図形と量

この章の目標

• 角の大きさを「回転の量」として理解し、三角形の内角の和が $180^\circ$ になることを、実験と論証の違いを区別しながら説明できる
• 平行・垂直、三角形・四角形の仲間関係、合同・対称・拡大図と縮図の意味を説明できる
• 面積を「単位正方形がいくつ入るか」として理解し、平行四辺形・三角形・台形の面積の公式がなぜそうなるかを、図を使って説明できる
• 円周率が「円周 ÷ 直径」で、どの円でも同じ値になること、$3.14$ は近似値であることを説明できる
• 円の面積が「半径 × 半径 × 円周率」になる理由を、おうぎ形を並べかえる方法で説明できる
• 体積の意味と、L・mL と cm³ の関係を説明できる

前提：第2章 かけ算とわり算の意味（アレイ図）、第4章 分数と小数、第5章 割合・比・比例（比と比例）。小学校の算数を一度学んでいれば読めます

学年の目安：小学 1〜6 年（三角形の内角の和・合同・平行四辺形や三角形の面積の公式・円周率は 5 年、対称・拡大図と縮図・円の面積は 6 年。教科書によって前後します）

子どもにこう聞かれたら、どう答えますか。

• 「三角形の角を全部たすと、どうしていつも $180^\circ$ になるの？ 測ったら $179^\circ$ だったよ」
• 「三角形の面積は、どうして最後に 2 でわるの？」
• 「円の面積は、なぜ『半径 × 半径 × 3.14』なの？ 直径じゃだめなの？」

図形の公式は、算数の中でも「覚えるもの」と思われがちです。しかし、小学校で学ぶ面積や体積の公式は、どれも知っている形に変形するという一つの考え方から導けます。この章では、角・平行・合同・対称・拡大といった図形の基本を確かめたうえで、面積・体積の公式がなぜそうなるのかを図で確かめ、円周率と円の面積までたどり着きます。また、小学校で行う「確かめる」活動が、中学校の「証明する」とどう違い、どうつながるのかも見ていきます。

なお、この章でいう整数は、小学校の算数と同じく $0, 1, 2, 3, \dots$ のことです。

何年生で習う？

現行の学習指導要領（2017 年告示、2020 年度から実施）にもとづく目安です。実際に扱う時期は、教科書によって少し前後します。

6.1 角と角度

角とは何か

3 年生で、角は次のように導入されます。

定義 6.1（角）1 つの点から出ている 2 本のまっすぐな線がつくる形を角といいます。その点を角の頂点、2 本の線を角の辺といいます。

辺は、頂点から一方の向きにだけのびるまっすぐな線です（中学校では、このような線を半直線と呼びます）。両方向に限りなくのびる「直線」とは区別しておきます。

ここで大事なのは、角の大きさは辺の長さとは関係がないことです。2 本の辺を長くかいても短くかいても、開き具合が同じなら同じ大きさの角です。

4 年生では、角の大きさを数で表します。1 本の辺を頂点のまわりに回転させたとき、どれだけ回したかが角の大きさです。

定義 6.2（角の大きさ・度）1 回転を 360 等分した 1 つ分の回転の大きさを 1 度といい、$1^\circ$ と書きます。1 回転は $360^\circ$、半回転は $180^\circ$、直角（$\displaystyle \frac{1}{4}$ 回転）は $90^\circ$ です。角の大きさは分度器で測ります。

角を「開き具合」だけでなく「回転の量」としてとらえると、$180^\circ$ より大きい角（たとえば $270^\circ$）も自然に考えられます。半回転させた辺は、もとの辺と一直線になります。一直線を「$180^\circ$ の角」とみることが、次の節の三角形の内角の和で効いてきます。

注意 6.3 なぜ 1 回転を 360 に分けるのかには、決まった答えはありません。古代メソポタミアで 60 を単位とする数え方（六十進法）が使われていたこと、1 年がおよそ 360 日であること、などが由来として挙げられますが、はっきりしたことはわかっていません。数学的には、360 が $2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, \dots$ と多くの数でわり切れて、$\displaystyle \frac{1}{3}$ 回転や $\displaystyle \frac{1}{8}$ 回転が整数の度で表せるという便利さがあります。高校では、角の大きさを弧の長さで測る弧度法（$180^\circ$ を $\pi$ とする）も学びます。

