2$ は 1600 円をもとにして 20% 増やす計算なので、もとにする量がずれています（1920 円の 20% 引きは 1536 円で、1600 円になりません）。まず「何をもとにする量（1）とみるか」を決め、図に「定価 → ×0.8 → 1600 円」と書き込むと、わり算でもとに戻ればよいことが見えます。

(2) 36% 引きです。$5000 \times 0.8 = 4000$ 円、$4000 \times 0.8 = 3200$ 円で、$3200 \div 5000 = 0.64$、つまり定価の 64% です。40% 引きにならないのは、2 回目の 20% が 4000 円をもとにした割合で、値引きが 800 円だからです。割合を続けて使うときは、$0.8 \times 0.8 = 0.64$ のようにかけ算で組み合わせます。

戻る章：P1 第5章「割合・比・比例」

比例するのは (a) だけです。比例とは、「$x$ が 2 倍、3 倍、… になると、$y$ も 2 倍、3 倍、… になる」関係、言いかえると「$y$ = 決まった数 × $x$」と表せる関係です。

• (a) $y = 80 \times x$ です。$x$ が 1, 2, 3 のとき $y$ は 80, 160, 240 です。
• (b) $y = x + 4$ です。$x$ が 2 から 4 へ 2 倍になっても、$y$ は 6 から 8 で 2 倍になりません。一定なのは差（$y - x = 4$）です。
• (c) $x \times y = 24$ です。$x$ が 2 倍になると $y$ は $\displaystyle \frac{1}{2}$ 倍になります。これは反比例です。
• (d) $y = x \times x$ です。$x$ が 2 倍になると $y$ は 4 倍になります（中学校では「$y$ は $x$ の 2 乗に比例する」と言い、別の関数として学びます）。

(b) も (d) も「$x$ が増えると $y$ も増える」のに比例ではありません。比例は「増える」ことだけでなく、「どのように増えるか」（2 倍なら 2 倍）まで決める関係です。比例のときは $x$ が 0 なら $y$ も 0 で、グラフは 0 の点を通る直線になります。

戻る章：P1 第5章「割合・比・比例」

(1) 正しい面積は $6 \times 4 = 24$ cm² です。上の辺の端の頂点から底辺に垂直な線を下ろし、切り取った直角三角形を反対側に移すと、縦 4 cm（高さ）、横 6 cm（底辺）の長方形になります。切って動かしただけなので、面積は変わりません。面積とは「1 cm² の正方形が何個分あるか」で、長方形にすればその個数を「縦 × 横」で数えられるのです。

$6 \times 5$ が誤りであることは、辺の長さを変えずに平行四辺形をだんだんななめに倒していくと考えるとわかります。辺はずっと 6 cm と 5 cm なのに、面積はどんどん小さくなります（最後はぺしゃんこで 0 です）。面積は辺の長さではなく、高さで決まるのです。

(2) 1 m² は 10000 cm² です。説明の例：「1 m² は、1 辺 1 m の正方形の広さだね。1 m は 100 cm だから、1 辺 1 cm の正方形が横に 100 個並び、それが縦に 100 列ある。全部で $100 \times 100 = 10000$ 個だよ。」1 m = 100 cm を面積にそのまま使ったのが誤りで、面積は縦と横の両方が 100 倍になります。同じ考えで、1 L（1 辺 10 cm の立方体）は $10 \times 10 \times 10 = 1000$ cm³ です。

戻る章：P1 第6章「図形と量」

(1) 円周率は「円周の長さ ÷ 直径」の値です。円はどれも互いに拡大図・縮図の関係にあるので、直径が 2 倍になれば円周も 2 倍になり、この値はどの円でも同じになります。その値は 3.14159… と小数がどこまでも続き、くり返しもしない数（無理数）であることが知られています。3.14 は円周率そのものではなく、小学校の計算で使う近似値です。「円周率は 3.14」とだけ覚えていると、「どの円でも、円周 ÷ 直径が同じ値になる」という意味が抜け落ちてしまいます。

(2) 説明の例：円を 16 個、32 個、… の同じ形のおうぎ形に等分し、上向きと下向きを交互にして横に並べると、平行四辺形のような形になります。上の辺と下の辺には、おうぎ形の弧が半分ずつ並ぶので、長さはそれぞれ円周の半分、つまり（直径 × 円周率）÷ 2 = 半径 × 円周率 です。高さは円の半径です。細かく分けるほど、この形は縦が半径、横が「半径 × 円周率」の長方形に近づきます。並べかえても面積は変わらないので、円の面積 = 半径 × 半径 × 円周率 となります。

大人向けの注意：何等分しても、ぴったり長方形にはなりません。「いくらでも長方形に近づくので、面積はその長方形の面積に等しい」と考えるところに極限の考え方が使われていて、これを正確にしたのが積分です。

戻る章：P1 第6章「図形と量」

(1) 正しくありません。中央値は、小さい順に並べたときに真ん中（9 人なので 5 番目）にくる値で、2 冊です。4 冊以上読んだのは 2 人だけです。平均値は「全員の冊数をならして同じにしたときの 1 人分」（36 冊 ÷ 9 人）なので、20 冊という飛びぬけた値に引っぱられて大きくなっています。「真ん中くらいの人がどのくらいか」を知りたいときは、中央値のほうが適しています。

(2) 委員長と副委員長の選び方は 20 通り、2 人の当番の選び方は 10 通りです。委員長の選び方が 5 通りあり、そのそれぞれについて副委員長は残りの 4 人から選ぶので、$5 \times 4 = 20$ 通りです（樹形図では、枝が 5 本に分かれ、それぞれがさらに 4 本に分かれます）。

当番の場合は、「委員長 A・副委員長 B」と「委員長 B・副委員長 A」が、どちらも「A と B の 2 人」という同じ選び方になります。どの 2 人の組も 20 通りの中で 2 回ずつ数えられているので、$20 \div 2 = 10$ 通りです（AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE）。「順番を区別するかどうか」を最初に確かめることが、落ちや重なりなく数える鍵です。

戻る章：P1 第7章「データの活用と場合の数」