診断テスト 3　高校数学

(1) 否定は「すべての実数 $M$ について、ある実数 $x$ が存在して $x^2 - 4x > M$ が成り立つ」で、こちらが真です（「ある」と「すべて」を入れかえ、最後の条件を否定します）。任意の $M$ に対して $x = 2 + \sqrt{\lvert M \rvert + 5}$ とおけば、$x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4 = \lvert M \rvert + 1 > M$ となるからです。「すべての $M$ について、ある $x$ が」の順なので、$x$ は $M$ に応じて選んでかまいません。もとの命題は「$x^2 - 4x$ は上に有界である」という主張で、偽です。

(2) $\log_2 3$ が有理数だと仮定します。$\log_2 3 > 0$ なので、自然数 $m, n$ を用いて $\displaystyle \log_2 3 = \frac{m}{n}$、つまり $2^{m/n} = 3$ と書けます。両辺を $n$ 乗すると $2^m = 3^n$ ですが、左辺は偶数、右辺は奇数なので矛盾です。よって $\log_2 3$ は無理数です（背理法）。$\square$

戻る章：P3 第1章「集合と命題」・第6章「指数関数と対数関数」（P3 数と式・関数）→ 大学では 00 第1章（量化子を含む命題の否定）

$a = b = 0$ なら両辺とも $0$ です。$a^2 + b^2 > 0$ のとき、

は $t^2$ の係数が正の 2 次関数で、2 乗の和なのでつねに $f(t) \geq 0$ です。判別式 $D$ が正ならグラフが $t$ 軸と 2 点で交わり、その間で $f(t) < 0$ となってしまうので、$\displaystyle \frac{D}{4} = (ax + by)^2 - (a^2 + b^2)(x^2 + y^2) \leq 0$。これが示すべき不等式です。

等号は $D = 0$、つまり $f(t_0) = 0$ となる実数 $t_0$ があるとき、すなわち $(x, y) = t_0(a, b)$ のときに成り立ちます。$a = b = 0$ の場合と合わせて、必要十分条件は $ay - bx = 0$（ベクトル $(a, b)$ と $(x, y)$ が平行、またはどちらかが零ベクトル）です。恒等式 $(a^2 + b^2)(x^2 + y^2) - (ax + by)^2 = (ay - bx)^2$ でも確かめられますが、判別式による証明は $n$ 変数の場合にも、大学で学ぶ一般の内積にも、そのまま通用します。

戻る章：P3 第2章「式と証明」・第3章「二次関数」（P3 数と式・関数）→ 大学では 02 第7章（内積空間のコーシー–シュワルツの不等式）

(1) 2 次式で割った余りは 1 次以下なので、$P(x) = (x - 1)(x - 2)Q(x) + ax + b$ と書けます。剰余の定理（$P(x) = (x - c)Q_1(x) + r$ に $x = c$ を代入すると $P(c) = r$）より $P(1) = 3$、$P(2) = 5$ なので、$a + b = 3$、$2a + b = 5$。よって余りは $2x + 1$ です。

(2) $y^{33} - 1$ は $y - 1$ で割り切れるので、$x^{99} - 1 = (x^3)^{33} - 1$ は $x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$ で割り切れます。$x^{99} - 1 = (x^2 + x + 1)R(x)$ の両辺に $x$ をかけると $x^{100} = (x^2 + x + 1) \cdot xR(x) + x$ で、$x$ は割る式より次数が低いので、余りは $x$ です。$x^2 + x + 1 = 0$ の虚数解 $\omega$ が $\omega^3 = 1$ を満たすことを使い、$x = \omega$ を代入して求めることもできます。

戻る章：P3 第4章「複素数と方程式」（P3 数と式・関数）→ 大学では 04 第5章（多項式環）

(1) 単位円で、中心角に対する弧の長さを角の大きさとします（$360^\circ = 2\pi$ ラジアン、$1$ ラジアンは約 $57.3^\circ$）。半径 $r$ の扇形の弧の長さは $r\theta$、面積は $\displaystyle \pi r^2 \cdot \frac{\theta}{2\pi} = \frac{1}{2}r^2\theta$ です。