6.2 平行と垂直

定義 6.4（垂直・平行）2 本の直線が直角に交わるとき、この 2 本の直線は垂直であるといいます。1 本の直線に垂直な 2 本の直線は、平行であるといいます。

小学校では、平行を「1 本の直線に垂直な 2 本の直線」として定義します。中学校以降の「同じ平面上で交わらない 2 本の直線」という定義とは言い方が違いますが、平面の上では同じものを指しています。4 年生では、平行な直線について次のことを学びます。

性質 6.5（平行な直線の性質）平行な 2 本の直線について、次のことが成り立ちます。

1. どこまでのばしても交わりません。
2. 2 本の直線の間の幅（一方の直線上の点から他方の直線へひいた垂直な線の長さ）は、どこでも等しくなります。
3. 平行な 2 本の直線に別の直線が交わるとき、その直線とつくる角の大きさは等しくなります。

3 番目の性質は、中学校で同位角と呼ぶ角が等しい、ということです。小学校では三角定規 2 枚をずらして平行線をひく作業を通して、この性質に触れます。三角定規をずらしてもかたむきは変わらないので、ひいた直線どうしはほかの直線と同じ角度で交わり、平行になるのです。

この性質は、次の節で三角形の内角の和を説明するときの土台になります。実は、平面の幾何学の中で「平行線」に関わる性質は特別な役割をもっていて、それを認めない幾何学も考えられます（6.3 節の「この先の数学では」）。

6.3 三角形の内角の和はなぜ 180° か

小学校での確かめ方

三角形の内側の 3 つの角を内角といいます。5 年生では、三角形の内角の和を次のような方法で調べます。

1. いろいろな三角形をかいて、3 つの角を分度器で測って足す。
2. 紙の三角形の 3 つの角をちぎって（または切って）、頂点を 1 つの点に集めて並べる。
3. 合同な三角形をすき間なく敷き詰めて、1 つの点のまわりに集まる角を見る。

2 の方法では、3 つの角がすき間なく並んで一直線になります。一直線は $180^\circ$ なので、3 つの角の和は $180^\circ$ だとわかります。

性質 6.6（三角形の内角の和）どんな三角形でも、3 つの内角の大きさの和は $180^\circ$ です。

実験は証明ではない

ここで大人として正直に認めておくべきことがあります。上の 3 つの方法は、どれも実験であって証明ではありません。

• 分度器で測ると誤差が出ます。子どもが「$179^\circ$ になった」「$182^\circ$ になった」と言うのは、測り方が悪いからではなく、測定には必ず誤差があるからです。測定だけでは、「ちょうど $180^\circ$」なのか「ほぼ $180^\circ$」なのかは決められません。
• ちぎって並べる方法も、紙の端はでこぼこしていて、「ぴったり一直線」かどうかは目で見て判断しているだけです。
• いくつの三角形で試しても、試したのは有限個の三角形です。「どんな三角形でも」成り立つことは、何個試しても確かめきれません。

それでも、小学校でこの実験を行うことには大きな意味があります。いろいろな三角形で試して同じ結果になると、「いつでも $180^\circ$ になりそうだ」という予想が立ち、「なぜだろう」という問いが生まれます。この予想を、すべての三角形について理由をつけて示すのが中学 2 年で学ぶ証明です。

注意 6.7 小学校では、実験や測定で「確かめる」活動が中心で、「証明」という言葉を使って理由を示す学習は中学 2 年から始まります。子どもが「何回やっても $180^\circ$ になったから、絶対そうだよ」と言ったら、その観察をほめたうえで、「1000 個の三角形で試しても、1001 個目はわからないよね。全部の三角形で $180^\circ$ になる理由はあるかな？」と問いかけると、証明の必要性に気づくきっかけになります。

平行線を使った説明（中学校の証明）

大人のための証明. 三角形 ABC の頂点 A を通り、辺 BC に平行な直線をひきます。

平行な 2 本の直線（ひいた直線と、辺 BC をのばした直線）に、直線 AB が交わっています。このとき、図の 2 つの「あ」の角（中学校で錯角と呼ぶ位置の角）は等しくなります。錯角が等しいことは、性質 6.5 の 3（同位角が等しいこと）と、交わる 2 本の直線がつくる向かい合った角（対頂角）が等しいことから導けます。同じように、直線 AC についても 2 つの「う」の角は等しくなります。

