割合・比・比例

この章の目標

• 「単位量あたりの大きさ」で、混みぐあいや人口密度のように直接は比べにくいものを比べられる
• 速さを「1 時間あたりに進む道のり」として理解し、公式を暗記しなくても 2 本の数直線から式を立てられる
• 割合の問題で「何を 1 とみるか（もとにする量）」を見きわめ、数直線図・関係図で説明できる
• 百分率・歩合・比を、割合の別の表し方として相互に言いかえられる
• 比例・反比例の正確な意味（「2 倍、3 倍、… になると、2 倍、3 倍、… になる」）を、表・式・グラフで説明できる
• 単位量あたり・速さ・割合・比の問題が、どれも比例を土台にしていることを理解する

前提：第4章 分数と小数（特に、1 より小さい数のかけ算・わり算と、割合分数）。第2章 かけ算とわり算の意味

学年の目安：小学 4〜6 年（教科書によって前後します）

子どもにこう聞かれたら、どう答えますか。

• 「速さの問題は『はじき』の図で解けばいいんでしょ？　でも、どれが上だったか忘れちゃった。」
• 「『もとにする量』と『比べられる量』って、どっちがどっちなの？」
• 「片方がふえると、もう片方もふえる。これが比例でしょう？」

割合は、小学校の算数でいちばんつまずく子が多い単元だといわれます。大人でも、「20% 引きのあとさらに 20% 引きなら、合わせて 40% 引き」と考えてしまいがちです。この章では、公式や語呂合わせに頼らずに、「何を 1 とみるか」と「2 本の数直線」という 2 つの道具で、単位量あたりの大きさ・速さ・割合・比・比例を一続きのものとして見直します。最後に、これらがすべて比例という 1 つの考え方の上に立っていることがわかります。

なお、この章でいう整数は、小学校の算数と同じく $0, 1, 2, 3, \dots$ のことです（負の数は中学 1 年で学びます）。

何年生で習う？

現行の学習指導要領（2017 年告示、2020 年度から実施）にもとづく目安です。速さは、以前の学習指導要領では 6 年で学んでいましたが、現行では 5 年に移りました。実際に扱う時期は、教科書によって少し前後します。

5.1 単位量あたりの大きさ ―混みぐあいを比べる

どの部屋がいちばん混んでいる？

広さと人数の違う 3 つの部屋があります。

• A 室：10 畳に 6 人
• B 室：10 畳に 5 人
• C 室：8 畳に 5 人

A 室と B 室は広さが同じなので、人数の多い A 室のほうが混んでいます。B 室と C 室は人数が同じなので、せまい C 室のほうが混んでいます。では、A 室と C 室ではどうでしょうか。広さも人数も違うので、どちらか一方だけでは比べられません。

そこで、どちらかの量を 1 にそろえます。広さを 1 畳にそろえると、1 畳あたりの人数は

となり、C 室のほうが混んでいるとわかります。人数を 1 人にそろえて、1 人あたりの畳の数で比べることもできます。A 室は $10 \div 6 = 1.666\ldots$ 畳、C 室は $8 \div 5 = 1.6$ 畳で、1 人あたりの広さがせまい C 室のほうが混んでいます。どちらでそろえても、結論は同じです。

定義 5.1（単位量あたりの大きさ）2 つの量の組（広さと人数、時間と道のり、重さと値段など）を比べるとき、一方の量を 1（1 畳、1 時間、1 g など）にそろえたときの、もう一方の量を単位量あたりの大きさといいます。たとえば「1 畳あたりの人数」は、人数 ÷ 畳の数 で求められます。

ふだんの生活でも、単位量あたりの大きさはよく使われています。

• スーパーの値札にある「100 g あたり ◯ 円」（値段 ÷ 重さ）
• 自動車の燃費「ガソリン 1 L あたり ◯ km」（道のり ÷ ガソリンの量）
• 人口密度「1 km² あたり ◯ 人」（人口 ÷ 面積）