(2) 加法定理を逆向きに使うと

なので、$\displaystyle \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ です。$\displaystyle \frac{\pi}{3} \leq x + \frac{\pi}{3} < \frac{7\pi}{3}$ より $\displaystyle x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6},\ \frac{13\pi}{6}$、つまり $\displaystyle x = \frac{\pi}{2},\ \frac{11\pi}{6}$ です。

戻る章：P3 第5章「三角比から三角関数へ」（P3 数と式・関数）→ 大学では 01 第6章（三角関数と $\pi$ をべき級数で定義し直す）

(1) $\alpha = 3\alpha + 2$ の解 $\alpha = -1$ を両辺から引くと、$a_{n+1} + 1 = 3(a_n + 1)$ です。よって $\lbrace a_n + 1 \rbrace$ は初項 $2$、公比 $3$ の等比数列で、$a_n = 2 \cdot 3^{n-1} - 1$ です（$a_2 = 5$、$a_3 = 17$ で検算できます）。

(2) $k = 1$ のとき、2 つのグループ $\lbrace B_1 \rbrace$ と $\lbrace B_2 \rbrace$ には共通の玉がありません。つまり「$n = 1$ で正しい ⇒ $n = 2$ で正しい」が示されておらず、ドミノが 1 枚目から 2 枚目へ倒れません（$k \geq 2$ についての推論は正しいのです）。帰納法では、すべての $k \geq 1$ について $n = k$ から $n = k + 1$ が導けなければなりません。

戻る章：P3 第7章「数列と数学的帰納法」（P3 数と式・関数）→ 大学では 00 第1章（数学的帰納法、悪い証明例の添削）

(1) $\infty - \infty$ の形のままでは極限がわからないので、分子を有理化します。

(2) $\displaystyle 0.999\cdots = \frac{9}{10} + \frac{9}{10^2} + \frac{9}{10^3} + \cdots$ は初項 $\displaystyle \frac{9}{10}$、公比 $\displaystyle \frac{1}{10}$ の無限等比級数で、第 $N$ 項までの部分和は $\displaystyle S_N = 1 - \frac{1}{10^N}$ です。無限級数の和とは部分和の極限のことで、$S_N \to 1$ なので $0.999\cdots = 1$ です。「いつまでも $1$ に届かない」のは各 $S_N$ であって、極限の値は $1$ そのものです。

戻る章：P4 第1章「数列の極限と無限級数」（P4 微分積分）→ 大学では 01 第2章（ε-N 論法による収束の定義）

(1) 加法定理 $\sin(x + h) = \sin x\cos h + \cos x\sin h$ より

分子と分母に $\cos h + 1$ をかけると $\displaystyle \frac{\cos h - 1}{h} = -\frac{\sin h}{h} \cdot \frac{\sin h}{\cos h + 1} \to -1 \cdot 0 = 0$ なので、$h \to 0$ のとき差分商は $\cos x$ に近づきます。よって $(\sin x)' = \cos x$ です。

(2) 合成関数の微分法により $\displaystyle g'(x) = \frac{\pi}{180}\cos x^\circ$ で、余計な係数がつきます。(1) の $\displaystyle \frac{\sin h}{h} \to 1$ は $h$ をラジアンで測ったときの事実で（度で測ると極限は $\displaystyle \frac{\pi}{180}$）、そのおかげで $(\sin x)' = \cos x$ という最も簡単な形になります。これがラジアンを使う理由です。

戻る章：P4 第2章「関数の極限と連続性」・第3章「微分法」（P4 微分積分）→ 大学では 01 第4章（微分）

(1) 平均値の定理：関数 $f(x)$ が閉区間 $[a, b]$ で連続、開区間 $(a, b)$ で微分可能ならば、$\displaystyle \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)$ を満たす $c$（$a < c < b$）が存在する（2 点を結ぶ線分と平行な接線を、間のどこかで引ける）。

$I$ の 2 点 $x_1 < x_2$ にこの定理を使うと、$f(x_2) - f(x_1) = f'(c)(x_2 - x_1)$ となる $c$（$x_1 < c < x_2$）があり、$f'(c) > 0$ なので $f(x_2) > f(x_1)$ です。増減表の「$f' > 0$ なら増加」は、この定理に支えられています。

