データの活用と場合の数

この章の目標

• 棒グラフ・折れ線グラフ・帯グラフ・円グラフを、目的に合わせて使い分けられる。誤解をまねくグラフに気づける
• 平均を「ならす」ことと説明でき、平均の計算で気をつけること（0 の扱い、平均の平均）がわかる
• 平均値・中央値・最頻値の違いを説明し、データに合った代表値を選べる
• ドットプロット・度数分布表・柱状グラフを読み書きできる
• 並べ方・組み合わせ方を、樹形図や表を使って落ちや重なりなく数えられる
• 中学で学ぶ確率の「同様に確からしい」という考え方の入口がわかる

前提：第4章「分数と小数」、第5章「割合・比・比例」（帯グラフ・円グラフで百分率を使います）

学年の目安：表とグラフは小学 1〜5 年、平均は小学 5 年、代表値・度数分布・場合の数は小学 6 年（教科書によって前後します）

子どもにこう聞かれたら、どう答えますか。

• 「平均が 5 冊って、クラスの真ん中の人が 5 冊読んでいるっていうこと？」
• 「グラフで見ると B 店は A 店の 3 倍も売れているのに、どうして『ほとんど同じ』なの？」
• 「さいころを 2 つ投げたら、目の和は 2 から 12 の 11 通り。だから和が 7 になるのは 11 回に 1 回くらいでしょう？」

この章で扱うのは、計算そのものよりも「数をどう見るか」の算数です。集めたデータを表やグラフに整理し、平均などの 1 つの数で全体の特徴をつかみ、起こりうる場合を落ちなく数え上げる。どれも、ニュースの数字や広告のグラフ、くじやゲームの「起こりやすさ」を正しく読むための、大人にとっても大切な力です。2017 年告示の学習指導要領では、小学校算数の領域の 1 つとして「データの活用」が置かれ、統計の内容が以前より充実しました。

なお、この章に出てくるデータは、すべて説明のために作った例です。実際の調査の結果ではありません。また、この章でいう整数は、小学校の算数と同じく $0, 1, 2, 3, \dots$ のことです。

何年生で習う？

現行の学習指導要領（2017 年告示、2020 年度から実施）にもとづく目安です。実際に扱う時期は、教科書によって少し前後します。

7.1 データを集めて整理する ―表

データの活用は、「調べたいこと」を決めるところから始まります。小学校では、「問題をはっきりさせる → 計画を立てる → データを集める → 表やグラフに整理して分析する → 結論を出す（そしてまた新しい疑問をもつ）」という流れを、統計的な問題解決として体験します。この章では主に「整理して分析する」部分を扱いますが、どのグラフを使うか、どの代表値を使うかは、いつも「何を知りたいのか」で決まることを覚えておいてください。

集めたデータは、まず分類して数えます。1・2 年生では、ものの絵を 1 つずつ並べたり ○ を積み上げたりして、数の大小を「高さ」で見ます。これがグラフの原点です。数えるときは、数え落としや二重に数えることを防ぐために、数えたものに印をつけたり、「正」の字を書いたりします。

4 年生では、2 つの観点で同時に分類する表を学びます。

例 7.1 あるクラス 32 人（例）に、犬とねこを飼っているかを聞いて、次の表にまとめました。

どの人も、4 つのマスのどれか 1 つにだけ入ります。そのため、たてに足しても横に足しても、右下の合計 32 人になります（$3 + 6 + 4 + 19 = 32$）。この表から「犬とねこの両方を飼っている人は 3 人」「犬かねこの少なくとも一方を飼っている人は $3 + 6 + 4 = 13$ 人」とわかります。

ここで、「犬を飼っている 9 人とねこを飼っている 7 人を足して 16 人」とするのは誤りです。両方を飼っている 3 人を二重に数えているからです（$16 - 3 = 13$）。この「重なりに気をつけて数える」という考え方は、7.6 節の場合の数にもつながります。

7.2 グラフの使い分け

同じデータでも、グラフの種類によって見えるものが違います。小学校で学ぶ 4 種類のグラフは、それぞれ得意なことがはっきりしています。

棒グラフと円グラフ

4 年生 40 人に好きな果物を聞いた結果（例）を、棒グラフと円グラフにかいてみます。いちご 14 人、りんご 10 人、みかん 8 人、バナナ 6 人、その他 2 人です。

