補足
この科目は執筆中です。 各章を順に追加していきます。高校数学をどのくらい覚えているかは、診断テスト 3（高校数学） で確かめられます。
概要
数える・確かめる・推し量るための数学です。場合の数で「落ちや重なりなく数える」方法を学び、確率で偶然を数量として扱い、統計でデータから全体を推し量ります。ニュースで目にする世論調査の誤差や、医療検査の「陽性でも本当に病気とは限らない」話は、この科目の内容で理解できます。
確率と統計では、公式の使い方より「なぜその式で数えてよいのか」「その結論はどこまで言えるのか」を重視します。あわせて、約数・倍数・ユークリッドの互除法・一次不定方程式といった整数の性質を扱います。整数の章は、大学の 04 代数学 第1章への準備です。
前提知識
- P2 中学数学（特に第8章 データの活用と確率）。
- P3 高校数学：数と式・関数 の第7章（数列。第5章で使います）。
対応する科目
| 章 | 高校の科目 |
|---|---|
| 第1章 場合の数 | 数学 A（二項定理は数学 II） |
| 第2章 確率 | 数学 A・B |
| 第3章 整数の性質 | 数学 A（数学と人間の活動） |
| 第4章 データの分析 | 数学 I |
| 第5章 統計的な推測 | 数学 B |
現行の学習指導要領（2018 年告示、2022 年度から実施）にもとづく目安です。
到達目標
- [ ] 和の法則・積の法則にもとづいて、順列・組合せの公式を導き、使い分けられる
- [ ] 条件付き確率とベイズの定理を使い、検査の偽陽性のような問題を正しく解ける
- [ ] ユークリッドの互除法がなぜ最大公約数を求めるのかを説明し、一次不定方程式を解ける
- [ ] 分散・標準偏差・相関係数の意味を説明し、 を証明できる
- [ ] 二項分布・正規分布を扱い、信頼区間と仮説検定の考え方を説明できる
章立て
| 章 | 内容 |
|---|---|
| 第1章 場合の数（準備中） | 包除原理、和の法則・積の法則、順列と組合せ、二項定理、重複組合せ |
| 第2章 確率（準備中） | 確率の定義と基本性質、独立な試行、条件付き確率、ベイズの定理、期待値 |
| 第3章 整数の性質（準備中） | 素因数分解の一意性、除法の原理、ユークリッドの互除法、一次不定方程式、合同式の入口、n 進法 |
| 第4章 データの分析（準備中） | 分散と標準偏差、散布図と相関係数、仮説検定の考え方 |
| 第5章 統計的な推測（準備中） | 確率変数と確率分布、二項分布、正規分布、標本平均の分布、推定と検定 |
学習時間の目安と進め方
- 1 章あたり 5〜8 時間（本文と演習問題）、全体で 30〜40 時間ほどです。
- 第3章（整数の性質）は他の章から独立しているので、どこから読んでもかまいません。
- 確率の問題では、答えを出したあとに「もっと小さな場合で、全部書き出して確かめる」習慣をつけてください。確率は直観がもっとも外れやすい分野です。
参考文献
- 東京大学教養学部統計学教室編『統計学入門』（東京大学出版会）：大学の教養課程で広く使われている統計学の標準的な教科書です。第5章の先に進みたい人に。
- 結城浩『数学ガール／フェルマーの最終定理』（SB クリエイティブ）：整数の性質を、物語の形で楽しみながら深く学べる本です。
- 松坂和夫『数学読本 1〜6』（岩波書店）：中学程度から大学初年級までを一続きに解説したシリーズです。
- 数研出版編集部『チャート式 基礎からの数学』シリーズ（数研出版）：計算力を補いたいときの定番の参考書です。
- 文部科学省『高等学校学習指導要領（平成 30 年告示）解説 数学編 理数編』：高校で学ぶ内容とそのねらいの公式の解説です。