(2) $f(x) = x^3 - 3x + 1$ とおくと $f'(x) = 3(x + 1)(x - 1)$ で、極大値 $f(-1) = 3$、極小値 $f(1) = -1$ です。さらに $f(-2) = -1$、$f(2) = 3$。$f(x)$ は連続なので、中間値の定理により $-2 < x < -1$、$-1 < x < 1$、$1 < x < 2$ のそれぞれに解があり、異なる 3 つの実数解をもちます。

(3) 正しくありません。$f(x) = x^3$ は $f'(0) = 0$ ですが、増加関数なので $x = 0$ で極値をとりません。$f'(a) = 0$ は極値をとるための必要条件ですが、十分条件ではありません（$x = a$ の前後で $f'(x)$ の符号が変わるかを調べます）。

戻る章：P4 第4章「微分の応用」・第2章「関数の極限と連続性」（P4 微分積分）→ 大学では 01 第3章・第4章（中間値の定理と平均値の定理の証明）

(1) 1 つめは部分積分法、2 つめは $u = \sin x$ とおく置換積分法を使います。

(2) $h > 0$ とし、区間 $[x, x + h]$ での $f$ の最小値を $m_h$、最大値を $M_h$ とします。$F(x + h) - F(x) = \int_x^{x+h} f(t) \ dt$（$f \geq 0$ なら幅 $h$ の細い帯の面積）は $m_h h$ 以上 $M_h h$ 以下なので

$f$ は連続なので、$h \to 0$ のとき $m_h$ も $M_h$ も $f(x)$ に近づき、はさみうちにより差分商は $f(x)$ に近づきます（$h < 0$ も同様。最大値・最小値の存在はここでは認めます）。この微分積分学の基本定理のおかげで、面積としての定積分を、原始関数を使って (1) のように計算できます。

戻る章：P4 第5章「積分法」（P4 微分積分）→ 大学では 01 第5章（リーマン積分と基本定理の証明）

(1) $\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + \frac{k}{n}}$ と変形すると、区間 $[0, 1]$ を $n$ 等分し、各小区間の右端での $\displaystyle \frac{1}{1 + x}$ の値を高さとする長方形の面積の和です（区分求積法）。よって極限は $\displaystyle \int_0^1 \frac{dx}{1 + x} = \log 2$ です。

(2) 球の中心を原点にとり、$x$ 軸に垂直な平面で切ると、位置 $x$ の切り口は半径 $\sqrt{r^2 - x^2}$ の円（三平方の定理）で、面積は $\pi(r^2 - x^2)$ です。薄い板の体積を足し合わせた和の極限が断面積の積分なので

戻る章：P4 第6章「積分の応用」（P4 微分積分）→ 大学では 01 第5章（リーマン和）、01 第9章（重積分と体積）

(1) 内積の分配法則、$\vec{v} \cdot \vec{v} = \lvert \vec{v} \rvert^2$、内積の定義 $\vec{p} \cdot \vec{q} = \lvert \vec{p} \rvert \lvert \vec{q} \rvert \cos A$ を使うと

(2) $\displaystyle a^2 = 25 + 9 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 49$ より $a = 7$。面積は $\displaystyle \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{15\sqrt{3}}{4}$。正弦定理 $\displaystyle \frac{a}{\sin A} = 2R$ より $\displaystyle R = \frac{7}{2\sin 120^\circ} = \frac{7\sqrt{3}}{3}$ です。

大学の線形代数では逆に、内積を先に定めて、角を $\displaystyle \cos\theta = \frac{\langle u,\ v \rangle}{\lVert u \rVert \lVert v \rVert}$ で定義します。右辺の絶対値が $1$ 以下であることは、問題 3.2 の不等式で保証されます。

戻る章：P5 第1章「三角比と図形の計量」・第4章「平面ベクトル」（P5 図形とベクトル）→ 大学では 02 第7章（内積空間）

(1) $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OD}} = \frac{2\vec{a} + \vec{b}}{3}$、$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OE}} = \frac{1}{2}\vec{b}$ です。P は直線 OD 上にも直線 AE 上にもあるので、実数 $s, t$ を用いて