例 5.2（人口密度）面積 48 km² で人口 60000 人の A 市と、面積 150 km² で人口 90000 人の B 町があります。人口は B 町のほうが多いのですが、1 km² あたりの人口（人口密度）は、A 市が $60000 \div 48 = 1250$ 人、B 町が $90000 \div 150 = 600$ 人なので、A 市のほうが混み合っています。人口密度は、「国全体が混み合っている」「この県は人がまばら」といったことを数で比べるための、単位量あたりの大きさです。

注意 5.3 「1 畳あたり 0.6 人」といっても、0.6 人の人がいるわけではありません。単位量あたりの大きさは、部屋の中で人が平らにならされている（どの 1 畳にも同じだけいる）と考えたときの値で、実際の人の散らばり方とは違います。5 年で学ぶ「平均」と同じ考え方です。朝の駅のホームが、町全体の人口密度から想像するよりずっと混んでいるのも、人口密度が町全体をならした値だからです。

2 つの量のわり算は、どちらを 1 とみるかで 2 通り

「人数 ÷ 畳の数」は大きいほど混んでいて、「畳の数 ÷ 人数」は小さいほど混んでいます。どちらも正しい単位量あたりの大きさですが、大小の読み方が逆になります。子どもが混乱するのはここです。わり算の式を見たら、「何を 1 にそろえたのか」（÷ の後ろの量が 1 になる）と、「その答えは何の量か」を、単位をつけて言う習慣をつけましょう。「$6 \div 10 = 0.6$」ではなく「1 畳あたり 0.6 人」と言えば、大きいほど混んでいることがすぐにわかります。

5.2 速さ ―公式の暗記に頼らない

速さは「1 時間あたりに進む道のり」

速さも、単位量あたりの大きさの一つです。「3 時間で 180 km 進む車」と「2 時間で 130 km 進む車」の速さを比べるには、時間を 1 時間にそろえて、1 時間あたりに進む道のりで比べます（$180 \div 3 = 60$ km と $130 \div 2 = 65$ km）。

定義 5.4（速さ）単位時間（1 時間、1 分、1 秒）あたりに進む道のりを速さといいます。1 時間あたりの道のりで表した速さを時速、1 分あたりを分速、1 秒あたりを秒速といいます。速さ ＝ 道のり ÷ 時間 です。

「時速 60 km」は「60 km/時」とも書きますが、この「/」は「1 時間あたり」という意味です。

2 本の数直線で考える

一定の速さで進むとき、進む時間が 2 倍、3 倍、… になれば、道のりも 2 倍、3 倍、… になります（この性質を 5.7 節で比例と呼びます）。この関係を目に見える形にするのが、第4章でも使った2 本の数直線です。下に時間、上に道のりをとり、同じ位置の目盛りどうしが対応するようにかきます。

例 5.5 上の図の、1 時間と 60 km、2.5 時間と 150 km の 4 つの数に注目します。速さの問題は、このうち 1 時間以外の 3 つのどれか 1 つを隠したものです。

1. 「時速 60 km で 2.5 時間進むと、何 km 進む？」　時間が 1 時間の 2.5 倍なので、道のりも 60 km の 2.5 倍で、$60 \times 2.5 = 150$ km です。
2. 「150 km を 2.5 時間で進んだ。時速何 km？」　1 時間は 2.5 時間を 2.5 でわった時間なので、道のりも 150 km を 2.5 でわって、$150 \div 2.5 = 60$ km です。時速 60 km です。
3. 「時速 60 km で 150 km 進むには、何時間かかる？」　150 km は 60 km の $150 \div 60 = 2.5$ 倍なので、時間も 1 時間の 2.5 倍で、2.5 時間です。

3 つとも、「上の数直線で何倍になっているかを、下の数直線にも当てはめる（または逆）」という同じ考え方で解けています。「速さ × 時間 ＝ 道のり」「道のり ÷ 速さ ＝ 時間」という式は、覚えるものではなく、図からその場で作れるものなのです。

