中学数学

概要

中学校で、数学は「算数」から大きく姿を変えます。負の数によって数の世界が広がり、文字を使うことで「いつでも成り立つこと」を書けるようになり、関数によって変化をとらえ、図形の証明によって「なぜ正しいのか」を筋道立てて説明するようになります。文字と証明との出会い——それが中学数学の核心です。

この科目は、中学数学を学び直したい大人、中学生の子をもつ保護者、先取りしたい人のために、次のことを中心に書いています。

• 「負 × 負はなぜ正なのか」「移項はなぜできるのか」「解の公式はどこから来るのか」といったなぜに、きちんと答えること
• 文字式・方程式・関数・証明が、高校・大学の数学でどう育つのかを示すこと
• 中学生がつまずきやすいところと、その原因

前提知識

• P1 算数の「なぜ」（または、小学校の算数をおおむね覚えていること）。自信がなければ 診断テスト 1（算数） で確かめてください。

学年との対応

現行の学習指導要領（2017 年告示、2021 年度から実施）にもとづく目安です。教科書によって扱う時期が多少前後します。

到達目標

• [ ] 負の数を含む四則計算の規則（特に 負 × 負 ＝ 正）を、分配法則から説明できる
• [ ] 文字式を使って「いつでも成り立つこと」を説明でき、等式の性質から方程式の解き方を説明できる
• [ ] 乗法公式・因数分解を使いこなし、$\sqrt{2}$ が無理数であることを証明できる
• [ ] 平方完成によって二次方程式の解の公式を導ける
• [ ] 関数の意味を説明でき、一次関数と $y = ax^2$ の変化の割合とグラフを扱える
• [ ] 合同・相似の条件を使って、根拠を示しながら図形の証明を書ける
• [ ] 円周角の定理と三平方の定理を証明し、長さや角の計算に使える
• [ ] 箱ひげ図を読み取り、確率を「同様に確からしい」ことにもとづいて計算できる

章立て

学習時間の目安と進め方

• 1 章あたり 3〜5 時間（本文と演習問題）、全体で 30〜40 時間ほどです。
• 第1・2章（負の数と文字式）は、その後のすべての章の土台です。ここは飛ばさずに読んでください。
• 第5章（関数）と第6章（図形と証明）は、どちらから読んでもかまいません。
• 証明は「読む」だけでなく、本を閉じて自分で書いてみてください。根拠を一つずつ書くことが、高校・大学の数学への準備になります。

参考文献

• 文部科学省『中学校学習指導要領（平成 29 年告示）解説 数学編』：中学校で学ぶ内容とそのねらいの公式の解説です。
• 芳沢光雄『新体系・中学数学の教科書（上・下）』（講談社ブルーバックス）：中学数学の全体を、大人の学び直し向けに体系的にまとめた本です。
• 吉田武『虚数の情緒』（東海大学出版会）：「中学生からの全方位独学法」をうたう大著で、数の広がりを中学の内容から複素数まで一気にたどれます。
• 小平邦彦『幾何への誘い』（岩波現代文庫）：初等幾何（ユークリッド幾何）を、数学者が公理の立場から見直した本です。図形の証明の背景を知りたい人に。
• I. M. Gelfand, A. Shen, Algebra (Birkhäuser)：中高生向けに書かれた代数の入門書で、式の計算の「なぜ」を問題を通して学べます（英語）。

次に学ぶもの

• P3 高校数学：数と式・関数：集合と命題、二次関数、複素数、三角関数・指数関数・対数関数、数列。
• P5 高校数学：図形とベクトル・P6 高校数学：確率・統計と整数：図形と確率の続き。
• 診断テスト 3（高校数学）：高校数学をどのくらい覚えているかを確かめたいときに。

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