と書けます。係数を比較すると $\displaystyle \frac{2s}{3} = 1 - t$、$\displaystyle \frac{s}{3} = \frac{t}{2}$ で、$\displaystyle s = \frac{3}{4}$、$\displaystyle t = \frac{1}{2}$。よって $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b}$、$\mathrm{OP} : \mathrm{PD} = 3 : 1$ です。

係数を比較してよいのは、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が $\vec{0}$ でなく平行でもない（一次独立である）からです。$x\vec{a} + y\vec{b} = \vec{0}$ で $x \neq 0$ なら $\displaystyle \vec{a} = -\frac{y}{x}\vec{b}$ となって平行（または $\vec{a} = \vec{0}$）になるので $x = 0$、すると $y\vec{b} = \vec{0}$ から $y = 0$ です。2 通りの表し方の差にこれを使えば、係数が一致します。

(2) 三角形 OBD と直線 AE（A は辺 BD の延長上）にメネラウスの定理を使うと、$\displaystyle \frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{PD}} \cdot \frac{\mathrm{DA}}{\mathrm{AB}} \cdot \frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{EO}} = \frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{PD}} \cdot \frac{1}{3} \cdot 1 = 1$ なので、$\mathrm{OP} : \mathrm{PD} = 3 : 1$ です。

戻る章：P5 第2章「図形の性質」・第4章「平面ベクトル」（P5 図形とベクトル）→ 大学では 02 第2章（一次独立と基底）

(1) $\mathrm{P}(x, y)$ とします。両辺が $0$ 以上なので $\mathrm{AP} = 2\mathrm{BP} \iff \mathrm{AP}^2 = 4\mathrm{BP}^2$ で、

軌跡は中心 $\displaystyle \left(\frac{5}{3},\ 0\right)$、半径 $\displaystyle \frac{4}{3}$ の円です（アポロニウスの円）。同値変形なので、逆に円上の点はすべて条件を満たします。軌跡を求めるとは、条件を満たす点全体の集合を求めることです。

(2) 焦点は $(\pm\sqrt{25 - 16}, 0)$、つまり $\mathrm{F}(3, 0)$、$\mathrm{F}'(-3, 0)$ です。楕円上の点 $\mathrm{P}(x, y)$ では $\displaystyle y^2 = 16 - \frac{16}{25}x^2$ なので

$-5 \leq x \leq 5$ より $\displaystyle 5 - \frac{3}{5}x > 0$ なので $\displaystyle \mathrm{PF} = 5 - \frac{3}{5}x$ です（$\sqrt{X^2} = \lvert X \rvert$ なので符号の確認が必要です）。同様に $\displaystyle \mathrm{PF}' = 5 + \frac{3}{5}x$ で、$\mathrm{PF} + \mathrm{PF}' = 10$ です。

戻る章：P5 第3章「図形と方程式」・第7章「平面上の曲線」（P5 図形とベクトル）→ 大学では 02 第8章（二次曲線の分類）

(1) $\overrightarrow{\mathrm{AB}} = (-1, 2, 0)$、$\overrightarrow{\mathrm{AC}} = (-1, 0, 3)$ です。$\vec{n} = (p, q, r)$ とおくと、内積が $0$ になる条件は $-p + 2q = 0$、$-p + 3r = 0$ なので、たとえば $\vec{n} = (6, 3, 2)$ です（その $0$ でない実数倍でも正解です）。

(2) $\vec{n}$ は平面 ABC 上のどのベクトル $s\overrightarrow{\mathrm{AB}} + t\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ とも垂直なので、OH は $\vec{n}$ と平行で、$\overrightarrow{\mathrm{OH}} = k\vec{n} = (6k, 3k, 2k)$ と書けます。H は平面 ABC 上にあるので $\vec{n} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AH}} = 6(6k - 1) + 3 \cdot 3k + 2 \cdot 2k = 0$、つまり $\displaystyle k = \frac{6}{49}$ です。よって

（同じ考え方で、平面 ABC の方程式は $6x + 3y + 2z = 6$ と書けます。）

戻る章：P5 第5章「空間ベクトル」（P5 図形とベクトル）→ 大学では 02 第7章（直交射影）

(1) $\lvert \alpha \rvert = 2$ なので $\displaystyle \alpha = 2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)$。ド・モアブルの定理より $\alpha^6 = 2^6(\cos 2\pi + i\sin 2\pi) = 64$ です（複素数の積では、絶対値はかけ算、偏角はたし算になります）。