単位の換算も同じ考え方で

時速 72 km は、分速何 m でしょうか。「60 分で 72 km 進む」ので、1 分ではその $\displaystyle \frac{1}{60}$ で $72 \div 60 = 1.2$ km、つまり分速 1200 m です。さらに 1 秒ではその $\displaystyle \frac{1}{60}$ で $1200 \div 60 = 20$ m、つまり秒速 20 m です。「1 にそろえる」という同じ考え方で、単位の換算もできます。

注意 5.6（平均の速さ）実際の乗り物は、速くなったり遅くなったりします。そのときの「速さ」は、全体の道のりを全体の時間でわった平均の速さで、途中ずっと同じ速さで進んだとみなした値です（注意 5.3 の「ならす」と同じです）。たとえば 12 km 離れた町まで、行きは時速 12 km の自転車で 1 時間、帰りは時速 4 km で歩いて 3 時間かかったとします。往復の平均の速さは「12 と 4 の平均で時速 8 km」ではなく、$24 \div (1 + 3) = 6$ より時速 6 km です。遅い帰り道のほうが時間が長いので、遅い速さのほうに引っぱられるのです。

5.3 割合 ―何を 1 とみるか

差で比べるか、倍で比べるか

2 本のゴムひもがあります。ゴム A は 20 cm のものが 60 cm に、ゴム B は 40 cm のものが 80 cm にのびました。どちらもちょうど 40 cm のびていますが、「同じだけよくのびる」と言ってよいでしょうか。

もとの長さを 1 とみると、A は $60 \div 20 = 3$ で 3 倍に、B は $80 \div 40 = 2$ で 2 倍にのびています。もとの長さが違うものを比べるときは、差ではなく倍で比べたほうが、ゴムの性質をよく表せます。4 年で学ぶ「簡単な割合」はこの考え方で、5 年で割合という言葉と、1 より小さい倍（0.75 倍など）に広がります。

定義 5.7（割合）ある量 A が、もとにする量 B の何倍にあたるかを表す数を、B に対する A の割合といいます。このとき B をもとにする量、A を比べられる量といいます。

$$\text{割合} = \text{比べられる量} \div \text{もとにする量}$$

言いかえると、割合は「もとにする量を 1 とみたとき、比べられる量がいくつにあたるか」です。

5.1 節の「1 畳あたりの人数」は人数と広さという種類の違う量のわり算でした。割合は、長さと長さ、人数と人数のように同じ種類の量のわり算で、単位のない数になります。第4章の「割合分数」（白いテープを 1 とみたときの赤いテープの大きさ）も、ここでいう割合です。

3 つの問題は 1 つの関係

定員 40 人のバスに 30 人乗っているとき、乗っている人の数は定員の何倍でしょうか。もとにする量は定員の 40 人で、これを 1 とみます。2 本の数直線をかくと、次のようになります。

割合は $30 \div 40 = 0.75$ です。この関係は、矢印を使った関係図でも表せます。

性質 5.8（割合の 3 つの用法）もとにする量・比べられる量・割合の 3 つのうち 2 つがわかれば、残りの 1 つが求められます。3 つの式はどれも、「もとにする量 × 割合 ＝ 比べられる量」という 1 つの関係を言いかえたものです。

$$\begin{aligned} \text{割合} &= \text{比べられる量} \div \text{もとにする量} \\ \text{比べられる量} &= \text{もとにする量} \times \text{割合} \\ \text{もとにする量} &= \text{比べられる量} \div \text{割合} \end{aligned}$$

例 5.9

1. 「定員 40 人のバスに 30 人乗っている。乗客は定員の何倍？」　 $30 \div 40 = 0.75$ 倍です。
2. 「定員 40 人のバスに、定員の 1.2 倍の人が乗った。何人？」　 $40 \times 1.2 = 48$ 人です。数直線では、1 の右側の 1.2 の位置にあたります。割合は 1 より大きくてもかまいません。
3. 「別のバスでは、27 人の乗客が定員の 0.75 倍にあたる。定員は何人？」　定員を □ 人とすると、関係図は $\square \xrightarrow{\times 0.75} 27$ です。矢印を逆にたどって、$\square = 27 \div 0.75 = 36$ 人です（確かめ：$36 \times 0.75 = 27$）。