すると、A のまわりには「あ」「い」「う」がすき間なく並んでいて、合わせて一直線、つまり $180^\circ$ です。「あ」「い」「う」は三角形 ABC の 3 つの内角なので、内角の和は $180^\circ$ です。$\square$

この説明は、紙の三角形の角をちぎって並べる実験と、まったく同じ形をしています。ちぎった角を「並べて確かめる」かわりに、平行線を使って「同じ大きさの角が、ちょうどその場所にできる理由」を示しているのです。この説明は特定の三角形によらないので、どんな三角形にも当てはまります。

多角形の角の和

三角形の内角の和がわかると、ほかの多角形の内角の和も求められます。

例 6.8 四角形は、1 本の対角線で 2 つの三角形に分けられます。2 つの三角形の内角を合わせると、ちょうど四角形の 4 つの内角になるので、四角形の内角の和は $180^\circ \times 2 = 360^\circ$ です。同じように、五角形は 1 つの頂点からひいた対角線で 3 つの三角形に、六角形は 4 つの三角形に分けられるので、内角の和はそれぞれ $540^\circ, 720^\circ$ です。一般に、辺の数が 1 つ増えるごとに三角形が 1 つ増えるので、多角形の内角の和は「$180^\circ \times$（辺の数 $- 2$）」です。

6.4 三角形と四角形の性質

三角形の仲間

定義 6.9（いろいろな三角形）2 つの辺の長さが等しい三角形を二等辺三角形、3 つの辺の長さが等しい三角形を正三角形、1 つの角が直角である三角形を直角三角形といいます。

二等辺三角形の 2 つの底角（等しい 2 辺にはさまれていない 2 つの角）は等しく、正三角形の 3 つの角は等しくて $180^\circ \div 3 = 60^\circ$ です。正三角形は 3 つの辺がどれも等しいので、どの 2 辺に注目しても二等辺三角形です。つまり正三角形は二等辺三角形の特別な場合です。

四角形の仲間

定義 6.10（いろいろな四角形）

• 向かい合った 1 組の辺が平行な四角形を台形といいます。
• 向かい合った 2 組の辺がどちらも平行な四角形を平行四辺形といいます。
• 4 つの辺の長さがすべて等しい四角形をひし形といいます。
• 4 つの角がすべて直角な四角形を長方形といいます。
• 4 つの角がすべて直角で、4 つの辺の長さがすべて等しい四角形を正方形といいます。

性質 6.11（平行四辺形の性質）平行四辺形では、向かい合った辺の長さは等しく、向かい合った角の大きさも等しくなります。また、2 本の対角線は、それぞれの真ん中の点で交わります。

ひし形・長方形・正方形は、どれも平行四辺形の特別な場合です（ひし形や長方形が平行四辺形になることは、中学校で証明します）。それぞれの仲間関係を図にすると、次のようになります。

対角線の性質で比べると、違いがはっきりします。

6.5 合同

定義 6.12（合同）2 つの図形がぴったり重なるとき、この 2 つの図形は合同であるといいます。裏返して重なる場合も合同です。重なり合う頂点・辺・角を、それぞれ対応する頂点・辺・角といいます。

合同な図形では、対応する辺の長さも、対応する角の大きさもそれぞれ等しくなります。

5 年生では、「ある三角形と合同な三角形をかくには、どこを測ればよいか」を考えます。3 つの辺と 3 つの角を全部測らなくても、次のどれかがわかれば三角形の形と大きさは 1 つに決まります。

性質 6.13（合同な三角形のかき方）次のどれかがわかれば、もとの三角形と合同な三角形がかけます。

1. 3 つの辺の長さ
2. 2 つの辺の長さと、その間の角の大きさ
3. 1 つの辺の長さと、その両端の角の大きさ

これが中学 2 年で学ぶ三角形の合同条件のもとになります。たとえば 1 では、1 辺をかいたあと、両端からコンパスでそれぞれの長さの円をかけば、交わる点（の片側）が 3 つ目の頂点に決まります。