(2) $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$（$r > 0$）とおくと $r^3(\cos 3\theta + i\sin 3\theta) = 8(\cos 0 + i\sin 0)$ です。絶対値と偏角を比べて（偏角は $2\pi$ の整数倍のずれを許して比べます）、$r = 2$、$3\theta = 2k\pi$（$k$ は整数）。$0 \leq \theta < 2\pi$ では $\displaystyle \theta = 0,\ \frac{2\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3}$ なので、$z = 2, -1 + \sqrt{3}i, -1 - \sqrt{3}i$ です。3 つの解は原点を中心とする半径 $2$ の円周上にあり、$2$ を原点のまわりに $120^\circ$ ずつ回転した点なので、円周を 3 等分して正三角形の頂点になります。問題 3.3 の $\omega$ を使えば $2, 2\omega, 2\omega^2$ です。

戻る章：P5 第6章「複素数平面」（P5 図形とベクトル）→ 大学では 05 第1章（複素平面と極形式）

(1) $2$ の倍数の集合を $A$、$3$ の倍数の集合を $B$ とすると、$A \cap B$ は $6$ の倍数の集合です。$n(A) + n(B)$ では $6$ の倍数を 2 回数えているので、1 回分を引いて（包除原理）$n(A \cup B) = 50 + 33 - 16 = 67$。よって $100 - 67 = 33$ 個です。

(2) 二項定理 $(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_n\mathrm{C}_k a^{n-k}b^k$ で $a = b = 1$ とおけば $2^n = \sum_{k=0}^{n} {}_n\mathrm{C}_k$ です。また、$n$ 個の要素からなる集合の部分集合は、要素の個数 $k$ ごとに数えると ${}_n\mathrm{C}_k$ 個ずつで合計 ${}_n\mathrm{C}_0 + \cdots + {}_n\mathrm{C}_n$ 個、各要素を「入れる・入れない」の 2 通りから選ぶと考えると $2^n$ 個です。同じものを 2 通りに数えたので、両者は等しくなります。大学では ${}_n\mathrm{C}_k$ を $\binom{n}{k}$、$n(A)$ を $\lvert A \rvert$ と書くのがふつうです。

戻る章：P6 第1章「場合の数」（P6 確率・統計と整数）→ 大学では 00 第3章（冪集合 $\mathcal{P}(X)$ と $\lbrace 0, 1 \rbrace^X$ の対応）

「病気にかかっている」という事象を $A$、「陽性と判定される」という事象を $B$ とします。求めるのは条件付き確率 $P_B(A)$ で、

1 万人で考えると、かかっている 100 人のうち陽性は 90 人、かかっていない 9900 人のうち陽性は 495 人で、陽性の 585 人のうち本当にかかっているのは 90 人です。「90% 当たる検査で陽性なら、90% は病気だろう」と考えがちですが、それは $P_A(B)$（かかっている人が陽性になる確率）と $P_B(A)$（陽性の人がかかっている確率）の取り違えです。病気の人がもともと少ないため、多数の健康な人から出る誤った陽性が、本当の陽性を大きく上回るのです。大学では $P_B(A)$ を $P(A \mid B)$ と書きます。

戻る章：P6 第2章「確率」（P6 確率・統計と整数）→ 大学では 11 第1章（確率空間）

(1) $d$ が $a$ と $b$ の公約数なら、$r = a - bq$ も $d$ で割り切れます。逆に $d$ が $b$ と $r$ の公約数なら、$a = bq + r$ も $d$ で割り切れます。公約数全体が一致するので、最大公約数も一致します。互除法では、$a$ を $b$ で割った余り $r_1$、$b$ を $r_1$ で割った余り $r_2$、……と割り算を続けます。余りは $b > r_1 > r_2 > \cdots \geq 0$ と減っていつか $0$ になり、その間、最大公約数は変わりません。最後の $0$ でない余りは直前の数を割り切るので、それが $a$ と $b$ の最大公約数です。