3 番目は、割合の問題の中でもっとも間違いの多い型です。「27 人と 0.75 が出てきたから、とりあえずかける」と $27 \times 0.75$ としてしまうのです。数直線をかけば、0.75 にあたるのが 27 人なので、1 にあたる定員は 27 人より多いはずだ、と見当がつきます。第4章の「1 より小さい数でわると、商はもとの数より大きくなる」が、ここで生きてきます。

5.4 百分率と歩合

割合 0.75 は、日常では「75%」や「7 割 5 分」と言うことのほうが多いでしょう。これらは同じ割合の、別の表し方です。

定義 5.10（百分率と歩合）割合 0.01 を 1%（1 パーセント）と表す表し方を百分率といいます。割合 1 は 100% です。また、割合 0.1 を 1 割、0.01 を 1 分、0.001 を 1 厘と表す表し方を歩合といいます。

百分率は「もとにする量を 100 とみたときの大きさ」です。75% は「100 人中 75 人の割合」と言いかえられるので、もとにする量が 100 でなくても、イメージしやすくなります。歩合は、野球の打率（$0.325$ を「3 割 2 分 5 厘」と読む）などで今も使われています。

例 5.11（20% 引きを 2 回）定価 3000 円の品物を 20% 引きで買い、さらにその値段から 20% 引いてもらいました。代金はいくらでしょうか。

20% 引きの値段は、もとの値段の $1 - 0.2 = 0.8$ 倍です。1 回目は $3000 \times 0.8 = 2400$ 円です。2 回目の 20% は、2400 円をもとにした 20% なので、$2400 \times 0.8 = 1920$ 円になります。一方、はじめから 40% 引きなら $3000 \times 0.6 = 1800$ 円です。

2 回の値引きは $0.8 \times 0.8 = 0.64$ 倍なので、合わせると 36% 引きで、40% 引きではありません。2 回目の 20% は、小さくなった 2400 円をもとにしているので、引かれる金額（480 円）が 1 回目（600 円）より少ないのです。割合をたしたりひいたりしてよいのは、もとにする量が同じときだけです。

注意 5.12（% と「ポイント」）ニュースで「支持率が 40% から 50% に上がった」とき、「10 ポイント上がった」と言います。これは割合どうしの差で、「10% 上がった」とは区別します。40% をもとにすると、50% は $50 \div 40 = 1.25$ 倍なので、「支持率が 25% 増えた」という言い方もでき、10% とはまったく違う数になるからです。もとにする量が何なのかがあいまいな言い方は、大人の世界でも誤解の原因になります。なお、「五分五分」（半々）や「腹八分目」の「分」は、10 分の 1 を表す古い言い方で、歩合の「分」（100 分の 1）とは違います。

5.5 割合でつまずく理由と、図の使い方

なぜ割合は難しいのか

割合は、小学校の算数で正答率が低くなりやすい単元としてよく知られています。理由として、次のようなものが考えられます。

1. もとにする量が、ことばの上で見えにくい。 「A は B の何倍」「B に対する A の割合」「B をもとにした A」「B の ◯% が A」と、同じ関係にいろいろな言い方があり、もとにする量が文の前に来たり後ろに来たりします。
2. 割合は量ではなく、2 つの量の関係。 「0.75」だけでは、何人なのかわかりません。もとにする量が変われば、同じ 0.75 でも表す量が変わります（第4章の「2 m の $\displaystyle \frac{3}{4}$」と「$\displaystyle \frac{3}{4}$ m」の違いと同じです）。そのため、もとにする量の違う割合を、そのままたしたりひいたりできません（例 5.11）。
3. 1 より小さい倍が出てくる。 「0.75 倍」は「75% にへらす」ことで、かけ算で答えが小さくなります。第4章の「かけ算をすると答えは大きくなる」という思い込みが、ここで表に出ます。
4. ことばの手がかりで式を決めようとする。 「『の』があったらかける」「大きい数を小さい数でわる」といった手がかりは、例 5.9 の 3 番目（$27 \div 0.75$）のような問題で必ず破綻します。