棒グラフでは、棒の長さが人数を表します。「いちごはバナナの 2 倍以上」といった大小の比較が一目でできるのは、長さが人数に比例するようにかいてあるからです。そのため、棒グラフの縦軸の目盛りは 0 から始めるのが原則です（あとのつまずきポイント）。

円グラフでは、おうぎ形の中心角（したがって面積）が割合を表します。円全体が 100% にあたるので、たとえばいちごの割合 $14 \div 40 = 0.35$ すなわち 35% は、中心角 $360^\circ \times 0.35 = 126^\circ$ のおうぎ形になります。円グラフは、ふつう真上から時計回りに、割合の大きい順にかき、「その他」は最後にかきます。

棒グラフと円グラフは、同じデータを違う目で見ています。棒グラフは「何人か」、円グラフは「全体のどれだけか」です。円グラフからは、もとの人数（40 人なのか 4000 人なのか）は読み取れません。

折れ線グラフ

ある日の気温を 2 時間ごとに測った結果（例）を折れ線グラフにかきます。

折れ線グラフでは、点の高さだけでなく線の傾きに意味があります。線が急に上がっているところは、気温が急に上がった時間帯です。この例では 8 時から 10 時の 4 度がいちばん大きな上がり方で、14 時を過ぎると下がり始めます。

折れ線グラフが使えるのは、横軸が時間のように順序と間隔に意味のある量のときです。好きな果物のように順序に意味のない項目を折れ線でつなぐと、線の傾きに意味がなくなってしまいます。また、横軸の間隔は時間の間隔に合わせます（2 時間おきの測定に 1 か所だけ 4 時間あきがあれば、そこは 2 目盛り分あけます）。

図の縦軸の下のほうにある波線（≈）は、「0 度から 10 度の間を省略しています」という印です。折れ線グラフでは、変化の様子を見やすくするために、このように目盛りの途中を省略することがあり、4 年生の教科書でも扱います。省略したことを波線ではっきり示すのが約束です。

帯グラフ

帯グラフは、帯全体を 100% として、割合を長さで表すグラフです。いくつかの集団の割合を比べるときは、帯を縦に並べ、区切りを点線で結びます。4 年生 40 人と 6 年生 50 人の好きな果物（例）を比べてみます。

人数の合計が違う 2 つの集団でも、割合に直せば同じ長さの帯で比べられます。これが帯グラフの強みです。円グラフを 2 つ並べるより、区切りの位置の違いが読み取りやすくなります。

注意 7.2 帯グラフや円グラフが比べているのは割合で、人数ではありません。上の例で、いちごが好きな人の割合は 4 年生の 35% から 6 年生の 30% へ減っていますが、人数は 14 人から 15 人へ増えています。もとにする量（全体の人数）が 40 人と 50 人で違うからです。割合と量の関係（比べられる量 ＝ もとにする量 × 割合）は第5章で扱います。

7.3 平均 ―「ならす」こと

5 つの袋に、あめが 4 個、7 個、5 個、2 個、7 個入っています（例）。どの袋も同じ数になるように、多い袋から少ない袋へあめを移すと、1 袋あたり何個になるでしょうか。

B と E から 2 個ずつ取り出して、A に 1 個、D に 3 個入れると、どの袋も 5 個になります。このように、でこぼこのある量を同じ大きさにそろえることをならすといい、ならした大きさが平均です。

あめを移しても、全部の個数（25 個）は変わりません。ならした後は 5 袋とも同じ数なので、1 袋分は $25 \div 5 = 5$ 個です。つまり、平均は「合計 ÷ 個数」で計算できます。

定義 7.3（平均）いくつかの数量を、合計を変えずに同じ大きさにならしたときの 1 つ分の大きさを、それらの数量の平均といいます。

$$\text{平均} = \text{合計} \div \text{個数}$$

性質 7.4（平均の性質）(1) 平均 × 個数 ＝ 合計 です。(2) それぞれの値と平均との差（平均より大きい分をプラス、小さい分をマイナスとする）を全部合わせると、ちょうど 0 になります。