例 6.14 四角形は、4 つの辺の長さだけでは形が決まりません。1 辺 3 cm の正方形と、1 辺 3 cm の（正方形でない）ひし形は、4 辺の長さがすべて同じなのに合同ではありません。ストローとひもで四角形を作ると、角の部分でぐにゃりと曲がって、正方形がひし形につぶれてしまいます。ところが三角形は、3 辺の長さが決まると形が 1 つに決まる（性質 6.13 の 1）ので、つぶれません。橋や鉄塔の骨組みに三角形がたくさん使われているのはこのためです。

6.6 対称

線対称と点対称

定義 6.15（線対称）1 本の直線を折り目にして折ったとき、両側がぴったり重なる図形を線対称な図形といい、その直線を対称の軸といいます。

定義 6.16（点対称）1 つの点のまわりに $180^\circ$ 回転させたとき、もとの図形にぴったり重なる図形を点対称な図形といい、その点を対称の中心といいます。

対称な図形で重なり合う点を、対応する点といいます。

性質 6.17（対応する点の性質）

1. 線対称な図形では、対応する 2 つの点を結ぶ直線は、対称の軸と垂直に交わります。また、交わる点から対応する 2 つの点までの長さは等しくなります。
2. 点対称な図形では、対応する 2 つの点を結ぶ直線は、対称の中心を通ります。また、対称の中心から対応する 2 つの点までの長さは等しくなります。

この性質を使うと、図形の半分（線対称）や、ある部分（点対称）がかいてあるとき、残りを正確にかき足すことができます。

身近な図形の対称

正多角形は、辺の数と同じ本数の対称の軸をもちます。また、辺の数が偶数の正多角形は点対称、奇数の正多角形は点対称ではありません。

6.7 拡大図と縮図

形が同じとはどういうことか

コピー機で 200% に拡大すると、写真や図は「同じ形のまま大きく」なります。この「同じ形」とは何でしょうか。

定義 6.18（拡大図・縮図）もとの図形と比べて、対応する角の大きさがそれぞれ等しく、対応する辺の長さの比がすべて等しくなるように大きくした図を拡大図、小さくした図を縮図といいます。対応する辺の長さを 2 倍にした拡大図を 2 倍の拡大図、$\displaystyle \frac{1}{2}$ にした縮図を $\displaystyle \frac{1}{2}$ の縮図といいます。

大切なのは、長さを同じ数だけ足すのではなく、同じ数をかけることです。

縦 2、横 3 の長方形の縦と横にそれぞれ 2 を足すと、縦 4、横 5 になります。縦と横の比が $2 : 3$ から $4 : 5$ に変わり、対角線の傾きが変わってしまうので、形が変わります。縦と横を 2 倍して縦 4、横 6 にすれば、比は $2 : 3$ のままで、同じ形になります。比が等しいかどうかは、第5章 の比の考え方そのものです。

拡大すると面積は何倍か

性質 6.19（拡大図の面積）2 倍の拡大図の面積は、もとの図形の $2 \times 2 = 4$ 倍です。3 倍の拡大図なら $3 \times 3 = 9$ 倍、$\displaystyle \frac{1}{2}$ の縮図なら $\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ です。

上の図でも、もとの長方形は 6 マス、2 倍の拡大図は 24 マスで 4 倍になっています。縦も横も 2 倍になるので、マスの数は「2 倍の 2 倍」になるのです。長方形以外の形でも、方眼のマス 1 つ 1 つが縦横 2 倍、つまり 4 倍の大きさのマスに拡大されると考えれば、同じことがいえます。立体なら縦・横・高さの 3 方向が 2 倍になるので、体積は $2 \times 2 \times 2 = 8$ 倍です。

例 6.20（縮尺）地図は実際の土地の縮図です。縮尺 $1 : 25000$ の地図では、地図上の 1 cm は実際の $25000$ cm $= 250$ m を表します。地図上で 4 cm の道のりは、実際には $4 \times 250 = 1000$ m、つまり 1 km です。6 年生では、縮図をかいて、直接は測れない木の高さや川の幅を求める活動もします。

6.8 面積の意味

広さを数で表す

「どちらが広いか」を比べる方法は、長さやかさと同じ 4 つの段階をたどって発展します。

1. 直接比べる：2 枚の紙を重ねて、はみ出したほうが広い。
2. 別のものを使って比べる：動かせないものは、写し取ってから重ねる。
3. いくつ分で比べる：同じ大きさのタイルを敷き詰めて、何枚分かを数える。
4. 決まった単位で表す：世界共通の大きさの正方形（1 辺 1 cm など）がいくつ分かで表す。