例 5.13（「より ◯% 多い」は逆にできない）ある品物の値段が、100 円から 125 円に上がりました。100 円をもとにすると、値上がりは $25 \div 100 = 0.25$ で 25% です。では、125 円から 100 円に戻したら「25% 値下げ」でしょうか。今度のもとにする量は 125 円なので、値下がりは $25 \div 125 = 0.2$ で 20% です。「A は B より 25% 多い」は「B は A より 25% 少ない」とは言いかえられません。差は同じ 25 円でも、もとにする量が違うからです。

数直線図と関係図

こうしたつまずきに対して、多くの教科書が使っているのが、5.3 節の2 本の数直線（数直線図）と、矢印で表す関係図です。手順はいつも同じです。

1. 問題文から、もとにする量を見つける（「〜の」「〜に対する」「〜をもとにした」の「〜」の部分）。
2. 数直線の下に 0 と 1、上に 0 ともとにする量を、同じ位置に書く。
3. わかっている割合（または比べられる量）を書き込み、求める数を □ で書く。1 より大きいか小さいかで、□ の位置を 1 の右か左に置く。
4. 「1 から何倍しているか」を見て、かけ算かわり算かを決める。

テープ図（例 5.11 の図）でもかまいません。大切なのは、もとにする量を 1 とみることと、答えの見当をつけてから式を立てることです。

5.6 比と比の値

比は 2 つの量を対等に並べる

ドレッシングを、酢と油を「2 対 3」の割合で混ぜて作るとします。これを $2 : 3$ と書きます。

定義 5.14（比と比の値）2 つの量 $a$ と $b$ の割合を、$a : b$（「$a$ 対 $b$」と読む）と表したものを比といいます。$a$ が $b$ の何倍かを表す数 $a \div b$ を、比 $a : b$ の比の値といいます。比の値が等しい 2 つの比は等しいといい、$2 : 3 = 4 : 6$ のように書きます。

$2 : 3$ の比の値は $\displaystyle 2 \div 3 = \frac{2}{3}$ で、「酢の量は油の量の $\displaystyle \frac{2}{3}$ 倍」という割合と同じことです。つまり比の値は、5.3 節の割合で「$b$ をもとにする量とみたときの $a$ の割合」です。ただ、割合はどちらかを 1 とみるのに対し、比は 2 つの量を対等に並べて書くので、「酢 2 杯に油 3 杯」のように、作り方をそのまま表せる便利さがあります。

性質 5.15（等しい比）比 $a : b$ の $a$ と $b$ に同じ数をかけても、同じ数でわっても、等しい比になります（0 をかけることと 0 でわることは除きます）。

比の値は $a \div b$ なので、これは第4章の性質 4.4（わられる数とわる数に同じ数をかけても、同じ数でわっても、商は変わらない）そのものです。この性質を使って、比をできるだけ小さい整数の比に直すことを、比を簡単にするといいます。

• $12 : 18 = 2 : 3$（両方を 6 でわる）
• $0.6 : 1.5 = 6 : 15 = 2 : 5$（10 倍してから 3 でわる）
• $\displaystyle \frac{2}{3} : \frac{3}{4} = 8 : 9$（両方に 12 をかける）