(1) は定義の式をかけ算に直しただけですが、とても役に立ちます。「4 回のテストの平均が 75 点」なら、合計点は $75 \times 4 = 300$ 点とわかるからです（問題 7.3）。

(2) はあめの図で確かめられます。平均 5 個との差は、A が $-1$、B が $+2$、C が $0$、D が $-3$、E が $+2$ です（マイナスの数は中学 1 年で学びますが、ここでは「足りない分」と読んでください）。多い分の合計 $2 + 2 = 4$ 個と、足りない分の合計 $1 + 3 = 4$ 個が等しいからこそ、多い分を足りない袋に移してちょうどならせたのです。数直線の上にデータの値の位置へ同じ重さのおもりを置くと、平均の位置でちょうどつり合う、と言いかえることもできます。平均は、データの「重心」なのです。

例 7.5（仮の平均）5 回の計算テストの点数が 83 点、78 点、85 点、90 点、79 点でした。80 点を基準にすると、差は $+3, -2, +5, +10, -1$ で、合計は $+15$ です（増えた分 $3 + 5 + 10 = 18$ から減った分 $2 + 1 = 3$ を引きます）。これを 5 回でならすと $15 \div 5 = 3$ なので、平均は $80 + 3 = 83$ 点です。実際、合計は $415$ 点で、$415 \div 5 = 83$ です。このように、基準を決めてそこからの差だけをならす方法を仮の平均を使う方法といい、大きな数の平均を暗算で求めるときに便利です。

5 年生では、平均を「測定した値の平均」として学びます。たとえば、自分の歩幅を知りたいとき、1 歩だけ測ると、たまたま大きく踏み出したり小さかったりします。10 歩の長さを何回か測って平均すると、ばらつきがならされて、より信頼できる値が得られます（問題 7.2）。

注意 7.6 平均について、次の 2 点に注意します。

• 平均は、データの中にない値や、整数でない値になることがあります。月曜から金曜の欠席者が 2 人、0 人、3 人、1 人、0 人なら、平均は $6 \div 5 = 1.2$ 人です。「1.2 人なんていない」と思うかもしれませんが、ならした値なので問題ありません。
• 0 も 1 つのデータです。欠席者 0 人の日を数え忘れて $6 \div 3 = 2$ 人としてはいけません。個数を数えるときは、0 の日も含めます。

7.4 代表値とドットプロット

データ全体の特徴を 1 つの数で表したものを代表値といいます。平均はその代表ですが、いつも平均がよいとは限りません。6 年生では、平均値のほかに中央値と最頻値を学びます。

あるクラス 20 人が 1 か月に読んだ本の冊数（例）を、小さい順に並べると次のとおりです。

これを、数直線の上に 1 人 1 つずつ点を積み上げてかいたものをドットプロットといいます。

ドットプロットにすると、データの分布（どの値のあたりに多く集まり、どのように散らばっているか）が一目でわかります。この例では 2〜3 冊のあたりに多く集まり、右側に長くすそを引いて、20 冊という飛びぬけた値が 1 つあります。

定義 7.7（代表値）

• 平均値：データの値の合計を、データの個数でわった値。
• 中央値（メジアン）：データを小さい順に並べたときに、ちょうど真ん中にくる値。データの個数が偶数のときは、真ん中の 2 つの値の平均とします。
• 最頻値（モード）：データの中で、もっとも多く現れる値。

例 7.8 上の 20 人のデータの代表値を求めます。

• 平均値：合計は $100$ 冊なので、$100 \div 20 = 5$ 冊です。
• 中央値：20 人は偶数なので、小さいほうから 10 番目と 11 番目の 2 人が真ん中です。10 番目は 3 冊、11 番目は 4 冊なので、中央値は $(3 + 4) \div 2 = 3.5$ 冊です。
• 最頻値：2 冊の人が 4 人でいちばん多いので、最頻値は 2 冊です。