3 の段階で使うタイルが人によって違うと、「タイル 8 枚分」と言っても伝わりません。そこで共通の単位を決めます。

定義 6.21（面積）広さのことを面積といいます。1 辺が 1 cm の正方形の面積を 1 平方センチメートルといい、1 cm² と書きます。面積は、この単位正方形がいくつ分あるかで表します。

性質 6.22（長方形の面積）長方形の面積は「縦 × 横」、正方形の面積は「1 辺 × 1 辺」で求められます。

縦 3 cm、横 4 cm の長方形には、1 cm² の正方形が縦に 3 個、横に 4 列並ぶので、$3 \times 4 = 12$ 個入ります。これは、かけ算のアレイ図（第2章）と同じ数え方です。辺の長さが小数や分数の場合も、単位正方形をさらに細かく分けて数えれば、同じ「縦 × 横」で求められます（第4章の面積図）。

面積の単位は、1 辺の長さを変えた正方形で決めます。

面積がもつ性質

面積の公式を導く前に、大人向けに、面積がもっている基本的な性質を確認しておきます。

性質 6.23（面積の基本的な性質）

1. 1 辺 1 cm の正方形の面積は 1 cm² です。
2. 合同な図形の面積は等しくなります（図形を動かしたり、裏返したりしても面積は変わりません）。
3. 図形をいくつかに分けたとき、もとの図形の面積は、分けた図形の面積の和です。

次の節の公式は、すべてこの 3 つだけを使って導きます。図形を切って並べかえても面積が変わらないのは 2 と 3 のおかげで、こうして面積を変えずに形を変えることを、広く等積変形といいます。

6.9 面積の公式はなぜそうなるか

小学校の面積の公式は、どれも「すでに面積の求め方を知っている形に変える」ことで導けます。順番が大切で、長方形 → 平行四辺形 → 三角形 → 台形・ひし形 と進みます。

平行四辺形

平行四辺形の 1 つの辺を底辺としたとき、底辺と、それに向かい合う辺との間の垂直な幅を高さといいます（平行な 2 本の直線の幅は、どこで測っても等しいのでした。性質 6.5 の 2）。

平行四辺形の左端の直角三角形を、高さの線にそって切りとり、右端に移します。平行四辺形の左右の辺は平行で長さも等しいので、切りとった三角形は右端にぴったりはまり、横が底辺、縦が高さの長方形になります。面積は変わらない（性質 6.23）ので、次がわかります。

性質 6.24（平行四辺形の面積）平行四辺形の面積 ＝ 底辺 × 高さ

注意 6.25 平行四辺形がとても傾いていると、上の頂点から下ろした高さの線が底辺の外に出てしまい、1 回切るだけでは長方形になりません。このときは、平行四辺形を底辺に平行な線で何枚かの細い帯に切り分けます。帯 1 枚 1 枚は傾きが同じで高さが低いので、どの帯でも高さの線が底辺の内側に入り、それぞれを長方形に変えられます。並べた長方形を積み重ねると、やはり横が底辺、縦が高さの長方形になります。

三角形

三角形の 1 つの辺を底辺としたとき、向かい合う頂点から底辺（またはそれをのばした直線）に垂直にひいた線の長さを高さといいます。

合同な三角形を 2 つ用意し、一方を $180^\circ$ 回して辺どうしを合わせると、平行四辺形ができます（合わせた辺の両端で、2 つの三角形の角がちょうど平行四辺形の角をつくります）。この平行四辺形は、底辺も高さももとの三角形と同じです。三角形はその半分なので、次がわかります。

性質 6.26（三角形の面積）三角形の面積 ＝ 底辺 × 高さ ÷ 2

「÷ 2」は、同じ三角形 2 つで平行四辺形ができることから来ています。右の図のように、高さが三角形の外にある場合でも、2 つ合わせると平行四辺形になること（注意 6.25 のような傾いた平行四辺形になります）は変わらないので、同じ公式が使えます。

等積変形：形が違っても面積が同じ三角形

性質 6.26 から、三角形の面積は底辺と高さだけで決まります。つまり、底辺が同じで高さも同じなら、形が違っても面積は等しくなります。

底辺 BC に平行な直線の上で頂点をどこへ動かしても、高さは平行線の幅で一定なので、面積は変わりません。これも等積変形の一つで、中学校の図形の問題でもよく使われる考え方です。