ドレッシングを $2 : 3$ で作っても $4 : 6$ で作っても、できる量は違いますが味は同じです。等しい比とは、「混ぜぐあい」が同じということです。

比を使った問題

例 5.16

1. 「酢と油を $2 : 3$ で混ぜて、全部で 250 mL のドレッシングを作る。酢は何 mL？」　全体を $2 + 3 = 5$ 目もりとみると、1 目もりは $250 \div 5 = 50$ mL です。酢は 2 目もりで 100 mL、油は 3 目もりで 150 mL です。割合で言えば、酢は全体の $\displaystyle \frac{2}{5}$ なので $\displaystyle 250 \times \frac{2}{5} = 100$ mL と求めることもできます。
2. 「酢と油を $2 : 3$ で混ぜる。油を 150 mL 使うとき、酢は何 mL？」　 $2 : 3 = \square : 150$ で、3 が 150 になるのは 50 倍なので、$\square = 2 \times 50 = 100$ mL です。

1 番目のように、ある量を決まった比に分けることを比例配分ということもあります。どちらの問題も、「1 目もりがいくつか」を求めて考えているのがポイントです。これも「1 にそろえる」という単位量あたりの考え方です。

なお、比の両方の数に同じ数をたしても、等しい比にはなりません。$2 : 3$ の両方に 1 をたすと $3 : 4$ ですが、比の値は $\displaystyle \frac{2}{3}$ と $\displaystyle \frac{3}{4}$ で違います。酢と油を 1 杯ずつ足したドレッシングは、元より酸っぱくなります。

5.7 比例と反比例

ともなって変わる 2 つの量

ここまでの話には、共通する前提がありました。一定の速さで進むなら、時間が 2 倍になれば道のりも 2 倍になる。同じ紙なら、枚数が 2 倍になれば重さも 2 倍になる。この「ともなって変わり方」に名前をつけたのが比例です。

空の水そうに一定の量ずつ水を入れ、1 分ごとに水の深さを測ったら、次のようになりました。

時間が 1 分から 2 分へ 2 倍になると、深さも 2 cm から 4 cm へ 2 倍になります。1 分から 3 分へ 3 倍になると、深さも 3 倍になります。2 分から 3 分へ 1.5 倍になると、深さも 4 cm から 6 cm へ 1.5 倍です。

定義 5.17（比例）ともなって変わる 2 つの量 $x$ と $y$ があって、$x$ の値が 2 倍、3 倍、… になると、それに対応する $y$ の値も 2 倍、3 倍、… になるとき、 $y$ は $x$ に比例するといいます。$x$ の値が $\displaystyle \frac{1}{2}$ 倍、$\displaystyle \frac{1}{3}$ 倍、1.5 倍などになるときも、$y$ の値は同じように $\displaystyle \frac{1}{2}$ 倍、$\displaystyle \frac{1}{3}$ 倍、1.5 倍になります。

5 年・6 年の教科書では、このように何倍になるかで比例を定義します。「$x$ が増えると $y$ も増える」では比例とはいえません。この違いは、あとで比例でない例と比べるとはっきりします。

性質 5.18（比例の式とグラフ）$y$ が $x$ に比例するとき、$y \div x$ の値は（$x$ が $0$ のときを除いて）いつも同じ数（決まった数）になります。決まった数を使うと、

$$y = \text{決まった数} \times x$$

と表せます。逆に、$y = \text{決まった数} \times x$ と表せるなら、$y$ は $x$ に比例します。比例のグラフは、$x$ も $y$ も 0 の点（原点）を通る直線になります。

水そうの例では、決まった数は $2$ で、$y = 2 \times x$ です。決まった数「2」は、「1 分あたり 2 cm」という単位量あたりの大きさそのものです。速さの例なら決まった数は速さ（$y = 60 \times x$）、紙の重さなら 1 枚あたりの重さです。単位量あたりの大きさとは、比例の「決まった数」のことだったのです。