同じデータなのに、代表値は 2 冊、3.5 冊、5 冊と、かなり違います。どれが「正しい」のではなく、それぞれが違うことを表しています。

• 平均値は、全員の冊数をならした値です。合計に関心があるとき（クラス全体で何冊読んだか、本を何冊用意すればよいか）に向いています。ただし、20 冊のような飛びぬけた値（外れ値）に引っぱられやすい性質があります。20 冊の人が 10 冊だったとすると、合計は 90 冊になり、平均値は 4.5 冊に下がりますが、中央値は 3.5 冊のまま変わりません。
• 中央値は、「真ん中の人がどのくらいか」を表します。半分の人はこれ以下、半分の人はこれ以上です。外れ値の影響を受けにくいので、所得や貯蓄額のように一部に極端に大きな値があるデータでは、平均値よりも「ふつうの人」の感覚に近いことがよくあります。
• 最頻値は、「いちばんよくある値」です。靴や服のサイズのように、どれをいちばん多く仕入れるかを決めるときに向いています。

注意 7.9 代表値だけでは、データの散らばりはわかりません。「2, 3, 4」と「0, 3, 6」は、どちらも平均値も中央値も 3 ですが、散らばり方はまったく違います。小学校では、ドットプロットの形や、いちばん大きい値・小さい値に注目して散らばりを見ます。いちばん大きい値と小さい値の差（範囲）は中学 1 年で、散らばりを表すほかの数（四分位範囲・分散など）は中学 2 年や高校で学びます（7.5 節の「この先の数学では」）。

7.5 度数分布表と柱状グラフ

データの個数が多かったり、値が細かかったりすると、ドットプロットでは点がまばらになって、全体の形がつかみにくくなります。そこで、値をいくつかの区間に分けて、それぞれに何個あるかを数えます。

ある学年の 30 人のソフトボール投げの記録（例、単位は m）を小さい順に並べると、次のとおりです。

これを 5 m ごとの区間に分けて数えると、次の表になります。

定義 7.10（度数分布表・柱状グラフ）データを整理するために使う区間を階級、区間の幅を階級の幅、それぞれの階級に入るデータの個数を度数といいます。階級ごとに度数を示した表を度数分布表といい、階級の幅を横、度数を縦とする長方形をすき間なく並べたグラフを柱状グラフ（ヒストグラム）といいます。

柱状グラフにすると、20 m 以上 25 m 未満の階級を山の頂上として、左右にすそが広がる形がよくわかります。

階級の境目は「以上」「未満」で決めます。25 m ちょうどの記録は「20 以上 25 未満」ではなく「25 以上 30 未満」に入ります。境目の値をどちらに入れるかをはっきり決めておかないと、二重に数えたり数え落としたりしてしまいます。

度数分布表からも、データのおおよその様子が読み取れます。たとえば中央値は、30 人の真ん中の 15 番目と 16 番目の平均です。小さいほうから数えると、15 m 未満が 2 人、20 m 未満が $2 + 5 = 7$ 人、25 m 未満が $7 + 9 = 16$ 人なので、15 番目と 16 番目はどちらも「20 以上 25 未満」の階級に入ります。もとのデータを見ると、15 番目も 16 番目も 24 m で、中央値は 24 m です。度数分布表だけからは正確な値はわかりませんが、どの階級に入るかはわかります。

注意 7.11 柱状グラフと棒グラフは見た目が似ていますが、別のものです。

• 棒グラフの横軸は「いちご・りんご・…」のような種類で、並べる順番を入れかえてもかまいません。棒の間はあけてかきます。
• 柱状グラフの横軸は、記録のように切れ目なく続く量です。順番は入れかえられず、柱の間はあけません。

また、階級の幅の決め方によって、柱状グラフの形は変わります。幅を 1 m にすると柱が細かくなりすぎてでこぼこし、20 m にすると柱が 2 本ほどになって形がわからなくなります。いくつか試して、分布の特徴がよく見える幅を選びます。

7.6 場合の数 ―落ちや重なりなく数える

「何通りあるか」を数えるとき、思いつくままに書き出すと、たいてい数え落とし（落ち）や同じものの二重数え（重なり）が起こります。6 年生では、決まった順序で、もれなく、だぶりなく書き出す方法として、樹形図と表を学びます。