台形

台形の平行な 2 つの辺を上底・下底、その間の幅を高さといいます。

合同な台形を 2 つ用意し、一方を $180^\circ$ 回して横に並べると、平行四辺形ができます。その底辺は「上底 ＋ 下底」、高さは台形の高さと同じです。台形はその半分なので、次がわかります。

性質 6.27（台形の面積）台形の面積 ＝（上底 ＋ 下底）× 高さ ÷ 2

上底を 0 にすると三角形の公式に、上底と下底を等しくすると平行四辺形の公式になります。台形の公式は、三角形と平行四辺形の公式を両方含んでいるのです。台形の面積は、対角線で 2 つの三角形に分けても求められます（問題 6.6）。

ひし形

性質 6.28（ひし形の面積）ひし形の面積 ＝ 対角線 × 対角線 ÷ 2

ひし形の 2 本の対角線は垂直に交わり、互いに真ん中の点で交わります。ひし形をちょうど囲む長方形（各辺が対角線に平行で、ひし形の 4 つの頂点を通る長方形）をかくと、縦と横はそれぞれ 2 本の対角線の長さに等しくなります。この長方形は、ひし形の 2 本の対角線で 4 つの小さな長方形に分かれ、その 1 つ 1 つがひし形の辺で 2 つの合同な直角三角形に分かれます。8 つの直角三角形のうち、ひし形の内側にあるのはちょうど 4 つです。だから、ひし形の面積は長方形のちょうど半分です。この考え方は、2 本の対角線が垂直に交わる四角形ならどれにでも使えます。

6.10 円周率

円とは

3 年生で、円は次のように学びます。

定義 6.29（円）1 つの点から長さが等しくなるようにかいた丸い形を円といいます。その点を円の中心、中心から円のまわりまでひいた直線を半径、中心を通って円のまわりからまわりまでひいた直線を直径といいます。直径の長さは半径の長さの 2 倍です。

コンパスで円がかけるのは、針と鉛筆の間の長さ（半径）が一定に保たれるからです。

円周 ÷ 直径はいつも同じ

5 年生では、円のまわりの長さ（円周）を調べます。缶や皿のまわりにひもや紙テープを巻きつけて長さを測り、直径でわると、どの円でも 3.1 くらいになります。

性質 6.30（円周と直径）どんな大きさの円でも、円周 ÷ 直径 は同じ値になります。

定義 6.31（円周率）円周 ÷ 直径 の値を円周率といいます。円周率は $3.14159\ldots$ と限りなく続く数で、算数ではふつう $3.14$ を使います。中学校からは記号 $\pi$（パイ）で表します。

性質 6.30 は、言いかえると「円周は直径に比例する」（第5章）ということです。なぜどの円でも同じ値になるのでしょうか。理由は、どの 2 つの円も、互いに拡大図・縮図の関係にあるからです。半径 2 cm の円は、半径 1 cm の円の 2 倍の拡大図です。円周にそって細かく折れ線をかいてその長さで円周を近似すると、拡大図では折れ線の長さもすべて 2 倍になるので、円周も 2 倍になります。直径も 2 倍なので、円周 ÷ 直径の値は変わりません。

注意 6.32 大人向けに補足すると、そもそも「曲線の長さ」とは何かは自明ではありません。数学では、曲線の上に点をとって結んだ折れ線の長さを考え、点を細かくとっていったときにその長さが近づいていく値として、曲線の長さを定義します。上の説明はこの考え方にもとづいています。

3.14 は近似値

円周率は、ちょうど 3.14 ではありません。3.14 は、限りなく続く $3.14159265\ldots$ の小数第三位以下を切り捨てた近似値です。円周率は分数で表せない数（無理数）で、小数で書くと循環しないまま限りなく続くことが、18 世紀にランベルトによって証明されています。

円周率がおよそどのくらいの数かは、円の内側と外側に多角形をかくとわかります。

• 円の内側にぴったり入る正六角形は、中心と結ぶと 6 つの正三角形に分かれるので、1 辺の長さは半径と同じです。周の長さは半径の 6 倍、つまり直径の 3 倍です。円周はこの正六角形のまわりより長いので、円周率は 3 より大きくなります。
• 円の外側にぴったり接する正方形は、1 辺が直径と同じなので、周の長さは直径の 4 倍です。円周はこれより短いので、円周率は 4 より小さくなります。