(2) $43 = 17 \cdot 2 + 9$、$17 = 9 \cdot 1 + 8$、$9 = 8 \cdot 1 + 1$ を逆にたどると、$1 = 9 - 8 = 2 \cdot 9 - 17 = 43 \cdot 2 + 17 \cdot (-5)$ です。これを $43x + 17y = 1$ から引くと $43(x - 2) = -17(y + 5)$。素数 $17$ は $43$ を割り切らないので、$x - 2$ は $17$ の倍数です。$x - 2 = 17k$ とおくと $y + 5 = -43k$ なので、整数解は $(x, y) = (2 + 17k, -5 - 43k)$（$k$ は整数）です。

(3) $2^{100} = (2^3)^{33} \cdot 2 = (7 + 1)^{33} \cdot 2$ を二項定理で展開すると、$2$ 以外の項はすべて $7$ の倍数なので、余りは $2$ です。合同式で書けば、$2^3 \equiv 1 \pmod{7}$ より $2^{100} \equiv 2 \pmod{7}$ です。

戻る章：P6 第3章「整数の性質」（P6 確率・統計と整数）→ 大学では 04 第1章（ベズーの等式と合同式）

(1) 平均は $\overline{x} = 3$、$\overline{y} = 4$ で、偏差は $x$ が $-2, -1, 0, 1, 2$、$y$ が $-2, 0, 1, 0, 1$ です。分散は $\displaystyle s_x^2 = \frac{10}{5} = 2$、$\displaystyle s_y^2 = \frac{6}{5}$、共分散は $\displaystyle s_{xy} = \frac{4 + 0 + 0 + 0 + 2}{5} = \frac{6}{5}$ で、相関係数は

(2) ヒントの式を展開すると、すべての実数 $t$ について $\left(\sum X_i^2\right)t^2 - 2\left(\sum X_i Y_i\right)t + \sum Y_i^2 \geq 0$ です。$t^2$ の係数は正（$x$ または $y$ の値がすべて同じなら、$r$ は定義されません）なので、問題 3.2 と同じく判別式は $0$ 以下で、$\left(\sum X_i Y_i\right)^2 \leq \left(\sum X_i^2\right)\left(\sum Y_i^2\right)$。両辺を $n^2$ で割ると $s_{xy}^2 \leq s_x^2 s_y^2$、つまり $-1 \leq r \leq 1$ です。$r = \pm 1$ となるのは、データの点がすべて 1 本の直線上に並ぶときです。相関係数は、偏差を並べた 2 つのベクトル $(X_1, \dots, X_n)$ と $(Y_1, \dots, Y_n)$ のなす角の余弦になっています。

戻る章：P6 第4章「データの分析」（P6 確率・統計と整数）→ 大学では 02 第7章（コーシー–シュワルツの不等式となす角）

(1) $i$ 回目の試行で成功なら $1$、失敗なら $0$ をとる確率変数を $X_i$ とすると、$X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$ です。$E(X_i) = p$、$V(X_i) = E(X_i^2) - E(X_i)^2 = p - p^2$ で、期待値は和に分けられるので $E(X) = np$。各回の試行は独立なので、独立な確率変数の和の分散は分散の和になり、$V(X) = np(1 - p)$ です。期待値の計算に独立性はいりませんが、分散の計算には必要です。

(2) 仮説のもとで、表の回数 $X$ は $\displaystyle B\left(400,\ \frac{1}{2}\right)$ に従い、期待値 $200$、標準偏差 $\displaystyle \sqrt{400 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} = 10$ です。$n$ が大きいので $\displaystyle Z = \frac{X - 200}{10}$ は近似的に標準正規分布に従い、$X \geq 230$ は $Z \geq 3$ と同じなので

仮説が正しければ 0.13% 程度しか起こらないことが起きたことになり、これはよく基準にする有意水準 5%（あるいは 1%）よりずっと小さいので、仮説を棄却し、このコインは表が出やすいと判断します（$200$ 回からのずれを両側で考えても約 0.26% で、結論は同じです）。なお、確率が小さくなければ「仮説は棄却できない」と言えるだけで、仮説が正しいと証明されたことにはなりません。

戻る章：P6 第5章「統計的な推測」（P6 確率・統計と整数）→ 大学では 11 第4章（中心極限定理とド・モアブル–ラプラスの定理）