並べ方：樹形図

例 7.12 A、B、C、D の 4 人がリレーで走ります。走る順番は何通りあるでしょうか。

1 走を A と決めると、2 走は残りの B、C、D の 3 通りです。2 走を B と決めると、3 走は C か D の 2 通りで、そうすると 4 走は残りの 1 人に決まります。この考え方を、枝分かれする図で表したものが樹形図です。

1 走が A の場合は、右端に書き出した ABCD、ABDC、ACBD、ACDB、ADBC、ADCB の 6 通りです。1 走が B、C、D の場合も、同じ形の枝分かれになるので 6 通りずつで、全部で $6 \times 4 = 24$ 通りです。

枝の数に注目すると、1 走で 4 本に分かれ、それぞれが 3 本、さらに 2 本、1 本に分かれています。したがって、樹形図の右端の数は

とかけ算で求められます。

性質 7.13（かけ算で数える）1 つ目のことの決め方が $a$ 通りあり、そのどれに対しても 2 つ目のことの決め方が $b$ 通りずつあるとき、2 つを続けて決める決め方は全部で $a \times b$ 通りです。3 つ以上続けて決める場合も同じです。

大切なのは「どれに対しても同じ数ずつ」という条件です。樹形図が同じ形の枝分かれのくり返しになっているときだけ、かけ算で数えられます。たとえば 1, 2, 3, 4 の 4 枚のカードから 2 枚を並べて 2 けたの整数を作ると $4 \times 3 = 12$ 通りですが、0, 1, 2, 3 のカードで作ると、十の位に 0 は使えないので、十の位が 3 通り、そのどれに対しても一の位は残りの 3 通りで、$3 \times 3 = 9$ 通りになります。

組み合わせ方：表と図

例 7.14 A、B、C、D の 4 チームが、どのチームとも 1 回ずつ試合をします（総当たり戦）。試合は全部で何試合でしょうか。

今度は「A 対 B」と「B 対 A」は同じ試合です。並べ方とは違い、順番を区別しないことに注意します。総当たり戦の表をかくと、次の図の左のようになります。

表のマスは $4 \times 4 = 16$ 個ありますが、ななめのマス（A 対 A など）は試合になりません。残りの 12 マスのうち、ななめの線をはさんで向かい合う 2 マス（A 対 B と B 対 A）は同じ試合なので、右上の 6 マスだけを数えます。答えは 6 試合です。図の右のように、チームを点で表して試合を線で結んでも、6 本の線が数えられます。

並べ方と比べると、組み合わせ方の数がわかります。4 チームから「先攻・後攻」のように順番をつけて 2 チームを選ぶ並べ方は $4 \times 3 = 12$ 通りです。順番を区別しないと、AB と BA のように 2 通りずつが同じ組になるので、

です。表の右上と左下が同じ数ずつあるのは、このためです。

例 7.15 りんご・みかん・もも・ぶどうの 4 種類の果物から 3 種類を選んで、かごに入れます。選び方は何通りでしょうか。3 種類を選ぶことは、「選ばない 1 種類」を決めることと同じです。選ばない果物は 4 通りあるので、3 種類の選び方も 4 通りです。このように、見方を変えると数えやすくなることがあります。

注意 7.16 並べ方か組み合わせ方かは、問題の場面で決まります。「委員長と副委員長を選ぶ」「3 けたの数を作る」「走る順番」は、入れかえると別のものになるので並べ方です。「2 人の当番を選ぶ」「試合の組」「かごに入れる果物」は、入れかえても同じなので組み合わせ方です。迷ったら、具体的に 2 つを入れかえて、同じものになるかを確かめます。

7.7 確率への入口

赤と白の 2 つのさいころを同時に投げます。目の和はいくつになりやすいでしょうか。

目の和は 2 から 12 までの 11 通りですが、この 11 通りは同じように起こるわけではありません。起こりうる場合を正しく数えるには、目の出方を「赤が何で、白が何か」の組として考えます。赤の目が 6 通り、そのどれに対しても白の目が 6 通りなので、目の出方は $6 \times 6 = 36$ 通りです（性質 7.13）。これを表にして、それぞれのマスに目の和を書き込みます。