古代ギリシャのアルキメデス（紀元前 3 世紀）は、この方法を正九十六角形まで進めて、円周率が $\displaystyle 3\frac{10}{71}$ より大きく $\displaystyle 3\frac{1}{7}$ より小さいことを示しました。小数で書くと $3.1408\ldots$ と $3.1428\ldots$ の間で、ここから $3.14$ までは正しいとわかります。

6.11 円の面積はなぜ「半径 × 半径 × 円周率」か

おうぎ形に切って並べかえる

円を中心から細かく等分しておうぎ形に切り、向きを交互に変えて並べかえます。

並べかえた形は、細かく切るほど長方形に近づいていきます。その長方形の

• 縦は、おうぎ形の半径、つまり円の半径です。
• 横は、上に並んだ弧（青）を合わせた長さで、円周の半分です。円周は「直径 × 円周率」なので、その半分は「半径 × 円周率」です。

したがって、円の面積は「縦 × 横 ＝ 半径 ×（半径 × 円周率）」です。

性質 6.33（円の面積）円の面積 ＝ 半径 × 半径 × 円周率

例 6.34 半径 10 cm の円の面積は、円周率を 3.14 として $10 \times 10 \times 3.14 = 314$ cm² です。1 辺 20 cm の正方形（面積 400 cm²）の中にぴったり入る円なので、正方形の約 $\displaystyle \frac{314}{400} = 0.785$、つまり 8 割弱の広さです。

2 つの円周率

ここには、見落とされがちな不思議があります。円周率は「円周 ÷ 直径」として定義したものでした。それなのに、円の面積を表す式にも同じ円周率が現れます。「円の面積 ÷（半径 × 半径）」が一定であること自体は、性質 6.19（拡大すると面積は $k \times k$ 倍）からわかりますが、その一定の値が円周率と同じになる理由は、拡大だけからは出てきません。長さの円周率と面積の円周率が同じ値であることを示しているのが、このおうぎ形の並べかえなのです。

大人のための補足：「近づく」をきちんと考える

並べかえた形は、何等分しても弧の部分がでこぼこしていて、ぴったりの長方形にはなりません。「細かくすれば長方形に近づく」というのは極限の考え方で、小学校では直観的に認めています。

もう少していねいに考えるには、円の内側と外側にかいた正多角形で円をはさみます。円にぴったり外接する正多角形を、中心と各頂点を結んで三角形に分けると、どの三角形も高さが半径に等しいので、面積は「周の長さ × 半径 ÷ 2」です。内接する正多角形でも、高さ（中心から辺までの距離）を使って同じ形の式になります。辺の数を増やすと、内接・外接どちらの正多角形でも、周の長さは円周に、高さは半径に近づくので、その間にはさまれた円の面積は「円周 × 半径 ÷ 2 ＝ 半径 × 半径 × 円周率」でなければなりません。これがアルキメデスの方法の考え方です。厳密には「近づく」ことを極限として定義する必要があり、それは高校・大学の数学の仕事になります。

ちなみに、円を同心円の細い輪に切り分けて、それぞれを切り開いて伸ばし、短い順に積み重ねると、底辺が円周、高さが半径の三角形に近づきます。この見方でも、面積は「円周 × 半径 ÷ 2」になります。

6.12 体積

かさを数で表す

体積も、面積と同じように単位の立方体がいくつ分かで表します。

定義 6.35（体積）かさのことを体積といいます。1 辺が 1 cm の立方体の体積を 1 立方センチメートルといい、1 cm³ と書きます。体積は、この立方体がいくつ分あるかで表します。

性質 6.36（直方体の体積）直方体の体積は「縦 × 横 × 高さ」、立方体の体積は「1 辺 × 1 辺 × 1 辺」で求められます。

横 4 cm、奥行き 3 cm、高さ 2 cm の直方体には、1 段に $4 \times 3 = 12$ 個の 1 cm³ の立方体が並び、それが 2 段あるので $12 \times 2 = 24$ 個入ります。「縦 × 横」は 1 段に並ぶ個数、つまり底面積の数にあたります。