大人のための証明. 定義 5.17 の「$x$ が何倍になっても、$y$ も同じだけ何倍になる」が、どんな正の数倍（小数倍・分数倍も含む）についても成り立つとします。$x = 1$ のときの $y$ の値を $a$ とします。どんな正の数 $x$ も「1 の $x$ 倍」なので、そのときの $y$ は $a$ の $x$ 倍、つまり $y = a \times x$ です。$x = 0$ のときは、$0$ を 2 倍しても $0$ なので、対応する $y$ の値も 2 倍しても変わらない数、つまり $0$ です。これで $y = a \times x$ と表せました。逆に $y = a \times x$ なら、$x$ を $k$ 倍すると $y$ は $a \times (k \times x) = k \times (a \times x)$ となり、$k$ 倍になります。$\square$

グラフが原点を通る直線になる理由も、ここから見えます。$y \div x$ が一定なので、グラフ上のどこでも、右へ 1 進むと上へ決まった数だけ上がります（水そうの例なら「右へ 1 進むと上へ 2」）。傾き方が一定で原点から出発するので、点はすべて原点を通る 1 本の直線の上に並びます。

比例でない例 ―「増えると増える」との違い

同じ水そうに、はじめから 3 cm の深さまで水が入っていたとします。同じように水を入れると、深さは

となります。時間が増えれば深さも増え、1 分ごとに 2 cm ずつ深くなる点も同じです。しかし時間が 1 分から 2 分へ 2 倍になっても、深さは 5 cm から 7 cm で、2 倍にはなりません。$y$ は $x$ に比例しません。

グラフにすると、どちらも直線ですが、比例のグラフは原点を通り、比例でないほうは原点を通りません。「グラフが直線なら比例」ではなく、「原点を通る直線なら比例」です。比例でないほうの直線は、中学 2 年で一次関数として学びます。

反比例

面積が 12 cm² の長方形を考えます。縦の長さを $x$ cm、横の長さを $y$ cm とすると、次のようになります。

縦が 1 cm から 2 cm へ 2 倍になると、横は 12 cm から 6 cm へ $\displaystyle \frac{1}{2}$ 倍になります。縦が 3 倍になると、横は $\displaystyle \frac{1}{3}$ 倍になります。

定義 5.19（反比例）ともなって変わる 2 つの量 $x$ と $y$ があって、$x$ の値が 2 倍、3 倍、… になると、それに対応する $y$ の値が $\displaystyle \frac{1}{2}$ 倍、$\displaystyle \frac{1}{3}$ 倍、… になるとき、 $y$ は $x$ に反比例するといいます。

性質 5.20（反比例の式とグラフ）$y$ が $x$ に反比例するとき、$x \times y$ の値はいつも同じ数（決まった数）になり、

$$y = \text{決まった数} \div x$$

と表せます。反比例のグラフは直線にならず、なめらかな曲線になります。

長方形の例では、決まった数は面積の 12 です。グラフは、$x$ が大きくなるにつれて $y$ が小さくなり、軸に限りなく近づいていきますが、軸にはとどきません（$x \times y = 12$ なので、$y$ が 0 になることはありません）。

反比例の身近な例には、「決まった道のりを進むときの速さと時間」（道のり ＝ 速さ × 時間 が一定）、「決まった量のジュースを分けるときの人数と 1 人分の量」などがあります。

5.8 比例を使って問題を解く

数えずに数える

例 5.21（紙の枚数を重さで数える）厚紙の束が何枚あるかを、1 枚ずつ数えずに知りたいとします。50 枚だけ数えて重さを量ったら 200 g、束全体は 840 g でした。

紙の重さは枚数に比例すると考えられるので、2 本の数直線がかけます。

重さが $840 \div 200 = 4.2$ 倍なので、枚数も 4.2 倍で、$50 \times 4.2 = 210$ 枚です。別の考え方として、1 枚あたりの重さ（決まった数）を先に求めると $200 \div 50 = 4$ g なので、$840 \div 4 = 210$ 枚です。「何倍か」を使う方法と「1 あたり」を使う方法の 2 つがあり、どちらも比例を使っています。

測れないものを測る

例 5.22（影の長さで木の高さを測る）晴れた日、高さ 1 m の棒を地面にまっすぐ立てると、影の長さは 1.6 m でした。同じ時刻に、木の影の長さを測ると 8 m でした。木の高さは何 m でしょうか。