和が 7 になるマスはななめに 6 個並んでいて、36 通りのうち 6 通りです。和が 2 になるのは（赤 1, 白 1）の 1 通りだけ、和が 12 になるのも（赤 6, 白 6）の 1 通りだけです。和ごとに数えると次のとおりです。

合計は 36 通りです。和が 7 になる場合は、和が 2 になる場合の 6 倍あるので、7 のほうがずっと出やすいと予想できます。

この「起こりやすさ」を数で表したものが確率で、中学校で学びます。小学校では、ここまで（起こりうる場合を落ちや重なりなく数えること）が目標ですが、場合の数の大切な使い道として、確率の考え方を大人向けに紹介しておきます。

定義 7.17（確率、中学 2 年で学ぶ）ある実験や観察（試行）で、起こりうる場合が全部で $n$ 通りあり、そのどれが起こることも同じ程度に期待できるとします。このことを、それらの場合は同様に確からしいといいます。このとき、そのうちのあることがらが起こる場合が $a$ 通りなら、そのことがらの起こる確率は $\displaystyle \frac{a}{n}$ です。

2 つのさいころの例では、36 通りの目の出方のどれもが同じ程度に起こると考えられる（同様に確からしい）ので、和が 7 になる確率は $\displaystyle \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$、和が 2 になる確率は $\displaystyle \frac{1}{36}$ です。

ここで、「赤と白」のように 2 つのさいころを区別したことが大切です。区別しないで「1 と 2 の目」を 1 通りと数えると、（赤 1, 白 2）と（赤 2, 白 1）の 2 通りを 1 つにまとめてしまい、「1 と 1 の目」（1 通り）と同じ重みで扱うことになります。見た目が同じさいころでも、実際には 2 つの別のものなので、区別して数えるのが正しいのです。

実際に 36 回投げても、和が 7 になるのがちょうど 6 回とは限りません。5 回のことも 9 回のこともあります。けれども、投げる回数を 100 回、1000 回と増やしていくと、和が 7 になった回数の割合（相対度数）は $\displaystyle \frac{1}{6}$ に近づいていくと考えられます。中学 1 年では、このように多数回の実験の結果から確率を考えることを先に学びます。画びょうを落としたときに針が上を向くかどうかのように、同様に確からしい場合に分けられないことがらでも、たくさん実験すれば起こりやすさを数で表せるからです。

まとめ

• データの活用は「何を知りたいか」から始まります。分類して数えるときは、落ちや重なりがないように気をつけます。
• 棒グラフは量の大小、折れ線グラフは時間とともに変わる様子、円グラフは全体に対する割合、帯グラフはいくつかの集団の割合の比較に向いています。帯グラフ・円グラフは割合を表し、人数などの量は表しません。
• 棒グラフの縦軸を途中から始めると、長さの比が量の比と一致しなくなり、差が大げさに見えます。グラフを見たら、0 の位置・目盛りの間隔・もとのデータの数を確かめます。
• 平均は、合計を変えずにならした大きさで、平均 ＝ 合計 ÷ 個数 です。平均との差を全部合わせると 0 になります。0 のデータも個数に入れます。
• 代表値には平均値・中央値・最頻値があり、データの分布の形によって大きく違うことがあります。平均値は外れ値に引っぱられやすく、中央値は影響を受けにくい代表値です。
• ドットプロットや柱状グラフでデータの分布を見ます。度数分布表の階級は「以上・未満」で区切り、柱状グラフは柱の間をあけずにかきます。
• 並べ方は樹形図で整理し、「どれに対しても同じ数ずつ」枝分かれするならかけ算で数えられます（4 人の並べ方は $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通り）。
• 組み合わせ方は順番を区別しないので、並べ方の数を、同じ組が何回ずつ数えられたかでわります（4 チームの総当たりは $4 \times 3 \div 2 = 6$ 試合）。
• 中学で学ぶ確率は、同様に確からしい場合の数をもとに「$a$ 通り ÷ $n$ 通り」で求めます。数える 1 つ 1 つの場合が同じ程度に起こるかを確かめることが大切です。

演習問題

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