角柱・円柱

6 年生では、角柱や円柱の体積を学びます。

性質 6.37（角柱・円柱の体積）角柱・円柱の体積 ＝ 底面積 × 高さ

直方体の体積が「1 段分の個数 × 段の数」だったことを思い出すと、角柱や円柱も、底面と同じ形の厚さ 1 cm の板を積み重ねたものとみられます。厚さ 1 cm の板 1 枚の体積は、数としては底面積と同じ（底面積が 12 cm² なら 12 cm³）なので、高さの分だけ積み重ねれば「底面積 × 高さ」です。円柱なら、底面積は「半径 × 半径 × 円周率」なので、体積は「半径 × 半径 × 円周率 × 高さ」になります。

「同じ高さで切った断面の面積がいつも等しい 2 つの立体は、体積も等しい」という考え方は、17 世紀のイタリアの数学者カヴァリエリの名をとってカヴァリエリの原理と呼ばれます。板を少しずつずらして積んだ斜めの柱でも、まっすぐな柱と体積が同じになるのは、この原理によります。

単位の換算

かさの単位 L（リットル）と体積の単位 cm³ は、次のように結びついています。

単位の頭につく文字には、決まった意味があります。k（キロ）は 1000 倍、d（デシ）は $\displaystyle \frac{1}{10}$、c（センチ）は $\displaystyle \frac{1}{100}$、m（ミリ）は $\displaystyle \frac{1}{1000}$ です。1 km $= 1000$ m、1 kg $= 1000$ g、1 mL $\displaystyle = \frac{1}{1000}$ L、1 dL $\displaystyle = \frac{1}{10}$ L のように、長さ・重さ・かさで共通のしくみになっています。こうした単位の体系をメートル法といいます。

6.8 節のつまずきポイントで見たように、長さの単位が 100 倍の関係でも、面積や体積の単位の関係は違います。1 m $= 100$ cm でも、1 m² $= 10000$ cm²、1 m³ $= 1000000$ cm³ です。長さが 100 倍になると、面積は $100 \times 100$ 倍、体積は $100 \times 100 \times 100$ 倍になります。「1 L は 1 辺 10 cm の立方体」と、ます（升）の大きさを 1 つ実感として覚えておくと、ほかの関係も導きやすくなります。工作用紙で内側の 1 辺が 10 cm の立方体の箱を作り、1 L の水を移してみると、ほぼちょうどいっぱいになることが確かめられます。

まとめ

• 角の大きさは、辺の長さではなく開き具合（回転の量）で、1 回転を $360^\circ$ とします。一直線は $180^\circ$ です。
• 三角形の内角の和は $180^\circ$ です。角をちぎって並べるのは実験で、どんな三角形でも成り立つことの証明は、平行線の性質（同位角・錯角）を使って中学校で行います。
• 正方形は長方形でもひし形でもあり、長方形とひし形は平行四辺形の特別な場合です。図形の仲間分けは定義にもとづいて行います。
• 合同な図形は、対応する辺の長さと角の大きさがそれぞれ等しくなります。三角形は 3 辺の長さなどで形が 1 つに決まります。
• 線対称は「折ると重なる」、点対称は「$180^\circ$ 回すと重なる」図形です。
• 拡大図・縮図は、角の大きさを変えずに、すべての辺の長さに同じ数をかけた図です。長さを $k$ 倍すると、面積は $k \times k$ 倍、体積は $k \times k \times k$ 倍になります。
• 面積は単位正方形がいくつ分あるかで表します。平行四辺形・三角形・台形・ひし形の公式は、切って動かしたり、同じ図形を 2 つ合わせたりして、長方形や平行四辺形に変えることで導けます。
• 円周率は「円周 ÷ 直径」で、どの円も互いに拡大図・縮図なので、どの円でも同じ値です。$3.14$ は近似値で、正六角形と正方形で円をはさむと 3 と 4 の間にあることがわかります。
• 円の面積は、おうぎ形に切って並べかえた形が「縦が半径、横が円周の半分」の長方形に近づくことから、「半径 × 半径 × 円周率」になります。
• 体積は単位立方体がいくつ分あるかで表し、角柱・円柱は「底面積 × 高さ」です。1 L $= 1000$ cm³、1 mL $= 1$ cm³ です。

演習問題