同じ時刻なら、日光はどこでも同じ向きからさしているので、物の高さと影の長さは比例します。影の長さが $8 \div 1.6 = 5$ 倍なので、木の高さも 1 m の 5 倍で、5 m です。

古代ギリシャのタレスが、ピラミッドの影を使ってその高さを求めたという話が伝わっています。高さと影の長さが比例することは、図の 2 つの直角三角形が同じ形（相似）であることから説明でき、中学 3 年で学びます。

注意 5.23（比例と「みなす」）現実の量が、完全に比例していることはほとんどありません。紙は 1 枚ずつ少しずつ重さが違いますし、地面に傾きがあれば影の長さは変わります。それでも「比例しているとみなせば、よい近似で答えがわかる」場面がたくさんあります。これは、現実を数学の形に置きかえて考えるモデル化の第一歩です。逆に、比例しないものに比例を当てはめると、とんでもない答えが出ます。「3 歳のとき身長 95 cm だったから、6 歳では 190 cm」とはなりませんし、「1 人で 6 時間かかる草むしりを 3 人でやると 18 時間」とはなりません（3 人で同じ速さで作業すれば、人数に反比例して 2 時間です）。比例を使う前に、「本当に比例すると考えてよいか」を確かめることが大切です。

4 つの話題は 1 つ

この章の内容を振り返ると、単位量あたりの大きさ・速さ・割合・比は、どれも比例の上に立っています。

2 本の数直線が、どの話題にも同じように使えたのはこのためです。2 本の数直線は、比例している 2 つの量の対応表を図にしたものなのです。

まとめ

• 広さと人数のように 2 つの量が違うものは、一方を 1 にそろえた単位量あたりの大きさで比べます。どちらを 1 にそろえるかで大小の読み方が逆になるので、「1 ◯ あたり △」と単位をつけて言います。
• 速さは 1 時間（1 分、1 秒）あたりに進む道のりです。2 本の数直線に「1 時間で ◯ km」を書き込めば、道のり・時間・速さのどれを求める式も、その場で作れます。平均の速さは、全体の道のり ÷ 全体の時間です。
• 割合は、もとにする量を 1 とみたときの比べられる量の大きさで、「もとにする量 × 割合 ＝ 比べられる量」という 1 つの関係にまとめられます。いちばん大事なのは「何を 1 とみるか」を見きわめることです。
• 百分率（1% ＝ 0.01）と歩合（1 割 ＝ 0.1、1 分 ＝ 0.01、1 厘 ＝ 0.001）は、割合の別の表し方です。もとにする量が違う割合は、そのままたしたりひいたりできません（20% 引きを 2 回で 36% 引き）。
• 割合のつまずきの多くは、もとにする量がことばの上で見えにくいことから起こります。語呂合わせではなく、数直線図・関係図・テープ図で「1 にあたるのはどれか」を毎回確かめます。
• 比 $a : b$ は 2 つの量を対等に並べた表し方で、比の値 $a \div b$ は割合と同じです。両方に同じ数をかけても、同じ数でわっても等しい比になります（わり算の性質）。
• 比例とは、$x$ が 2 倍、3 倍、… になると $y$ も 2 倍、3 倍、… になる関係です。$y = \text{決まった数} \times x$ と表せ、グラフは原点を通る直線です。「増えると増える」だけでは比例ではありません。
• 反比例とは、$x$ が 2 倍、3 倍、… になると $y$ が $\displaystyle \frac{1}{2}$ 倍、$\displaystyle \frac{1}{3}$ 倍、… になる関係です。$x \times y$ が一定で、グラフは直線にならない曲線です。
• 単位量あたり・速さ・割合・比は、どれも比例を土台にしていて、比例の「決まった数」が単位量あたりの大きさにあたります。比例は、中学の一次関数、大学の線形写像へとつながります。

演習問題